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今日のアニソン、ボカロから『アンチクロロベンゼン』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、ボカロから『アンチクロロベンゼン』です。


『アンチクロロベンゼン』の歌詞中に登場する「あの歌」とは


そして、この2曲を合わせると



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物理的な微分方程式の大学入試問題 [高校の微分積分]

物理的な微分方程式の大学入試問題

 

 

ねこ騙し数学では、物理学の力学の話題で盛り上がっているので、大昔の大学入試で出題された、微分方程式の力学的な問題を紹介することにする。

 

問題 x軸上を運動している点があって、時刻tにおける店の座標z

  

(1) 運動の速度をとすると、v²+ω²x²は一定であることを示せ。

(2) 微分方程式①の解をx=f(t)とするとき、f(0)=af'(0)=bとなるような関数f(t)があるとすれば、それはただ1つであることを示せ。

(3) 任意の実数ABに対して

  

が①の解となるように、定数kの値を定めよ。また、それを利用して、f(0)=af'(0)=bとなるような運動の式x=f(t)を定めよ。

【解答例】

(1)

  bt-001.png  

これを①式に代入すると、

  bt-002.png

よって、v²+ω²x²は一定である。

 

(2) x₁=f₁(t)x₂=f₂(t)を①の解とすると、

  

となるので、も微分方程式①の解となり、

  

(1)より、x²+ω²x²は一定だから、

  

f(t)=f₁(t)−f₂(t)=0だから、f₁(t)=f₂(t)となり、解は1つである。

 

(3) とすると、

  

だから、k=ωとすれば、

  

を満足する。

そこで、とおくと、

問題の条件より、だから、

  

よって、ω≠0のとき

  

ω=0のとき、微分方程式①は

  

となり、f(0)=af'(0)=bとなるようにC₁C₂を定めると、C₁=bC₂=a

よって、

  

(解答終)

 

この問題の(1)は、物理では次のように解くのが主流派。

 

【(1)の別解】

運動方程式

  

の両辺にvをかけると、

  bt-004.png

(別解終)

 

運動方程式の両辺に速度vをかけて、その積分を求める操作を、物理のほうではエネルギー積分と呼んだりする。

 ――数学的にいうと、は、運動方程式①の積分因子――

そして、(1)は、(力学的)エネルギー保存則を表している。

というのは、⑨の両辺にm/2mは質点の質量)をかけると、

  

となるからだにゃ。

上の式の第1項のは運動エネルギー、第2項のは(1次元の)調和振動子の位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)を表していて、上の式は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は一定、時刻tによらず不変であること、つまり、(力学的)エネルギーが保存されることを表している。

 

そして、(2)は、エネルギー保存則を用いて、微分方程式①の初期値問題の解が1つに定まることを示している。

 

この大学入試問題は、範囲逸脱の感が強くて、大学入試問題としてはどうかという気がするけれど、奥深い内容を含んだ問題である。

 

 

 

また、バネ定数kのバネに質量mの物体がつけられ、単振動するとき、運動方程式は

  

となるので、

  

この方程式と①を比較することにより、

  bt-020.png

であることがわかる。このωを角速度、角振動数という。

問題の(3)より、初期条件x(0)=ax'(0)=bを満たす解は

  

であり、これは2π/ωを周期にもつ周期関数。

したがって、微分方程式②の解、すなわち、バネ定数kのバネの単振動(ばね振り子)の周期T

  bt-021.png

であることがわかる。

 

 

 

振り子の運動方程式


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お前らに確率の問題!! [ひとこと言わねば]

お前らに確率の問題!!

 

問題

豊島の対羽生の勝率を2/3とする。

そして、豊島が羽生が持つタイトル◯◯戦の挑戦手合7番勝負することになった。

このとき、豊島が羽生◯◯からタイトルを奪取する確率を求めよ。

 

(ヒント)

豊島が4連勝でタイトルを奪取する確率P₀は、

  

4勝1敗でタイトルを奪取するときは、4局目が終了した時点で豊島が3勝1敗で、5局目に豊島が勝つ場合なので、この確率をP₁とすると、

  

4勝2敗でタイトルを奪取するときは、5局目が終了した時点で豊島が3勝2敗で、6局目に豊島が勝つ場合なので、この確率をP₂とすると、

  

4勝3敗でタイトルを奪取するときは・・・、この確率をP₃とすると、

  ・・・・

よって、豊島がタイトルを奪取する確率は

 

 

(参考) 独立試行の確率

1回の施行で事象Aが起きる確率がpのとき、

n回の独立試行中で事象Ar回起きる確率

  

である。

 

ちなみに、4勝1敗で、豊島がタイトルを獲得する確率は、

  

ではなく、

  

だにゃ。

 

 

お前らこの確率を計算して、ネムネコにその値を教えるにゃ。

言っておくけれど、(ヒント)は間違っているかもしれないケロよ(^^)

 




この確率の計算ができると、豊島が竜王の挑戦者になったとき、羽生がどれくらいピンチなのか、おおよその見当をつけることができるにゃ。
羽生がタイトルを防衛できる確率は、たぶん、3割を割っていると思うケロよ。
だから、羽生ファンは、「豊島、竜王戦の挑戦者決定トーナメントに負けろ」と呪いをかけるしかないと思うにゃ。豊島が挑戦者になってしまったら、おそらく、羽生は2勝4敗で竜王位を失ってしまう。




豊島が挑戦者になったとき、羽生と羽生ファンには、絶望しか残されていないと思うにゃ♪



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お前ら、ddt³さん提出の次の問題(7月18日)を解くにゃ [ひとこと言わねば]

ddt³さんから次のような質問をいただいた。

 

 微分方程式を差分法で解くとすると(ローカルには選点法とも言いますが)、問題の関数f(x)の定義域Xをn等分割でもして、分割点(選点)だけでは微分方程式を満たすような条件を付ける。分割を無限に細かくすれば、「いつかはX上の全ての点を取り尽くせるはず」だから、そうのようにして解いたf(x)の離散化近似g(x)の離散化極限は(分割を無限に細かくする)、f(x)に収束する。

 本当ですか?(^^)

 

常微分方程式の場合、一般に、xの分割幅Δxを細かくすればするほど打切誤差が小さくなり、Δx→0のとき、差分方程式(の解)は元の微分方程式(の解)に収束する。

なのですが、偏微分方程式の場合、Δx→0Δt→0のとき、差分方程式の解は、元の微分方程式

  

の解とは違うものに収束することがある。

のみならず、放物型の偏微分方程式から作った差分方程式が、Δx→0Δt→0のとき、放物型の偏微分方程式が双曲型の偏微分方程式に変わってしまうなど 偏微分方程式の型が変わってしまうこともあるんだケロ。

ここ

http://spinda2.blog48.fc2.com/blog-entry-345.html

の定義に従うと、

差分スキームの適合性とは、

離散化間隔を0に近づけたときに、差分方程式が元の微分方程式に一致する性質

のことを言います。

つまり、「その差分スキームは本当に元の微分方程式を近似していますか??」ということ。

 

収束性の定義とLaxの適合定理はコチラ↓

http://spinda2.blog48.fc2.com/blog-entry-346.html

 

こういうことが、偏微分方程式の差分法を用いた数値解法では起きることがある。

そして、諸々の理由(ΔxΔtが有限ならば精度よく、しかも、安定的に速く計算できるなどの理由)から、適合性(consistency)を持たない差分スキームが実際の数値計算で使われることがある。

 

ただ、ddt³さんのこの質問は、次の文を読むと、差分スキームの適合性に関する質問ではないようだにゃ。

 

 上記状況を一般化・理想化すると、定義域X上の連続関数f(x)の離散化近似として、Xの等分割点xjg(xj)f(xj)となるようにg(x)を定める。分割を無限に細かくした時、gfに収束する。

 

反論:

 定義域Xの等分割点の離散化極限とは、X上の有理数をシミュレートしたのと同等である。よってg(x)は、Xの部分集合である、Xに属する有理数全体の集合Aの要素xでしかg(x)f(x)とならないはずである。

 しかし良く知られているように、対角線論法により、Aに属さないXの要素はAの要素よりも無限に多い。Aがカスになるくらいに無限に多い!。

 そうするとg(x)の離散化極限は、Xのほとんど全ての点で、いたるところg(x)≠f(x)となってはいないのか?。「いつまでたってもX上の全ての点を取り尽くせない!」から。

 

 これで君は、連続関数を近似できると思うのか?。出来ると言うなら、理由を言うてみいっ!。

 

Δx→0のとき、離散化近似の極限として得られる極限関数g(x)Xで連続、そして、Xに含まれる有理数の全ての点でf(x)=g(x)ならば、くらいの条件があれば、Xf=gになるでしょうね。

 

ということで、上の主張の根拠になる次の問題、補題、定理(?)をお前ら示すにゃ。

 

問題 2つの連続関数f(x)g(x)が有理数の点xに対してf(x)=g(x)であるならば、すべての実数xに対してf(x)=g(x)である。

このことを示せ。

 

 

ヒント1 背理法を使う。

ヒント2 「h(x)が点x=aで連続かつh(a)≠0ならば、aの十分近くの点ではf(x)f(a)は同符号である」

ヒント3 ある無理数の点af(a)≠g(a)ならば、h(a)=f(a)−g(a)≠0で、かつ、f(x)g(x)x=aで連続だからh(x)x=aで連続。よって、ヒント2からaの十分近くのすべての点xaの近傍)でh(x)≠0になる。しかし、無理数aの近傍をどんなに小さくしても、その近傍内には有理数の点xが必ず存在し(これを有理数の稠密性という)、その点xでh(x)は・・・となり、矛盾が・・・。

 

 

 

ここまでヒントを出したのだから、お前ら、この証明を「ちゃんとやれ!」

 

なお、ヒント2の定理(?)は、ε-δ論法を用いて、次のように証明するといい。

 

【証明例】

h(x)x=aで連続だから、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、

  

である。

h(a)>0のとき、

  

とおくと、あるδ>0があって、|x−aであるすべてのxに対して

  

h(a)<0のとき、

  

とおくと、あるδ>0があって、|x−aであるすべてのxに対して

  

よって、証明された。

(証明終)

 

ヒント2の定理(?)は、微分積分、解析でよく使う重要なものなので、覚えておくといい。

 

 連続という強い条件が入ると、有理数の濃度と無理数(実数)の濃度の違いなど吹き飛んでしまうにゃ。

 




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今日のアニソン、「りゅうおうのおしごと!」から『コレカラ』 [今日のアニソン]


豊島が、とうとう、タイトルをとった。

豊島は、間違いなく、現在、最も強いプロ棋士だと思うけれど、最近、タイトル戦、挑戦者としてタイトルの番勝負によく登場するが、何故か、タイトルには縁がなかった。


今回、初めてタイトル獲得した棋聖戦でも信じられないようなミスをして、羽生に逆転負けを喫したりしたんだにゃ。現在、王位戦でも挑戦者となっているけれど、タイトル戦になると、豊島は急に弱くなるんだケロよ。これが初タイトルのプレッシャーというやつか・・・。

一方、年齢的なものなのか、羽生は急速に衰えているよね〜。
 2016年 30勝25敗(勝率54%)
 2017年 28勝25敗(勝率54%)
 2018年 13勝12敗(勝率52%)

勝率が約5割に低迷し、並の棋士になってしまった感がある。年間の勝率が6割、7割を超えていたかつての強さ、絶対的な強さは、今の羽生にはない。そして、このままだと、竜王を挑戦者に奪われ、無冠になってしまう可能性すらある。
――豊島が羽生がもつ竜王位の挑戦者になる可能性がある。豊島vs羽生の7番勝負ならば、最近の両者の対戦成績と調子からすると、豊島はかなりの確率で羽生に4つは勝てる!!――
羽生のタイトル獲得数は99で止まり、2度とタイトル戦に登場できないかもしれない。

豊島の最近の成績
 2018年 28勝15敗(勝率65%)
 2017年 36勝13敗(勝率73%)
 2016年 40勝20敗(勝率66%)

過去3年の豊島VS羽生の対戦成績 豊島の8勝4敗(勝率66%)

ということで、今日のアニソンは、「りゅうおうのおしごと!」から、この曲♪


さらに、同アニメのED曲を♪



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階数低減法 [微分方程式の解法]

階数低減法

 

 

次の2階線形非同次方程式があるとする。

  

(1)のR(x)=0とした同次方程式

  

の解の1つy₁が知られているとき、y=y₁u(x)とおくと、

  

となるので、(1)は

  kt-001.png

になる。

ここで、

  

とおくと、

  

となり、微分方程式の階数を1減らすことができる。

この方法を階数低減法という。

特に、P(x)=aQ(x)=bと定数であるとき、(4)は

  

となる。

 

 

問1 の解であることを利用して、

を解け。

【解】

とおくと、

  

これを微分方程式に代入すると、

  kt-002.png

ここでv=u'とおくと、

  

両辺にをかけると、

  kt-003.png

よって

  kt-004.png

だから、

  kt-000.png

(解答終)

 

問2 階数低減法を用いて次の微分方程式を解け。

【解】

(1) とおくと、

  

これをy''−3y'+2y=0に代入すると、

  

v=u'とおくと

  

よって、

  kt-006.png

だから、

  

 

(2) とおくと、微分方程式

  

ここでv=u'とおくと、

  

両辺にをかけると、

  kt-007.png

v=u'だから

  kt-008.png

だから、

  

 

(解答終)

 

問題 2階線形同次方程式

  

の1つの解がy₁であるとき、もう1つの解が

  

で与えられることを示せ。

【解】

y₂=y₁u(x)とおくと、

  

これをy''+P(x)y'+Q(x)y=0に代入すると、

  kt-009.png

v=u'とおくと、

  

y₁≠0のとき

  

両辺に

  kt-010.png

をかけると、

  kt-011.pngkt-011.png

v=u'だから、

  

よって、

  

(解答終)


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何やら面白い読み物が・・・ [ひとこと言わねば]

ddt³さんとブラゲロが物理学の運動について質疑応答を重ねているようだ。ネムネコは物理屋さんじゃないから、この問題に深入りすることはできないのだけれど、これに関連してネットでちょっと面白い読み物を見つけた。

ゼロからはじめる「科学力」養成講座 第3章 ニュートンの法則
https://ocw.hokudai.ac.jp/wp-content/uploads/2016/01/ScienceLiteracy1-2009-Text-03.pdf

ここに、次のような図が出ている。


ネムネコもこれと同じような図を書いて人工衛星の運動を説明しようと考えたのだけれど、ネムネコの持っているお絵かきソフトではこのような図をうまくかけないし、ネムネコは絵をかくのは下手なので、手書きすることもできないので断念した図。
そして、この図に示されるように、
巨人さんが人工衛星を秒速約8km(より正確には7.9km/sでこの速度を第1宇宙速度という)で水平方向に投げると、人工衛星の軌道は重力で曲げられ(落下して)、このとき、うまい具合に人工衛星は円軌道をえがいて地球のまわりをまわってくれるんだにゃ。

地上近くでは、そっと落とされた物体は、一秒間に 5m 落下します。この間に地球の曲がりで地上も 5m ほど下にいっていれば地上に落ちないようになるのです。半径6400kmの地球では、およそ 8km 進むと 5m 地上が下に沈みます。このため、円運動する速さはおよそ秒速8kmとなります。
引用元:https://ocw.hokudai.ac.jp/wp-content/uploads/2016/01/ScienceLiteracy1-2009-Text-03.pdf

上の解法の面白いところは、水平にぶん投げたものの落ち具合、曲がり具合と地球の曲がり具合――数学の用語でいえば曲率――だけから、この値が求められるというところ。すなわち、力、万有引力は表に出てこないってところだにゃ。

なお、この数値は、遠心力=万有引力(=mg)として、次のように求めることもできる。

  


ここで、gは地球表面での重力加速度9.8(m/s²)、Rは地球の半径で約6,400km。


ところで、ネムネコはずっと前に、
「力学の基本的な量は、運動量mvか活力mv²(運動エネルギーmv²/2の2倍)のどちらか」という大論争がデカルト派とライプニッツ派の間で繰り広げられた、
ということを記事に書いたことがある。


このことを思い出して、ネットで検索をかけたみたところ、次のような記事を見つけた。

 科学史の小窓
 活力論争
  https://goo.gl/3V1CSC

このウェブサイトの主さんのアカデミックな論文。


「活力論争とは何だったのか」という論文を読むと、ニュートンの主著でニュートンの3つの運動法則が書かれている(らしい)「プリンキピア」が出版されてからも、どうやら、力をどのように定義したらよいのか、長い間、定まっていなかったらしいね。
何を力と呼ぶか定まっておらず、混沌(カオス)状態だったらしい。


(ニュートンが定義した)「力」は、力学的な保存量じゃないし、運動しているものの速さや運動の方向、軌道を変化させるもの、その原因として想定――ブラゲロの好きな言葉を使うと、「仮設」――されるものであって、運動の中に「力」そのものを、直接、目で見ることはできないケロ。「力」は実体的な概念になじまない。
そして、「力」は、押した、押されたという経験に基づく、触覚、皮膚感覚的なものだから、視覚に比べるとインパクトが弱くて、実在、しにくいにゃ。
 ――触覚の方が視覚よりもずっと原始的、原初的な感覚ではあるが・・・――
ニュートン力学の最終形態といえる解析力学では、運動量mvと、エネルギーをより一般化したものと考えられる、ラグランジアンLやハミルトニアンHなどが主役になり、「力」f(orce)は表舞台から消えて、ふたたび、日陰者になってしまうしね〜(^^ゞ。 素粒子論などでは、さらに、「力」は日陰者扱いされているようだ(笑)。

それはさておき、ずっと前に書いたネムネコ、物理する!! 作用反作用の法則と運動量保存の法則なる記事では、この問題を解決したのは数学者のダランベールと書いたのだけれど、上の論文を読むと、この問題を解決したのはダランベールではないようだね。どうやら通説に騙されたみたいだケロね。

また、ダランベールさんは、ニュートンの運動方程式
 f=ma

 f − ma = f + (−ma)=0
と書き換えたことでも有名(ダランベールの原理)。ダランベールさんが−maを慣性力と名づけたのかどうかは知らないけれど、この−maを慣性力と呼ぶようになった。
そして、慣性力という概念を使うと、車が急停止したとき、乗っているヒトの体が前に押しやられる(ように感じる)のは慣性力−ma――加速度の方向はこのとき後ろ向きで、慣性力は−maとなるので加速度の方向とは逆向きの前向きの力になる――のためということになる。のみならず、遠心力もこの慣性力ということになる。つまり、加速度運動をする(座標)系の場合、見かけ上の力である慣性力を加えることによって、あたかも、慣性系のように・・・。のみならず、静力学のように扱うことができる。
といったことを、大学時代に力学(物理)の講義で習ったような気がする。この解釈、理解は、ネムネコの記憶違いで、間違っているかもしれないが・・・。

右辺の項を左辺に移行しただけに見える、ニュートンの運動方程式のこの書き換えが、コロンブスの卵、つまり、大きなパラダイムチェンジであり、この書き換えがその後の力学理論にどのような影響を与え、力学理論の発展に寄与したかについては、ddt³さんがきっと詳しく解説してくれると思うにゃ。ddt³さんは、さらに、仮想仕事の原理などについて話してくれると思うにゃ。そして、仮想仕事の原理から、ラグランジュの運動方程式を導いてくれるだけではなく、仮想仕事の原理と変分法との関係について解説してくれるに違いない(^^ゞ

  


みんな、期待するといいと思うにゃ(^^)


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今日のアニソン、「決断」から『決断』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメンタリー「決断」から『決断』です。


同アニメ(ンタリー)のOPシーンは


ED曲は


どちらの曲も軍歌調で勇ましいケロね。

なお、同アニメ(ンタリー)の第19話は有名な「ルンガ沖海戦」。


このアニメで語られる戦果は史実だけれど、戦闘シーンはまったくのデタラメ。第2水雷戦隊の司令官である田中少将(が乗る旗艦「長波」)は、魚雷を発射後、戦場を真っ先に離脱――ヒット・アンド・アウェイ戦法――し、戦闘指揮はしていない。このため、実際の戦闘は、各館長ならび輸送隊の司令官の判断で行われ、結果、戦闘終了後、第2水雷戦隊の各館長から「逃げ腰」などと吊し上げを食らっている。
肝心の輸送作戦には失敗――上のアニメンタリーだと輸送任務に成功したように描かれているけれど、戦闘開始前に、実際は、物資を詰めたドラム缶のほとんどを投棄――するし、戦闘指揮らしい指揮をせずに、魚雷を打つと、他の鑑を置き去りにして、自分はいち早く戦場から離脱したなどの理由から、その後、「華の二水戦」の司令官を解任される憂き目にあっている。


スラバヤ沖海戦のときに、第2水雷戦隊の司令官田中少将は、敵から砲撃を受けると、なんら被害を受けていないのに、即座に形勢不利と判断し、煙幕をはりながら戦場離脱という前科を持っていたからね〜。
なお、田中司令官は、スラバヤ沖海戦のとき、艦これで人気の「神通」に乗っていた。


ルンガ沖海戦で米艦隊からタコ殴りにされ、唯一沈没した艦娘「高波」はコチラ↓。「艦これ」ファンや2chなどのミリオタなどは、「このとき、高波は被害担当艦だった」というのだろうけれど、被害担当艦なんて(軍事)用語はそもそもないし、そのような概念はなかったケロ。


スラバヤ沖海戦の戦闘経過を見ると、帝国海軍はかなりのヘタレで勇猛果敢という形容にまったくふさわしくない。スラバヤ沖海戦でのあまりのヘタレぶりに、第5艦隊の高木少将と第2水雷戦隊の田中少将は上から「敢闘精神が足りない」などのお叱りを受けるほど。それとは対照的に、勇猛果敢で、不屈の闘志と根性を見せたのは、むしろ、多勢に無勢の連合国艦隊の方であった。

太平洋戦争初期の帝国海軍の練度は連合国軍よりはるかに優っていたと、よく言われるけれど、これもかなり胡散臭い話。帝国艦隊(の指揮官と乗組員)は、英米と違って、日露戦争以降、実戦経験がほとんどない上、お金持ちのアメリカと違って、実弾演習だって十分に行える状況になかったはず。したがって、練度は米英艦隊とよくて五分、実際の練度は低くて、「大戦初期の帝国海軍の練度は英米のそれより高かった」というのは都市伝説のたぐいだと思うにゃ。

スラバヤ沖海戦ではなく、レイテのサマール沖海戦にみせたアメリカ艦隊の駆逐艦魂のドキュメンタリー。


そして、身も凍るような悲劇の物語・・・。



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[落ちる」ってどういうこと? [ddt³さんの部屋]

[落ちる」ってどういうこと?

 

 プロゲラさんへ。とりあえず質問には答えません。以下を読んでみて納得し難かったら、また質問を下さい(^^;)

 

 円軌道を描く人工衛星は(中身も含めて)、向心力(重力)と遠心力が釣り合うので落下しない。・・・間違いとは言いませんが、危険思想です!。それは遠心力を実在する力とみなす事になるからです。遠心力を実在する力とみなしちゃ駄目なのか?。駄目です!。

 現代物理は1719世紀のニュートン力学の時代よりも、ある意味もっと素朴な発想をします。

 

  ・実在する力には、力の発生源があらねばならない。

 

 向心力である重力には、地球という発生源があるので実在の力だ。それが観測結果だ!という訳です。では遠心力に発生源はあるのか?。遠心力は物体が回転する時にしか発生しない。物体が回転する/しないは、人間が恣意的に決める事さえできる。また遠心力は、宇宙のどんな場所においても、原理的には発生されるのが可能だと考えられる。にも関わらずそれは、あたかも逆向きの重力のように作用する。

 宇宙空間には、回転した時だけ反重力作用を及ぼすような「隠れた質量」が充満してるとでも言うのか?。そんなの嘘だ!(^^)

 

 この状況を整理するには、地球に静止した座標系で運動を記述するのが一番です。つまり実在する力である(あろう)重力のみを用いて、遠心力を導ければ良い訳です。そうするとこの世には、とりあえず重力による向心力しかない事になります。

 でもでもぉ~、ガンダムの宇宙世紀の細長いシリンダーを回転させた宇宙コロニーの中で、アムロは遠心力による重力を感じていたぞ。それはどうなる!。

 

  ・だから重力しかない状況から、座標変換で遠心力を導いてさしあげますって(^^;)

 

 要するに地球に静止した座標系から、人工衛星に対して相対静止した座標系に移り、運動を記述し直すんです。これの物理的意味は、人工衛星に乗ってる自分と人工衛星との相対運動を表します。人工衛星に対して相対静止した座標系の座標値は、地球に静止した座標系の値で表す事が可能です。

 

 図-1は、人工衛星が軌道半径Rを一定角速度ωで地球周回してるという絵です。地球に静止した座標系(XY)から人工衛星に対して相対静止した座標系(xy)への変換は、次式になります。

 

  

 

 変換は2段に分けて考えると便利です。(1)の右辺の行列の後の()内は、図-1(XY)から(x'y')への変換を表します。これは座標系の原点の+R(cosωtsinωt)の平行移動です。(1)Rの符号が-なのは、図-1で軌道半径Rに沿って、座標系(XY)から(x'y')まで移動する過程を想像すれば明らかです。

 R(cosωtsinωt)だけ座標原点がずれれば、外の景色は(x'y')までに逆向きに-R(cosωtsinωt)だけ動きますよね?(^^)

 

ochi-ddt^3-fig-001.png

 

 次に(x'y')系を(xy)系に重ねるために、左へωtだけ回転させます。回転角がωtなのは、それが半径Rの回転角と同じなのは、図-1から明らかですよね?。左へωt回転さす操作が、(1)右辺の行列です。ただしこれも-ωtの回転を表します。自分が左へ回転したら、外の景色は右回りに回転しますよね?(^^)

 (1)(XY)=の式に直します。申し遅れましたが、tは時間です。

  

 こうするのは、これを地球に静止した座標系(XY)で記述された運動の運動方程式(3)に使いたいからです。

    

 (3)においてFは人工衛星に作用する重力,mはその質量です。(2)(3)へ代入し、(xy)で運動方程式を記述し直すためには、(2)の時間に関する2階微分を計算する事になります。微分はやりゃ~必ずできます。

だから地道に頑張ります(^^;)





 (4)(3)に代入する前に、少し状況を整理します。(xy)系で記述される運動の物理的意味は、人工衛星に乗ってる自分と人工衛星との相対運動を表すのでしたが、自分と人工衛星は全く同一の運動をしてても良いので、自分が人工衛星そのものだとしてもOKですよね?。そうすると(4)右辺1項目の(xy)0です(自分が原点だから)。また2項目の(xy)の時間の1階微分は、自分が人工衛星なので自分に対する自分の相対速度です。よってこれも0

 相対速度が0なら、相対加速度を含む3項目も0なんですが、次のステップでの式整理を容易にするために、0である事をおぼえておいて残しておきます。よって(4)(3)への代入結果は、

 

  

になります。ところで重力Fは図-1を参照しつつ詳しく書くと、

  

なのでさらに、

  

を得ます。(7)右辺1項目の加速度項を見ると、前にかかっている行列を除いて(3)右辺と同じ形をしています。これの物理的に意味するところは、まだ変換は完了していないという事です。

 

 そもそもの目的は(xy)系で(自分座標系で)運動を記述し直す事でした。そのために(XY)系での運動方程式(3)に手を付けたのでした。目標は(xy)系での運動方程式です。運動方程式は直接、[力=質量×加速度]の形をしていなければなりません。従って(7)右辺1項目の加速度ベクトルを裸にする必要があります。そのために前にかかっている行列の逆行列をかけます。するとなんと、

  

の形になります。運動方程式として正規の形にすれば、

  

です。(8)右辺は、自分座標系での[質量×加速度]の形をしているので、左辺は人工衛星としての自分が「現実に」感じる力です。何故なら重力しかない現実の状況から出発して、座標変換のみに基づいて自分座標での[質量×加速度]を数学的に導いたものだからです。

 

 ここで相対加速度は0なのを思い出すと、(8)y方向の成分は全て0になります。そこで、

  

と書くのが可能になります。(9)の力の方向は、図-1を参照すれば軌道の法線方向、あえて言えば遠心力に平行な方向です。符号が+ならまさに遠心力の方向です。人工衛星の軌道速度をvとすれば、v/Rωでした。これより(9)は、

  

となり、遠心力と重力が釣り合うという関係が得られ、無重量状態になります。

 でもですね、さっき(8)左辺は人工衛星が「現実に感じる力」だと書きましたが、それは(9)(10)から0になるのがわかります。だとしたら結局のところ遠心力mv2/Rは感じられないのです。こんなものを、観測できないものを考える意味なんてあるんでしょうか?。

それがあるんです。

何故なら遠心力は、実在する力に変換して測定できるからです





 図-2のように角速度ω(軌道速度v)で回転する半径Rの円筒殻の内部に自分は立っているとします。自分は円筒殻といっしょに回転します。まっ、アムロ君のいた宇宙コロニーですな(^^)

 円筒殻といっしょに回転してるので、自分は常に円筒殻の軌道速度vで円筒殻の接線方向に飛び出そうという速度を持ちます。円筒殻が本当に何もしてくれければ、本当に宇宙コロニーから接線方向に飛び出し、真空の宇宙空間で内圧爆死するはずです。しかし宇宙コロニーのシェル(殻)は、自分とコロニーの相対位置が変化しないように、ちゃんと押してくれます。その力はmv2/Rの「向心力」です。何故なら、自分は円筒殻といっしょに回転してるからです。コロニーに静止した座標系で運動方程式を立てると、向心力はmv2/Rでなければならない事がわかります(図-2の赤矢印)。

 この「向心力」は「接触力」と言われる実在の力です。その発生源は、シェルが自分を押す事によって発生するシェルの変形に起因する弾性力です。

 しかし自分はこの力を、「遠心力」と誤解して体感します。だってあたかも地面であるシェル方向に自分を引っ張る(もしくは押す)力と感じるからです(図-2の赤点線矢印)。これが疑似人工重力の正体です。

 

 でも上記の理屈は、自分と円筒殻が接触している限りにおいてではないでしょうか?。なので検証として、図-2の最初の位置で垂直跳びのようにジャンプしたとします。

 話を単純化するために、一瞬である高さまで跳んだとします。足裏が床から離れた瞬間に何の力も受けなくなるので、その時に手にした水平方向(左向き)の移動速度だけがが残ります。そして接線方向へ飛び出そうとする軌道速度vは、そのまま維持されます。この瞬間に自分のジャンプは、コロニーに静止した座標系では等速直線運動になります。

 

 

ところがその運動を図-3に示した自分座標系で記述し、地面(シェル)からの離れを追うと、何故かちゃんと重力加速度mv2/R/g×1Gの自由落下になっています。そのとき不可欠なのが、座標変換によって現れる、式(10)の「遠心力mv2/R」です。でもやはりmv2/Rは観測できません。だって自由落下に見えるものは、重力も何もない状況下での本当の等速直線運動なんですから。作用する力は全くありません。しかし運動方程式の辻褄は常に合うんですよ。

これは何故でしょう?。

 

 もう一度問います。遠心力は実在の力でしょうか?。実在の力ではないはずです。

 何故ならそれは、座標変換に由来する数学的な付加項として導けるものだからです。本当に実在するのは、地球に静止する座標系で考慮された重力だけのはずです。しかし遠心力を考慮すると、どんな自分座標系においても、運動方程式の辻褄は常に合います。

 さっきの垂直跳びは疑似重力下での自由落下です。それを地球上での垂直跳びの自由落下と同じになるなどとどうして言えますか?。じっさいその運動を、正しい(本当の?)運動方程式を与えると考えられるコロニー座標系で記述してみると、自由落下という加速度運動どころか、たんなる等速直線運動でした。でも自分座標系では予想通り(?(^^;))、自由落下になります。そんな事は普通ないはずです。

 

 これの物理的に意味するところは、運動方程式という運動法則は「いつでもどこでもどんな条件下でも常に正しい」という経験事実で、後に論理的に確認されます。これを物理法則の不変性と言います。

 物理法則が不変だからこそ、人工衛星の自分座標で運動を記述しても、宇宙コロニーの垂直跳びを自分座標で記述しても、「遠心力を考慮すれば」いつも妥当な結果が出てきます。そういう意味で「遠心力」は実在はしないが、力学にとって必要不可欠なものです。こういう座標変換によって現れる付加項を一般に、「慣性力」と呼び、「数学的な見かけの力」とも呼ばれます。そして「見かけの力」の具体的効果は測定可能です。例えば北半球での台風の左巻きは、ここでは省略したコリオリの力と言われる見かけの力の効果です。

 これらを摩訶不思議なものだとは思わないで下さい。妥当になるのには妥当になるだけの数学的理由があります。それが論理的確認です。

 

 でも以上の立論には、マッハ先生の反論ミサイルが飛んでくるんですよね。それは次回という事で(^^;)

 

 


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