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初等的な微分方程式の解法3 1階線形微分方程式 [微分積分]

初等的な微分方程式の解法3 1階線形微分方程式

 

1階線形微分方程式の一般形は

  

で与えられる。

定数変化法を用いて、(1)の一般解を求めることにする。

 

まず、(1)のQ(x)=0とした同次方程式

  

の一般解を求めると、

  fd3-001.png

が得られる。

つぎに、この任意定数cを関数u(x)で置き換え、(1)を満たすようにu(x)を定める。

そこで、

  fde3-002.png

を(1)に代入すると、

  

したがって、(1)の一般解は

  

である。

 

指数関数exp(x)で表すと、(2)式は

  fde3-004.png

 

(注)

(1)の両辺にを掛けると

  fde3-006.png

左辺は、

  fde3-007.png

となるので、

  fde3-008.png

両辺をxで積分すると、

  fde3-009.png

と、(1)の微分方程式の一般解を求めることもできる。

 

 

問題1 次の微分方程式を解け。

fde3-026.png

【解】

(1) P(x)=2xだから

  fde3-010.png

したがって、微分方程式の両辺にを掛けると、

  fde3-011.png

両辺をxで積分すると、

  fde3-012.png

 

(2) だから

  fde3-013.png

よって、

  

両辺にを掛けると、

  fde3-014.png

両辺をxで積分すると、

  fde3-015.png

(解答終)

 

問題2 次の微分方程式を解け。

【解】

 (1)

  fde3-017.png

 

(2) P(x)=2xだから

  

微分方程式

  

の両辺にをかける。

  fde3-018.png

(解答終)

 

定理 一階線形微分方程式

  

の一つの特殊解がy₁であるとき、一般解は

  fde3-019.png

【証明】

一般解yと特殊解y₁は微分方程式(1)の解なので

  

①と②の両辺の差をとると、

  

φ=y–y₁とおくと、

  

この微分方程式の一般解は

  fde3-020.png

よって、

  fde3-021.png

(証明終)

 

この定理は、

(1)のQ(x)=0とおいた同次方程式

  

の一般解を求め、それに何らかの手段で求めた(1)の特殊解を加えたものがであると言っている。

 

 

問題3 次の微分方程式を解け。

【解】

(1)

  

の一般解は

  

y=ax+bが特殊解であるとすると、

  

よって、a=1b=−1

したがって、

  

 

(2)

  

の一般解は

  

である。

が特殊解であるとすると、

  fde3-22.png

係数を比較すると、A=−1a=−1/2b=−1/4

よって、

  fde3-023.png

 

(3) y'+ay=0の一般解は

  

である。

  

y'+ay=sinxの特殊解であるとすると、

  fde3-024.png

よって、

  

これをABについて解くと

  

よって、

  fde3-025.png

(解答終)

 

【別解】

(1) 微分方程式の両辺にを掛けると、

  fde3-30.png

両辺をxで積分すると、

  fde3-32.png

 

(2) 微分方程式の両辺にを掛けると、

  fde3-32.png

両辺をxで積分すると、

  fde3-34.png

 

(3) 微分方程式の両辺にを掛けると、

  fd3-35.png

両辺を積分すると、

  fde3-35.png

(別解終)

 

 


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初等的な微分方程式の解法2 同次形 [微分積分]

初等的な微分方程式の解法2 同次形

 

正規形の微分方程式

  

の右辺G(x,y)y/xの関数、すなわち、

  

であるとき、同次形という。

このとき、

  

とおくと、次のように変数分離形に変換でき、一般解を求めることができる。

  fde2-001.png

 

 

問題1 次の微分方程式を解け。

【解】

(1) 右辺は、t=y/xとおくと、f(t)=1/tの形になるので、同次形。

y=txとおくと、

  fde2-002.png

 

(2) 右辺の分母分子をで割ると

  

よって、同次形。

y=txとおくと

  fde2-003.png

ここで、

  

よって、

  fde2-005.png

 

(3) 右辺をxで割ると

  

したがって、同次形。

y=txとおくと

  fde2-006.png

ここで、

  fde2-007.png

よって、①は

  fde2-008.png

 

(4) t=y/xとおくとy=tx。この両辺をxで微分すると、

  fde2-009.png

したがって、

  fde2-010.png

これをyについて解けば、

  

(解答終)

 

(1)は同次形の微分方程式として解いたけれど、これは変数分離法で

  fde2-011.png

 

 

同次形ではないが、微分方程式

  

は、次のように変形することによって同次形の微分方程式に帰着させることができる。

 

(ⅰ) のとき

連立方程式

  

を満たす(x₀,y₀)が存在するので、

  

によって(X,Y)の微分方程式にする。すなわち、

  

により

  

と同次形の微分方程式に変換できる。

 

(ⅱ) のとき、

b≠0のとき、t=ax+byとおくと

  

b'≠0のとき、t=a'x+b'yとおくと

  

 

 

問題2 次の微分方程式を解け。

【解】

(1)

   

連立方程式

  

を解くと、(x₀,y₀)=(1,1)

ここで、x=X+1y=Y+1とおくと、dx=dXdy=dYだから

  

Y=Xtとおくと

  

よって、

  

 

(2) だからt=2x–3yとおくと、微分方程式は

  fde2-013.png

これを解くと

  

(解答終)

 

 


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