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今日のお休みソング、「景の海のアペイリア」から『アペイリア』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、18禁ゲーム「景の海のアペイリア」から『アペイリア』です。


ED曲は、コレ↓らしいケロよ♪



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今日のアニソン、東方から『ワガママ ONE DAY』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、東方から『ワガママ ONE DAY』です。


八雲家と言えば、この曲を忘れるわけにはいかなにゃ。


そして、東方のネコといえば



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[境界積分の積分公式(ラプラス型)] [境界要素法]

[境界積分の積分公式(ラプラス型)]


ddt^3-002.png

 ・・・という訳で、「岩波数学公式集」です(^^)。一つの境界要素k上でのラプラス型の境界積分は、次の形の積分計算が出来れば良いのでした。tcsとして(csは図-2参照)、

  

ここでn≧0は整数です。

 (1)に部分積分を使えば、

  bem3-001.png

になるので結局、式(2)un+2(t)がわかればOKです。

 

 そこで突然ですが、形式的に次の等比数列の和、

  

 

を考えます。

 pは何でも良いので、p=-t2/h2とすれば、

  

となり、順次変形して行けば、

  

が得られます。

 両辺にtをかければ、

  

です。

 n01,・・・だったので、

  2(n1)  =246,・・・

  2(n1)1357,・・・

となり、(4)(5)を式(2)に代入した姿を想像すれば、u0(t)u1(t)さえ計算できればOKとわかります。

  

なので、

  

です。

 

 これらを式(3)に代入して、

  

  

を得ます。

 

 v0(t)v1(t)については、式(3)(8)(9)から計算すれば、

  

となります。

 

 ところで境界上の未知関数ψ*(c)q*(c)を線形近似した場合、v0(t)v1(t)u0(t)u1(t)があれば良いのでした(^^)
これらは既に計算してあるので、後はこれらを、c0→Lkについて定積分化するだけです。

 

 tcsでした。またhsは、境界要素kの配置と特異点η)の位置だけで決まり積分に対して定数なので、積極的理由のない限り出来るだけそのままの形で使用した方が便利です。そうすると図-2より、例えば、

  

が得られます。ここにγ1γ2は、図-2に示したc0cLkの時のrr1r2の方向(角度)です。同様に、

  

  

が得られます。

(執筆 ddt³さん)



これは、ネムネコのひとりごとです。

  

の積分は、次のように置換積分を使ったほうがよいでしょう。

  

したがって、

  

 また、

  

 


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数式の羅列だと思うだろう(^^ゞ [ひとこと言わねば]

本日、9月19日にアップした数学の記事、境界要素法の記事ですが、添字のついた式がたくさん出ているだろう。
近似計算をするのに必要な式の導出過程が簡単な差分法とは異なり、境界要素法や有限要素法は、複雑なんだケロ。見ていて辟易とするくらい、何だかわからない式がいっぱい出てくるにゃ(^^)
程度の差はあれ、境界要素法や有限要素法の本などもみんなそうだケロ。ここだけの出来事ではないケロ。ホニャララ法入門といった本を開くと、1〜100ページくらいまではこの手の話が延々と続くことはザラである。しかも、この手の本を読んでも、プログラムを自分で作ることはできないといったオチまでついる(^^)

なのですが、最終的にコンピュータに計算させるのは、境界要素法なら数十元から数百元、有限要素法ならば数百〜数千、場合によっては数万元以上の連立方程式をガウス消去法などをつかって解くこと。
コンピュータはバカだから、ヒトと違って、偏微分方程式を直接解くことはできない。だから、コンピュータが計算できるように、偏微分方程式を一次多元連立方程式の形にヒトが変形しないといけない。もっと正確に定義しないといけないのだろうけれど、このように、微分方程式を一次多元連立方程式の形に変形することを離散化と言うにゃ。だから、そのうち、行列であらわした連立方程式が登場するケロ。そうしたら、すこし楽になると思うにゃ。


なんで、こんな面倒なことをする必要があるか。

ラプラス方程式

  


こんな簡単な偏微分方程式ですら、微分積分の知識をフルに活用しても、解析的に解くことはできないんだケロ。解析的に解くことができるのはごくごく簡単な条件のもので、しかも、この厳密な解はフーリエ級数を用いた無限級数の形になってしまうのが普通。だから、具体的な値が欲しいときは、数値的に解かざるを得なくなる。どのみちコンピュータや電卓、数十年前ならばタイガー計算機(手回しの機械式の計算機)や計算尺を使って解く必要があるのならば、最初からコンピュータに解かせたほうがいいではないか。しかも、一度、プログラムを作ってしまえば、そのプログラムをすこし修正するだけで違う問題も簡単に解けてしまう。つまり、使い回しが効く!!


話は変わるが、昔、ネムネコが院生をやっていた大学院の研究室には、何故か、タイガー計算機が置いてあったにゃ。これはアンティークの飾りではなく、大学の備品番号が付いている、正式な大学の備品だったんだケロよ。誰も使うヒトはいなかったけれど、とある(名誉)教授の部屋の前を通ると、未だにタイガー計算機をまわす音がするという都市伝説はあったケロよ(^^)

タイガー、トラが出たので、さらに、この曲を♪



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今日のアニソン、「まかでみ・WAっしょい!」から『M☆O☆S☆O乱舞』 [今日のアニソン]

今日のアニソン、アニメ今日のアニソン、「まかでみ・WAっしょい!」から『M☆O☆S☆O乱舞』です。


さらに、この曲を♪



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[境界積分の積分部品(ラプラス型)] [境界要素法]

[境界積分の積分部品(ラプラス型)]


ddt^3-001.png
ddt^3-002.png
前回の最後で、境界積分を解析的に実行すると決心したのでした(^^;)。そこで境界積分に必要な積分部品をトップダウンで特定し、一つ一つ解析的に積分してボトムアップする事にします。そういう訳でここでは、記述を系統立てる記号の定義に終始します。

 図-1に示した一つの境界要素kでの境界積分は、境界上で解関数ψとその外法線微分qを線形近似した場合、


  


となりました。Lkは要素kの長さ、ψjqjは図-2に示した節点jj+1でのψ(c)q(c)の値です。


 (1)(2)の境界未知数ψj+1ψjqj+1qjの係数を、要素k上の未知量ψjqjに関する係数という意味で、


  bem2-002.png


  bem2-003.png


と書きます。(3)(6)を使うと(1)(2)は、


  bem2-004.png


と書けます。図-2に示した幾何学的な積分パラメータによって、bj(k)hj(k)の具体的形を与える事が、当面の目標です。


 これも前回の結果から、


  


です。(9)(10)(3)(6)に代入します。


  
  
 式(11)(14)を眺めると、


  


   


という定積分を求積出来れば良いとわかります。ところで積分計算の一般的傾向として、「分母は出来るだけ簡単に、logの中身も出来るだけ簡単に」した方が、「計算としてまだマシ!」ってのがありますよね?。


 よって上記は、cstと置換して、


  


  


とやるのが安全です。式(19)(22)の積分部品を拾うと、


  


  


 さらに定積分は不定積分がわかれば良いので、式(23)(26)の不定積分を(t)付きで表し、以上を全部のまとめて、ボトムアップ公式として書き出します。


  


  


  


  


  


  


  


  


 大変そうに見えますが、式(27)(30)が計算できたとすれば、その結果を、式(31)(34) → (35)(38) → (39)(42) → (43)(44)と順番に代入して行けば良いだけです。こういう事はコンピュータの最も得意とするところです。
  よってあと人間のやるべき事は、式(27)(30)の不定積分を決定する事だけですよ(^^)


(執筆 ddt³さん)


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秘密の定理 [数列と級数]

秘密の定理

 

定理

閉区間[a,b]で定義された連続関数からなる関数列が一様有界で、連続関数f(x)が収束するならば、

  himitu-001.png

が成立する。

 

一様有界とは、

  

となる定数Kが存在すること。

 

この定理がどれほど強力かというと、次の問題が簡単に解けてしまう。

 

問 次の値を求めよ。

【解】

(1) 

よって、は一様有界。

また、

  

となるので、上の定理から

  

 

(2) 

よって、は一様有界。

また、

  

したがって、

  

 

(3) 

したがって、は一様有界。

また、

  

よって、

  

(解答終)

 

(1)くらいならば、0≦x≦1のとき、

  

したがって、

  

ここで、

  

となるので、ハサミ打ちの定理より

  

と解くことができるけれど、(2)、(3)はこのように簡単に解くことはできない。

 

しかも、[a,b]で連続な関数からなる関数列が一様収束ならば一様有界なので、一様収束の関数列に対してもそのままこの定理を使うことができる。

 

 

宿題 次の値を求めよ。

  

 

(ヒント)

この問題は、

  hm-002.png

に気づけば解けるが・・・。そして、ロピタルの定理を使えば・・・。

  hm-003.png

とすると、

したがって、・・・。

 

 


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今日のアニソン、「CLANNAD」から『時を刻む唄』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「CLANNAD」から『時を刻む唄』です。



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今日のアニソン、「CLANAND」から『小さな手のひら』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「CLANNAD」から『小さな手のひら』です。


最近、ちょっと、自分の心が荒んできていると思ったので、この曲をセレクトしたにゃ。



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一様収束の復習 [数列と級数]

一様収束の復習

 

区間Iで定義された関数からなる関数列x∈Iの各点で関数f(x)に収束するとき、すなわち、

  iy-001.png

であるとき、関数列I上でf(x)に各点収束するという。

 

例1

  iy-002.png

この関数列は、

  iy-003.png

に収束する。

そこで、

  iy-004.png

と定義すれば、

  

となる。

 

ところで、0<x<10に収束するので、任意のε>0に対して

  iy-005.png

したがって、任意のε>0に対して、正の整数を選ぶと、x∈[0,1]

  iy-006.png

となる。

ここで[x]はガウス記号で、xを越さない最大の整数である。

 

一般に、区間Iで定義された関数列f(x)に収束するとき、例1のように、(1)式の正の整数Nεだけでは定まらず、点xで異なる。しかし、点xに無関係にNεだけで定まるとき、つまり、であるとき、f(x)に一様収束するという。すなわち、

任意のε>0に対し、N(ε)を十分に大きく選べば、∀n>N(ε)と∀x∈Iに対し

  iy-000.png

であるとき、関数列は関数f(x)に一様収束するという。

 

例2

  

0に一様収束する。

  iy-009.png

よって、任意のε>0に対して、にとれば、∀n>Nと∀x>1に対して

  

となり、0に一様収束する。

一様収束する関数列に関しては、次の定理が成立する。

 

定理

[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でf(x)に一様収束するならば、

  iy-007.png

 

例3 a>1とすると、

  

は、[1,a]上で0に一様収束する。

したがって、定理より

  iy-010.png

実際、左辺を計算してみると、

  iy-008.png

 

問題 

  

のとき、次の問に答えよ。

(1) が一様収束することを示せ。

(2) iy-014.pngの値を求めよ。

【解】

(1)を微分すると、

  iy-011.png

したがって、x=1/nのときに極大、かつ、最大になり、

  

したがって、任意のx≧0に対して

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

である。

ε>0、さらに、とすると、

  iy-012.png

したがって、任意のεに対して、にとると、∀n>Nに対して

  

となるので、0に一様収束する。

 

(2) 定理より、

  

(解答終)

 

ところで、例1の

  iy-002.png

は、0に各点収束するけれど、一様収束ではない。

しかし、

  iy-003.png

また、の極限関数

  iy-004.png

の定積分

  

となり、

  iy-013.png

が成り立つ。

 

つまり、[a,b]で連続な関数で、関数列が一様収束しなくても、

  iy-007.png

が成り立つ場合がある。


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