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【特別寄稿】 コーシーの積分公式の周辺-1 [複素解析]

【特別寄稿】 コーシーの積分公式の周辺-1

 

 コーシーの積分定理と積分公式から、以下を導けます。複素平面をzxiyで表すとして、

  (1) z0を外点とする任意の領域Rで、

   

  ただし∫dzRの境界C上の複素積分。

  (2) z0を内点とする任意の領域Rで、

  

  (3) z0で形式的に、1/z=∞。

 

 これを見た時「デルタ関数の積分だ!」と思ったものでした(係数2πi)。というのは、複素関数を実と虚部の成分関数でf(z)u(xy)iv(xy)と書けば、複素(線)積分はガウスの発散定理で、実質は実の領域積分に直せるからです。

 数値計算を(間違って?(^^))仕事にし、物理数学と渋々直面した人は、必ず1回はグリーン関数法を経験します。グリーン関数法は、グリーンさんがグリーンの公式を使って線形偏微分方程式の便利解法として開発したものです。

 領域Rで定義される線形偏微分方程式を表す線形作用素をLとし、Lf(xy)g(xy)Rの境界Cで境界条件Bを満たすとします。ここでf(xy)は未知関数,g(xy)は既知関数です。C上でBを満たし、Rで、

  

を満たすG(xyξη)がグリーン関数です。δ(ξη)η)に特異点を持つデルタ関数。Gが見つかれば、線形作用素Lには解の重ね合わせが効くので、

  

f(xy)を計算できます。∫dξdηRで行います。

 ところが境界条件Bを満たすグリーン関数をみつける計算の方が、Lfgを解くよりよっぽど難しいなんて事態は、よく起こります。そこで出来るだけ簡単なグリーン関数を使用して、境界条件のずれは数値的に合わせようとグリーン関数法を現代っぽくアレンジしたのが、境界要素法です。

 Lとして一番普及してるのは、非圧縮性渦無し完全流体と静電場の支配方程式に現れるラプラシアン

  

です。Δに対するグリーン関数は、

  

と書けます。とりあえずδは原点に特異点を持つとしますが、任意の位置に特異点を持つ場合は、上式の解を平行移動するだけです。境界要素法では出来るだけ簡単なグリーン関数を使いたいので、普通はφを等方的とし境界条件は付けません。この条件を付けたグリーン関数を、ラプラス方程式の基本解と呼びます。

 等方的なφとすれば極座標に移った方が便利なので、Δで書き変えます。

  

   ※等方的なのでの項は0になる。

 δ(0)r0以外では0です。従って実質的には、r≠0で、

  

 

を解けば良い事になります。これは線形常微分方程式です。解の公式を適用し、

  

を得ます。ABは積分定数。非圧縮性渦無し完全流体でも静電場でもφはポテンシャルですので、B0に選べます。Aの決定にはデルタ関数の性質を使います。

  

 ∫dxdyは、原点を内点として含む任意の領域Rで行います。再びδの性質から、r≠0ではδ(0)0なので、Rとして半径εの円が可能です。∫Δφdxdyはそのままでは積分できないのでガウスの発散定理を使い、円周上の線積分ε∫dθに直します。θ0です。そうするとφ(r)の具体的形から、

  

が得られて、2πA1よりA1/(2π)になります。

 すなわちラプラス方程式の基本解は、

  

です。δη)に特異点を持つ場合は、とします。

 (1)(3)はデルタ関数の実用的な定義と言えますが、(1)(3)のかわりに、基本解φがラプラス方程式、

  

を満たす事を、デルタ関数の定義にも出来るはずです。

(執筆 ddt³)



以上は、ネムネコ・ファミリーのddt²さんの「ねこ騙し数学」への投稿記事です。

見やすいように若干数式に手を入れました。

 

なお、δ関数とは

  

という特殊関数のこと。

物理学者のディラックが提案した関数。

ネムネコの補足(蛇足(・・?)


関数f(x)=√xが一様連続であることの証明 [微分]

関数f(x)=√xが一様連続であることの証明

 

一様連続の定義

関数f(x)は区間Iで定義されている関数とする。任意のε>0に対して次の条件をみたすδ>0が存在するとき、f(x)Iで一様連続という。

  

 

関数の一様連続に関して、次の重要な定理に次のものがある。

 

定理

関数f(x)有界閉区間Iで連続ならば、f(x)Iで一様連続である。

 

上の定理ではIが有界な閉区間であることが重要。

 

例 で定義されるf(x)=1/xは、Iで連続であるけれど、Iで一様連続ではない。

x₁x₂∈(0,1]であるx₁x₂

  

にとると、

  

となり、nをどんなに小さくしても、これは1より小さくならないので、一様連続ではない。

I=[1,∞)にすると、

  

そこで、任意のε>0に対して、δ=εδ>0をとると、

  y=root2-graph-002.png

したがって、f(x)=1/xは区間[1,∞)で一様連続になる。

 

上の例のように、区間Iが有界な閉区間でなくても、Iで一様連続である関数は存在する。

 

 

問1 次の関数が一様連続であることを示せ。

  

【解】

平均値の定理より

  

となるcx₁x₂の間に存在する。

  

(1)より

  

任意のε>0に対して、δδ=εにとると、

  

よって、一様連続である。

(解答終)

 

【別解】

  

よって、任意のε>0にたいしてδ=εとすれば、

  

(別解終)

 

 

問2 とする。f(x)が区間(1,∞)で一様連続であることを証明せよ。

【解】

x₁x₂∈(1,∞)とする。

平均値の定理より

  

となるcx₁x₂の間に存在する。したがって、c>1

よって、

  

そこで、任意のε>0に対して、δδ=2εにとると、

  

したがって、√xは区間(1,∞)で一様連続である。

(解答終)

 

問3 平均値の定理を使わず、有理化を行うことで、問2を証明せよ。

 

問4 とする。関数f(x)は区間[0,1]で一様連続であることを証明せよ。

【解】

f(x)=√xは有界閉区間[0,1]で連続。したがって、定理よりf(x)=√x[0,1]で一様連続である。

(解答終)

 

問2、問4より、[0,∞)で一様連続ということになる。

 

問4は、技を使わないと、ちょっと証明しづらいので、定理を使って証明した。

そして、その技を使うと、ダイレクトに[0,∞)で一様連続であることを証明できる。

 

【証明】

a≧0ε>0に対して

  

である。

x₁x₂∈[0,∞)とする。

任意のε>0に対してδ=ε²とおくと

  

x₁≧x₂のとき

  

だから、

  

x₁<x₂のとき同様に

  

①と②より

  

したがって、任意のε>0に対して、δ=ε²とすると、

よって、f(x)=√x[0,∞)で一様連続である。

(証明終)

 

なお、⑨は、⑨式の両辺が非負であるので、2乗しても大小が変わらないので、右辺²と左辺²の差をとると

であることから簡単に証明できる。

 

 


今日のお休みソング、「妖狐×僕SS」から『太陽と月』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、「妖狐×僕SS」から『太陽と月』です。


目当ての曲と違ったのですが、同じタイトルのこの曲を今日のお休みソングに選んだにゃ(^^ゞ

今日のアニソンを始めてもうすぐ1年半になるので、さすがに曲が尽きてきたにゃ。


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今日のアニソン、「宇宙をかける少女」から『Miracle Fly』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「宇宙をかける少女」から『Miracle Fly』です。


さらに、この曲を!!


アニソンは、OP曲よりもED曲にいい曲が多いように思うのは、ネムネコの勘違い(・・?


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ラグランジュの未定乗数法を使って大学入試の有名問題を解く [多変数関数の微分]

大学入試の問題で非常に有名な問題がある。

 

問題 正の実数abca+b+c=1を満たすとき、次の問に答えよ。

(1) abcの最大値を求めよ。

(2) であることを示せ。

(3) の最小値を求めよ。

【解】

(1) 相乗平均≦相加平均より

  

よって、a=b=c=1/3のときabdの最大値は1/27

 

(2)

  

 

(3)

相加平均≧相乗平均より

  

また、(2)よりだから、

  

したがって、a=b=c=1/3のときに最小値100/3

(解答終了)

 

(2)は、シュワルツの不等式

  

を知っていれば、x=y=z=1とおき、

  

となることから、このことは容易に想像がつくが・・・。

 

(a,b,c)を原点を中心とする半径rの球の球面上x²+y²+z²=r²の点と考えると、

 

この球と平面x+y+z=1が共有点をもつ条件は、球の半径r≧平面x+y+z=1と原点との距離

  lag-siki-003.png

と解くこともできる。

等号が成立するのは、球x²+y²+z²=r²と平面x+y+z=1が接するとき。

 

(3)は、相加平均≧相乗平均だから

  lag-siki-004.png

よって、

  

したがって、最小値は12としてはいけない。最小値が12になるのはa=b=c=1のときだから、a+b+c=3≠1となり、問題の条件を満たさないからだ。

 

 

ラグランジュの未定乗数法を使うならば、次のように解くことができるだろう。

 

(1)は、 f(a,b,c)=abcg(a,b,c)=a+b+c–1=0とし、

  

とすると、

  

a≠0b≠0c≠0だから、abcで割ると

  

また、a+b+c=1だから、a=b=c=1/3

したがって、f(a,b,c)=abcの極値は

  

 

(2)は、f(a,b,c)=a²+b²+c²とし、

  

とすると、

  

これとa+b+c=1より、a=b=c=1/3となり、f(a,b,c)の極値は

  

 

(3)は、とおき、

  lag-siki-006.png

とすると、

  lag-siki-009.png

よって、

  lag-siki-007.png

何故ならば、a>0b>0のとき

  lag-siki-008.png

だから。

同様に、b=c

よって、a=b=c=1/3

したがって、f(a,b,c)の極値は

  

 

厳密なことを言うと、ラグランジュの未定乗数法を用いるとき、(1)、(2)、(3)のいずれの場合も、a=b=c=1/3のときにf(a,b,c)が極値であることを証明しないといけない。何故ならば、(a,b,c)=(1/3,1/3,1/3)は、あくまでf(a,b,c)が極値をもつ候補の点に過ぎず、この点で極値をとる保証がないから。そして、この証明はそれほど簡単なものではない。

 

 


今日のお休みソング、東方から『Hide and seek × Spirit away』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、東方から『Hide and seek × Spirit away』です。


夜も暑いので、ネムネコは最近不眠症気味。だからか、こう癒やし系の曲を聞きたいと思うのであった。



フナムシとゴキブリ、どちらが気持ち悪い(・・? [ひとこと言わねば]

突然、天啓の如く、ネムネコの頭に次の疑問が浮かんだ!!
ゴキブリとフナムシ、ドッチが気持ち悪いのだろう?

世の中には、同じことを疑問に思うヒトがいるらしく、YouTubeで次のような動画を見つけた。


ネムネコは海育ちだからフナムシには親近感があって、断然、ゴキブリのほうが嫌だけれど、フナムシを見たことのない都会育ちのヒトはどんな反応を示すのだろう。都会育ちのヒトはゴキブリを見慣れているから、フナムシのほうが気持ち悪いのかもしれない。


さらに、この曲を!!



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今日のアニソン、「ちはやふる」から『そしていま』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「ちはやふる」から『そしていま』です。


さらに、「ちはやふる」からこの曲を♪


もう一曲いくにゃ!!



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円外の点より引いた接線と極線の問題 [初等幾何学]

円外の点より引いた接線と極線の問題

 

問題 円x²+y²=r²の周上の点P(a,b)における接線の方程式はax+by=r²である。

(1) 円外の点Q(x₁,y₁)より、この円に2つの接線、その接点をABとするとき、直線ABの方程式を求めよ。

(2) 直線ABの円外の点より、この円に2つの接線を引き、接点をそれぞれCDとすると、直線CDQを通ることを示せ。

【解】

sessen-kyokusen-001.png(1) 接点ABの座標を(a₁b₁)(a₂,b₂)とすると、接線の方程式は

  

直線①、②は点Q(x₁,y₁)を通るので

  

よって、A(a₁b₁)B(a₂,b₂)は直線x₁x+y₁y=r²上にある。2点を通る直線は1本だから、直線の方程式は

  

である。

 

(2) (1)で求めた直線x₁x+y₁y=r²上の円外の点をR(x₂,y₂)とすると、

  

また、(1)より接点CDを通る直線CDの方程式は

  

である。③より点Q(x₁,y₁)は直線x₂x+y₂y=r²上の点なので、直線CDは点Qを通る。

(解答終)

 

x²+y²=r²の外部の点P(x₁,y₁)からこの円に2本の接線を、そのときの接点を通る直線は

  

である。

この直線を、円x²+y²=r²の点Pという)に関する極線という。

 

 


反転の問題 [初等幾何学]

反転の問題

 

数学の問題集を見ていたら、反転に関する次の問題があった。

 

問題

原点を中心とする半径rの円の円外の点P(x,y)から接線を引き、2つの接線を結ぶ直線とOPとの交点をQ(X,Y)とするとき、PQに写す写像を反転という。

(1) OPOQ=r²を証明し、次の等式を導け。

  

(2) この反転の逆写像も反転であることを証明せよ。

(3) Pが直線x+y=1上を動くとき、Qのえがく図形の方程式を求めよ。

【解】

hanten-pro-001.png(1) 円外の点Pから円に引いた接線の交点をABとし△OQAと△OAPに注目する。

  ∠AOQ=∠POA

  ∠OQA=∠OAP=∠R

  ∴ △OAQ=△OPA

よって、

  

①の両辺をOQ²で割ると

  

Pは線分OQの延長線上にああるから、

  

よって、

  

である。

 

(2) ①の右辺、左辺をOP²で割ると、

  

よって、この反転の逆写像も反転である。

 

(3) x+y=1を代入すると、

  

よって、点(r²/2r²/2)を中心とする半径r²/√2の、原点Oを通る円である。

hanten-prob-002.png

(解答終)

 

一般に、反転によって原点を通らない直線は原点を通る円に写され、原点を通る円は原点を通らない直線に写される。

③式に②式を代入するとx+y=1に戻るので、これから、反転によって原点を通らない円が原点を通らない直線に写ることが確かめられる。

 

この問題で使われている反転の定義が面白いと思ったので、今回、特別にこの問題を取り上げてみました。