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解答が一つも届いていないケロ!! [今日のアニソン]

昨夜、お願いした

問題 2次の正方行列

  

は相異なる固有値をαβα≠β)を持つとする。

αに対する固有ベクトルをβに対する固有ベクトルをとするとき、は直交することを示せ。


の解答が1つも届いておりません。
これは一体、どういうことでしょう。
このままだと、お願いをした記事に書いてある、なんだかわからない、アレが解答になるケロよ。それでもいいケロか?

まぁ、お願いはしたものの、解答が届くなんて端から期待していなかった。仕方ないから、自分で、泥臭く解いたにゃ。
ということで、ネムネコ、自画自賛ソングを。


さらに、


と煽る。




ネムネコに、


と言われたくなければ、少なくとも、自力でこの問題くらいは解くべきだと思うケロ。

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今日のアニソン、「フレンチ☆KIss desuyo.」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「フレンチ☆KISS desuyo.」です。


何を言っているかわからないけれど、冒頭部の強烈なインパクトとこの可愛い絵から選んだにゃ。

これは桃箱の曲で、「ねこ騙し数学」でも多数、桃箱の曲を紹介しているにゃ。







そして、この曲も桃箱の曲だったのでした。




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ワンポイントゼミ 1次変換と図形2 [線形代数の基礎]

ワンポイントゼミ 1次変換と図形2

 

問題1 1次変換

  

は、平面上では相似変換であることを示せ。またこのこと利用して、放物線y=ax²a¬0)y=x²と相似であることを示せ。

【解】

  

P(x,y)の像をP(x',y')とすると、

  

したがって、この変換はOを中心としたa倍に拡大縮小する変換であり、相似変換である。

また、P(x,y)y=ax²上の点とすると、

  

だから、

  

したがって、P(x',y')y=x²上に存在する。

よって、放物線y=ax²y=xと相似である。

(解答終)

 

問題2 平面上に点P(1,2)Q(3,4)がある。1次変換fによってPQに、QPに写される。

このとき、次の問に答えよ。

(1) 1次変換fを表す行列を求めよ。

(2) fにより原点からの距離が変わらない点の軌跡を求めよ。

(3) fにより直線PQ上の点は直線PQ上に写されることを示せ。

【解】

(1) 1次変換fを表す行列をAとする。

fにより(1,2)(3,4)に、(3,4)(1,2)に写されるので、

  1hen-zu2-001.png

 

(2) P(x,y)fによるPの像をP'(x',y')とすると、

  1henzu02-002.png

OP=OP'だからOP²=OP’²

したがって、

  1henzu-003.png

よって、

  

 

(3) P(1,2)Q(3,4)を通る直線の方程式は

  

この直線上の点(t,t+1)tは実数)のfによる像は

  1henzu2-004.png

よって、fによりPQを通る直線y=x+1上の点は直線y=x+1上に写される。

(解答終了)

 

 

1次変換fを表す行列だから、|A=(−5)5−4(−6)=−1¬0となり、Aは正則行列。したがって、直線l₁は直線l₂に写される。

l₁は点PQを通る直線であり、l₂は、PQの像であるQPを通る直線なのだから、l₁l₂は一致する。

Q(3,4)P(1,2)を通る直線l₂の方程式は

  

で、l₁:y=x+1と一致する。

 

なお、この1次変換により自分自身に写される直線の方程式は、

  

k=0とおけば(2)で求めた直線になり、k=1とすれば(3)の直線PQになる。

これは偶然、それとも、何か関係がある(^^)

 

 

問題3 方程式x²−y²=a²a>0)で表される曲線を、原点のまわりに45°回転して得られる曲線の方程式を求めよ。

【解】

曲線x²−y²=a²上の点P(x,y)を原点まわりに45°回転した点をP'(x',y')とすれば、

  

したがって、P’を原点まわりに−45°回転させればPになる。

   

これをx²−y²=a²に代入すると、

  

したがって、求める曲線の方程式は

   

(解答終)

 

このことから、x²−y²=a²は双曲線xy=a²/2を原点まわりに−45°回転させた双曲線であることが分かる。

 

x^2-y^2=a^2-graph-001.png

 

 

 

問題4 行列が表す1次変換

  

によって円x²+y²=1x²+y²=r²に写されるとする。このとき、

  1henzu2-006.png

であることを示せ。

【解】

x²+y²=r²上の点(x’,y’)とすると、

  

これが、x²+y²=1²と一致するためには、

  

でなければならない。

  1henzu2-007.png

逆に、

  1henzu2-006.png

のとき、

  

したがって、①とx²+r²=1は一致する。

(解答終)

 

1henzu2-006.pngが成り立つとき、1henzu2-008.pngが表す1次変換は相似変換である。

特に、r=1のとき、1henzu2-008.pngが表す1次変換は合同変換になる。

問題1のや原点まわりの回転はこの特殊なケース。

 

 


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誰か次の問題を綺麗に解いて!! [ひとこと言わねば]

誰か次の問題を綺麗に解いて!!

 

問題 2次の正方行列

  

は相異なる固有値をαβα≠β)を持つとする。

αに対する固有ベクトルをβに対する固有ベクトルをとするとき、は直交することを示せ。

 

【解】

とする。

問題の条件より、

  

したがって、

  

よって、は直交する。

ここで、

  

(解答終)

 

なお、

  

こういう表記法がいいかどうかという問題はあるけれど・・・。

また、左上添字のtは転置行列をあらわす。

 

上の解答に類するもの、より一般の対称行列のものはいい。一般の対称行列(3次)の場合の証明は、確か、テンソル入門で書いたはずだから。

 

「泥臭い」と言っては語弊があるけれど、生真面目に行列の成分計算をした、高校生が読んでも分かるような解答が欲しいにゃ。

私が欲しいのは、うまい解答ではなく、できるだけ「泥臭い」もの、固有ベクトルをしっかりと求めたもの。しかし、場合分けなどがきっちりとされている、冗漫ではない解答が欲しいにゃ。

 



お願いしますにゃm(__)m

頂いた解答は、このブログで紹介します。


どうせ、お前らの誰からも解答が送られてくることはないだろうけれど・・・。

だったら、上の奴が解答になるからな。


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今日のアニソン、『ポジティブ☆ダンスタイム』 covered by ななひら×nayuta [今日のアニソン]

今日のアニソンは、『ポジティブ☆ダンスタイム』 covered by ななひら×nayutaです。


脳天気な歌声で「ななひら」はいいにゃ。「ななひら」の歌を聞くと、悩みは吹き飛び、ネムネコも脳天気になれるにゃ。


そして、ななひらといえばこの曲を忘れてはなるまい。


やっぱ、アリスは可愛いにゃ。
「何だにゃ、結局、アリスに落とすケロか?」
「なんか、今日は疲れている。昨夜から、信じられないくらいの勘違いとミスを犯していて、頭が回らないんだよ。」
「計算ミスはいつも事だにゃ。今日に限ったことではないケロ。頭が回るたって、いつもグルグル空回りするだけじゃないケロか。」


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宿題の解答例 [線形代数の基礎]

宿題の解答例

 

宿題 次の1次変換で自分自身に戻る直線を求めよ。

  s02018-001.png

 

fudou-fig-001.png【非常にうまい(かもしれない)解答】

s0218-002.pngとする。

Aによって自分自身に写される直線lの方向ベクトルをl上の任意の点PAによるその像P’の位置ベクトルをそれぞれとする。

このとき、は直線上にあるので

  

また、

  

したがって、

  

である。

  s0218-003.png

と置くと、①より

  s0218-004.png

②−③は

  

t=0のとき、x+y=0

a=bのとき、で、このことはly=xと平行な直線であることを示している。したがって、x−y=kkは任意の実数)。

また、直線x+y=0x−y=kkは実数)はAによって自分自身に写るので、求めるべき直線は

  

である。

(解答終)

 

上の解答を読んで、きっと、「何が書いるのかかわからない」、「どうしてこうなるのがかわからない」と思ったに違いない。

上の解答を読んで「あ〜なるほど」と思うヒトは、よほど数学的才能に溢れるヒトか、そうでなければ、分かっていないのにわかったふりをするいいカッコしいか、本当は分かっていないのにわかった気になれるお目出度い人だと思う。

 

 

 

したがって、これは、自分が⑨であることを自覚する、我ら⑨の一族が目指すべき解答ではない!!

 

 

 

 

【別解】

s0218-002.pngとし、Aによって自分自身に写される直線lの方程式をax+by+c=0a≠0またはb≠0)とする。

l上の点の座標を(x,y)とすると、その像(x',y')

  s0218-005.png

(2x+y,x+2y)は直線l:ax+by+c=0上にあるので、

  

これがax+by+c=0と一致するためには、

c≠0のとき、

  

したがって、このとき、直線lの方程式は

  

でなければならない。

c=0のとき、

  

b=−aの場合は、c≠0のときに求めた結果をk=0としたものになるので、b=aの場合をだけを考えればよい。

よって、

  

また、Aによって、直線x+y=0x−y=kkは任意の実数)は、それぞれ自分自身に写されるので、求める直線の方程式は、

  

である。

(解答終)

 

先の「1次変換と直線の追加問題」の問題1の解答、別解より、別解2に倣った上の「別解」の方がわかりやすいでしょう。

 

ところで、

c≠0のとき、

  

だから、これは行列を用いると、

  s0218-006.png

c≠0のとき、

  

とおくと、

  s02018-007.png

①は②のλ=1の場合と考えれば、

  s0218-009.png

を満たす(a,b)≠(0,0)である連立1次方程式の問題に帰着できる。

(1)は

  s0218-010.png

と変形が可能。

そして、行列が逆行列を持つとき、(2)の解(a,b)=(0,0)になるので、(a,b)≠(0,0)であるためには、

  s0218-011.png

でなければならない。

 

そして、この問題から、|A−λE=0を満たす解に1が含まれるとき、Aによって自分自身に写される直線の中に原点を通らないものが含まれるという異常(?)な事態が発生することが予想される。

 

前回の問題1は

  s0218-014.png

だから、

  s0218-012.png

λ=2に対応する直線はx+y=0λ=5に対応する直線はx−2y=0で、ともに原点を通っているだろう。

 

実は、

  s0218-013.png

とし、(3)の相異なる実数解をαβとする。

α≠1β≠1のとき、Aによって自分自身に写される直線は

  

になるのであった。

 

s0218-014.pngとすると

λ=2のとき、

  

λ=5のとき

  

 

ただし、これらのことは、証明せずに(テストの答案などで)使ってはならない!!

しかし、計算結果の確認には使えるだろう(^^)

 

 


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ネムネコの経験則と、ほんのすこしだけ論理のお話 [ひとこと言わねば]

昨日2月16日の記事にネムネコの経験則というものを紹介したにゃ。

「贔屓」や「よく」という文学的な言葉を除くと、ネムネコの経験則は次の2つになる。

 1 ネムネコが見るならば、羽生は負ける

 2 ネムネコが見ないならば、羽生は負けない

「ネムネコが見る」という命題をp、「羽生は負ける」という命題をqとすると、1と2は次のように表すことができる。

 

記号「⇒」は「ならば」、記号「¬」は「ホニャララでない」という命題の否定を表す。

 

さてさて、

1と2から

 

すなわち、

 3 羽生が負けないならば、ネムネコは見ていない

 4 羽生が負けるならば、ネムネコは見ている

は成り立つでしょうか?

 

これは、転換法じゃないか。だから、1と2が成り立つとき、3と4が成り立つのは当たり前!!

 

転換法

一連の真である命題p₁⇒q₁p₂⇒q₂p₃⇒q₃・・・があって

 (1) p₁p₂p₃・・・がすべての場合を尽くしている

 (2) q₁q₂q₃、・・・は、どの2つも両立しない

このとき、これらの逆の命題q₁⇒p₁q₂⇒p₂q₃⇒p₃、・・・が成り立つ

 

そんなことは指摘されるまでもなく知っているにゃ。

「ネムネコが見る」か「ネムネコが見ない」かの2つしかないので、p¬pですべての場合を尽くしている。

「羽生が負ける」と「羽生が負けない」は両立しえない、つまり、q∧¬qは常に偽である。ここで、記号「∧」は「かつ」、「および」を表す。

だから、3(2の逆)と4(1の逆)が成り立つことは、誰に指摘されるまでもなく、知っているケロ。

 

しかし、オレは、これまで、「転換法が成り立つこと」のしっかりとした証明を見たことがない。

ネットでちょっと調べてみたところ、この程度のものしか出ていなかった。


転換法
転換法とは,仮定がいくつかの場合に分かれている命題
命題 
A⇒P,B⇒Q,C⇒R
が成り立つとき,この命題の逆を証明するときに用いる証明法のことです.
仮定A,B,Cですべての場合をつくし,さらに結論P,Q,R のどの2つも共通部分がないとき,自動的に逆が成り立ちます. 実際,A,B,Cですべての場合をつくしているから P⇒A,P⇒B,P⇒C
のいずれかが成り立ち, 一方,P,Q,Rはどの2つも共通部分を持たないから P⇒B,P⇒Cは成り立たない.
したがってP⇒Aが成り立ちます.
http://sshmathgeom.private.coocan.jp/index411.html

とりあえず何でもである、あの、ウィキペディアには、「証明」という項目に出ているだけで、「転換法」という独立した項目すらない(笑)。

愛媛大学の基礎応用数学の第2章「命題と論理」には転換法が紹介されているだけ。そして、次の問題と解答が出ていた。

 

例題2.8 (p⇒q)かつ(¬p⇒¬q)であるとき、(q⇒p)であることを示せ。

http://web.agr.ehime-u.ac.jp/~kishou/Lecture/math2f/090415math2f/Chap2_log.pdf

 

ちなみに、ここでは、真偽表を使ってこのことを示してあるにゃ。

 

いいのかね〜、こんなありさまで。

 ――真偽表を使って証明していることを言っているのではない。あまりにひどい状況だと言っている――

 

 

ところで、

p⇒qを証明する代わりに¬q⇒¬pを使ってp⇒qを証明明する方法はなんて言うにゃ。

対偶法というじゃなかった。

¬q⇒¬pp⇒q対偶いい、この2つは同値(真偽が一致すること)である。

なぜならば、

p⇒qは、¬p∨qで定義するから、

  

ここで、記号「∨」は「または」を表す。また、¬(¬q)は、「qでない」ではないの2重否定だから、qのこと。

対偶法とは、p⇒qを証明するのではなく、それと同値の命題¬q⇒¬pを証明することによってp⇒qを証明する方法。

 

また、一般に、命題Aと命題Bに対して、A∧B⇒AまたはA∧B⇒Bは常に成り立つ。

  

ここで、Tは真を表す。「Aでない」または「A」は常に真。すなわち、¬A∨A=T。論理学で最も基本の原則!!

例えば、

 命題A:ネムネコはネコである

 命題B:ネムネコは日本に住んでいる

とすると、

 「ネムネコはネコである」かつ「ネムネコは日本に住んでいる」、ならば、「ネムネコはネコである」

 「ネムネコはネコである」かつ「ネムネコは日本に住んでいる」、ならば、「ネムネコは日本に住んでいる」

は常に真だろう。

なお、ネムネコがバケネコでネコでなくても、ネムネコが日本に住んでいなくても、上の命題は真だにゃ。

何故ならば、条件が偽ならば、結論が真であろうと偽であろうと、この場合、論理学では、「⇒」は真と定義するんだから。

 

p⇒qの真偽表

p

q

p⇒q

 

 

同様に、¬p⇒¬qの対偶はq⇒pで、この2つは同値。

だから、

(p⇒q)かつ(¬p⇒¬q)であるとき、(q⇒p)

 

少し脱線したけれど、

以上のことから、

 

は、それぞれ、

 

を対偶に言い換えたものにすぎないのでした。

だから、1と2が成り立てば、、3と4は成り立つ!!


将棋の羽生が藤井に負けたのはネムネコがネットで羽生を見たせいで、フィギュアの羽生が金メダルをとれたのはネムネコがTVで羽生の演技を見なかったからだにゃ(^^)
きっとそうだ!!


たぶん、これ、哲学的には結構厄介な問題になるはず。
何故ならば、ここには見る見ないというネムネコの意志の問題が含まれており、ネムネコの見る見ないの決定が空間を隔てた、ねむ猫のことをまったく知らない他者の勝敗を決定すると言っているのだから。そして、これは(自由)意志と決定論のお話になり、考えようによっては、とんでもない哲学的難問になってしまう。
シュレ猫問題に匹敵するかもしれないにゃ(笑)。
なお、記事の内容と記事に埋め込んである楽曲、動画とは何の関係性もありません。ネムネコがテト様を好きだから、埋め込んだだけです。

その昔、
数学での証明法
という本が、共立出版から出ていた。

数学での証明法 (数学ワンポイント双書 27)

数学での証明法 (数学ワンポイント双書 27)

  • 作者: 矢ケ部 巌
  • 出版社/メーカー: 共立出版
  • 発売日: 1979/06/01
  • メディア: 単行本




読んだことも見たこともないからどんな内容の本なのか知らないけれど、絶版。数学の本はただでも売れないのに、この内容では、絶対に売れないから、絶版は当然のこととは言え、良書(かもしれない本――この数学ワンポイント叢書は、いい本が多い――)が絶版になるのは悲しいにゃ。
ネットで調べたら、アマゾンで中古本で5000円の値がついていかケロ。
高すぎるにゃ。誰か、ネムネコへのホワイトデーのプレゼントで買ってくれないかな。



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ネムネコの経験則は実証された(・・? [ひとこと言わねば]


オレが見ると、羽生、金メダルをとれないかもしれない
生で金メダルを取るシーンを見たいという強い衝動を抑え、我慢をした甲斐があったにゃ。
ネットで見た、将棋の羽生は負けた。ネムネコが見だしたあたりから羽生の形勢が急に悪くなりだし、負けてしまった。
やっぱ、オレが見ると、応援しているヒトは負けてしまうにゃ。


将棋の羽生なんてどうでもいいけれど、フィギャアの羽生、金メダルをとれてよかったにゃ。まるで自分のことのように喜んでいるにゃ。
この喜びを踊りで表すにゃ。



最後に、みんなで、羽生が金メダルを取った縁起を見るにゃ。



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今日のアニソン、「バカとテストと召喚獣」から『君+謎+私でJUMP!!』 [ひとこと言わねば]

今日のアニソンは、「バカとテストと召喚獣」から『君+謎+私でJUMP!!』です。


たいした曲ではないけれど、アニメのタイトルにあるというキーワードに反応してこの曲をセレクトしたにゃ。


第2期のエンディング曲も紹介するにゃ。



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ワンポイントゼミ 直線と1次変換の追加問題 [線形代数の基礎]

ワンポイントゼミ 直線と1次変換の追加問題

 

問題1 ある直線l上の任意の点(x,y)に対し、点(4x+2y,x+3y)が常に直線l上にあるという。直線lの方程式を求めよ。

【解】

(x,y)を点(4x+2y,x+3y)に対応させる1次変換を表す行列は

であり、

  1henp-001.png

 

直線ly軸と平行の場合

直線lの方程式をx=ccは定数)とすると、この直線上の点は(c,t)と書くことができ。この点のAによる像は

  1hen-p-002.png

となり、この点は直線x=c上にないので、直線x=cは不適。

 

直線ly軸と平行でない場合

直線lの方程式をy=mx+nとすると、この直線上の点は(t,mt+n)と書くことができ、この点のAによる像は

  1henp-000.png  

((4+2m)t+2n,(1+3m)t+3n)は直線y=mx+n上にあるので、

  

任意の実数tに関してこれが成り立たないといけないので、

  

したがって、m=−11/2n=0

よって、直線の方程式lの方程式は、y=−xy=x/2である。

(解答終)

 

【別解】

は、|A=43−21=10≠0だから、逆行列

  1henp-003.png

を持つ。

直線lの方程式をax+by+c=0とし、Aによって、この直線上の点(x,y)(x',y')に写されたとすると、

  1henp-004.png

(x,y)は直線l:ax+by+c=0上の点なので、これをax+by+c=0に代入すると、

  1henp-005.png

これがax+by+c=0と一致するためには、

c≠0のとき、

  

となり、解として不適。

c=0のとき

  

したがって、求めるべき直線の方程式は

  

(別解終)

 

この別解は、突っ込む気になれば、突っ込みどころ満載の解法なのでオススメしない。次のように解く方が自然だろう。

 

【別解2】

直線lの方程式をax+by+c=0とし、この直線上の任意の点を(x,y)とし、Aによってこの点が(x’,y’)に写されたとすると、

  1henp-006.png

問題の条件より、(x’,y’)は直線ax+by+c=0上にあるので、

  1henp-017.png

これがax+by+c=0と一致するためには、

c≠0のとき、

  

よって、a=b=0となり、解として不適。

c=0のとき、

  1henp-007.png

よって、求める直線の方程式は

  

(別解2終)

 

 

問題2 直線2x+3y−6=0がそれ自身に写されるような1次変換を求めよ。

【解】

直線2x+3y−6=0上の点は(3t、−2t+2)で表される。

求める1次変換をffを表す行列1hen-zu-012.pngとする。

fによる(3t、−2t+2)の像は

  1henp-010.png

で、これも直線2x+3y−6=0上に存在するので、

  

これが任意の実数tで成立しなければならないので、

  1henp-011.png

また、fによる直線2x+3y−6=0の像が直線2x+3y−6=0全体であるためには、3a−2b≠0でなければならない(なぜですか?)。

したがって、求めるA

  1henp-016.png

(解答終)

 

直線2x+3y−6=0上の相異なる2点(3,0)(0,2)の像が直線2x+3y−6=0上に存在することに注目すると、次のような別解を作ることもできる。

 

【別解】

直線2x+3y−6=0上の相異なる2点(3,0)(0,2)の像は、それぞれ、

  1henp-014.png

この2点(3a,3c)(2b,2d)は直線2x+3y−6=0上にあるので、

  1henp-015.png

問題の条件より、(3a,3c)≠(2b,2d)でなければならないから3a≠2bでなければならない。

したがって、求める1次変換を表す行列は

  1henp-016.png

(別解終)

 

 

問題3 直線2x+3y+1=0が直線2x+7y+2=0に写され、直線x+y+2=0が直線x+3y−2=0に写される1次変換を求めよ。

【解】

この1次変換fを表す行列を1hen-zu-012.pngとする。

直線2x+3y+1=0上の点は(3t−2、−2t+1)と表すことができ、fによるこの点の像

  1henp-020.png

は直線2x+7y+2=0上にあるので、

  1henp-021.png

が任意のtについて成り立たないといけないので、

  1henp-018.png

直線x+y+2=0上の点は(t,−t−2)と表すことができ、fによるこの点の像

  1henp-022.png

は、直線x+3y−2=0上にあるので、

  1henp-023.png

これを解くと、a=−19b=−25c=6d=8

したがって、

  

(解答終)

 

【別解】

原点を通らない直線を原点の通らない直線に写すので、Aは逆行列を持つ。

そこで、

  

とおくと、

  1henp-025.png

直線2x+3y+1=0は、Aによって2x+7y+2=0に写される。

したがって、

  

2x+7y+2=0は一致しなければならないので、

  

直線x+y+2=0は、Aによって直線x+3y−2=0に写される。

したがって、

  

x+3y−2=0は一致しなければならないので、

  

①と③からp=−4r=3

②と④からq=−25/2s=19/2

したがって、

  1henp-026.png

(解答終)

 

宿題 次の1次変換で自分自身に戻る直線を求めよ。

  1henp-030.png

 

この問題は、問題1と少し事情が違う(^^)

答は

  ihenp-031.png

 

中間テストか期末テストだったかは忘れたが、ネムネコが高校生2年2学期の時に、数学の定期テストに出た問題。

オレは解けたケロ。

したがって、これを解けないヒトは・・・。

 



いま思うと、答案に書いた解答は、若気の至りと言える解答であったなぁ(^^ゞ


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