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第11回 高階偏導関数 [偏微分]

第11回 高階偏導関数


1階の偏導関数を、さらにxyで偏微分した奴が2階偏導関数、さらにこれをxyで偏微分した奴が3階偏導関数だにゃ。


をそれぞれxyで偏微分したやつだから、2階の偏導関数は2×2=4通りあることになる。同様に3階の偏導関数は、そして、n階の偏導関数は個あることになるにゃ。


ただ、記号に注意して欲しいんだケロ。

   

となるので注意して欲しいケロ。


そして、一般に

  

は成立しないんだにゃ。


ちょっと面倒くさいので、z=f(x,y)とすると、

2階の偏微分には、あと

  

というのもあるケロ。



偏微分に関しては、理論的な部分よりも計算だケロ。この計算ができないことには話にならないので。


問題 次の2階偏導関数を求めるケロ。

  

【解】

xで偏微分するときは、yは定数と考える。

なので、

  

これをさらにxで偏微分するのだから(この時もyを定数と考える)、

  

yで偏微分するときは、反対にxを定数と考えるので、

  

そして、これをもう一度yで偏微分すると、

  

そして、①をyで偏微分すると(このときはxを定数と考える!!)

  

対して、②をxで偏微分すると、

  

となる。

よって、この場合は、

  

だケロ。

で、結果をまとめると、

  

になるケロ。



そして、さり気なく定理をひとつ。


定理

関数f(x,y)級ならば、

  

が成り立つ。

【証明】

  

という関数を考える。

一変数の平均値の定理をx成分について使えば、

  

さらに平均値の定理をy成分に使えば、

  

今度は、y成分、x成分の順に平均値の定理を使えば、

  

よって、

  

級だから、も連続なので、(h,k)→(0,0)とすれば、

  

となる。



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