So-net無料ブログ作成
検索選択

ディラックのデルタ関数 [定積分]

ディラックのデルタ関数

 

ディラックのデルタ関数δ(x)とは、次の性質をもつ超関数のことである。

  

 

このディラックのデルタ関数の性質を調べるためには、通常の微分積分の範囲を超える数学の知識が必要になるので、物理の本を参考にして、デルタ関数の性質をいくつか紹介することにする。

 

まず、

  

x≠0ではδ(x)=0だから、x≠0f(x)の値は積分の値に無関係で寄与しない。

したがって、

  

 

また、

  

である。

これは、x–a=tとおくと、x=t+a

  

この積分の値に関係するのは、 (1)からt=0のときのf(t+a)の値。

したがって、

  

 

次に

  

である。

f(x)を任意の関数とする。

  

よって、

  

である。

 

さらに、

  

f(x)を任意の関数にすると、

  

t=−xとおくと、x=−tだから、x=−∞t=∞x=∞t=−∞に対応する。

また、dx=−dtだから

  

したがって、

  

である。

 

さらにさらに、

  

f(x)を任意の関数とする。

  

を考える。ax=tとおくと、dx=dt/aだから

  

よって、

  

である。

 

最後に、デルタ関数の微分

  

f(x)を任意の関数とし、次の積分を考える。

  

x=tとおくと、

  

これに部分積分を施すと、

  

また、

  

したがって、任意の関数f(x)について

  dirac-siki-002.png

 

以上のことをまとめると、ディラックのデルタ関数には次のような性質がある。

  

 

(ⅰ)はデルタ関数δ(x)が偶関数であることを表し、デルタ関数の導関数δ'(x)が奇関数であることを表している。

 

 

dirac-delta-graph-001.pngディラックのデルタ関数は、正規分布の密度関数

  

の極限で与えられることが知られている。

したがって、デルタ関数は正規分布の密度関数の一種と考えることができる。

 

 


問題(7月26日)の答え [定積分]

問題(7月26日)の答え

 

問題 関数f(x)を閉区間[a,b]a<b)で連続な非負の関数とする。このとき、

  

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であることを示せ。

【証明】

f(c)>0であるc∈[a,b]があると仮定する。

f(x)[a,b]で連続だから、あるδ>0に対して

  

である(c[a,b]の端点であるときは片側近傍をとる)。

δを十分小さくとると(※)、[c–δ,c+δ]⊂[a,b]になるので、

  

(c–δ,c+δ)f(x)>0だから

  

よって、

  

これは、

  

に矛盾する。

これは、f(c)>0であるc∈[a,b]があると仮定したためにこの矛盾が生じた。

よって、[a,b]で常にf(x)=0である。

(証明終)

 

①は、関数の一点連続から次のように証明できる。

 

f(x)x=cで連続だから、任意のε>0に対して、

  

となるδ>0がある。

  

εは任意の正数だから、

  

にとり、これに対応してδを新たに定めると、

  

 

(※)のδを十分小さくとるというのがキライなヒト、曖昧だと思うヒトは、

  

というオマジナイを唱える(^^

 

を使いたいならば、

  

とし、

  

とすればよいだろう。

 

なお、問題の証明では背理法を使って

これは、

  

に矛盾する。

としたが、実は、これ以降は不要で、これ以前で対偶法の証明が成立しているのであった!! ただし、対偶法をつかったことを明示する必要がある。

 

 

追加問題

f(x)は閉区間[a,b]a<b)で連続な関数とする。[a,b]で連続な、任意の関数g(x)に対して

 

が成立するとき、f(x)[a,b]で常にf(x)=0であることを証明せよ。

 




お前らにちょっと質問!! [定積分]

お前らにちょっと質問!!

 

お前ら、次の問題を解くにゃ。

 

問題 関数f(x)を閉区間[a,b]a<b)で連続な非負の関数とする。このとき、

  

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であることを示せ。

 

ヒトによっては、ノーヒントだと、この証明は辛いかもしれないのでヒントを出すにゃ。

 ――計算や応用問題は得意だけれど、この問題のような基礎的事項の証明は苦手、出来ないというヒトは多い!!――

 

ヒント1 背理法(または、対偶)を使う

ヒント2 「[a,b]で常にf(x)=0」の否定は、「あるx∈[a,b]があってf(x)≠0である」

ヒント3 x=cf(x)が連続でf(c)>0ならば、cの近傍(|x–c)でつねにf(x)>0である

 

これだけヒントを出したのだから、他人に見せられるような証明を書けよな。

 

なお、問題の条件にある「連続な」を「積分可能な」とすると、

  

ならば、[a,b]で常にf(x)=0であるは成立しない。

[a,b]ほとんどでf(x)=0だけれれど(^^)

 

反例

  

は、閉区間[−1,1]でリーマン積分可能で、

  

 




第11回 積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理 [定積分]

第11回 積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理

 

積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理を紹介する前に、(定)積分の平均値の定理を再掲。

 

定積分の平均値の定理

f(x)[a,b]で連続ならば、

  

が存在する。

 

定積分の第1平均値の定理

f(x)が閉区間[a,b]で連続、g(x)[a,b]で非負連続ならば、

  

であるξが存在する。

【証明】

g(x)=0(定数関数)のとき、

  

だから、a<ξ<bである任意のξに対して

  

が成立する。

次に、

  

とする。

f(x)は有界閉区間[a,b]で連続だから最大値Mと最小値mが存在し、

  

m<Mのとき

  

よって、中間値の定理より

  

となるξが存在する。

m=Mのとき、つまり、g(x)が非負で恒等的に0ない定数関数のとき、積分の平均値の定理より

  

となるξが存在する。

よって、

  

となるξが存在する。

(証明終)

 

 

積分の第2平均値の定理

f(x)を有界閉区間[a,b]で単調かつ級、g(x)[a,b]で連続とする。このとき、

  

であるξが存在する。

【証明】

  

とおき、 に部分積分を適用すると

  

f(x)[a,b]においてで単調だから、f'(x)≧0またはf'(x)≦0

よって、積分の第1定理より

  

となるξが存在する。

したがって、

  

(証明終)

 

 


第10回 微積分の基本定理2 [定積分]

第10回 微積分の基本定理2

 

定理16

fが区間Iで連続、φが区間Jで微分可能であってφ(x)∈Ix∈J)ならば、

a∈Iと任意のx∈Iに対して

  teisekibun-10-01.png

である。

【証明】

  

とおくと、

  

また、

  teisekibun-10-02.png

(証明終)

 

(1)と(2)より、

fが区間Iで連続、φψが区間Jで微分可能であってφ(x)ψ(x)∈Ix∈J)ならば、

  

 

問題1 R上の連続関数f(x)に対して次の導関数を求めよ。

【解】

(解答終)

 

 

問題2 f(x)は実数Rで連続であって、任意のh∈R、任意のx∈Rに対して

  

ならば、f(x)は定数関数である。

【解】

xを固定して、

hの関数と考えてhで微分すると、

  

任意のhについてf(x+h)=f(x)が成立するので、f(x)は定数関数である(※)。

(解答終)

 

(※) 任意のxhについて

  

が成立するので、

  

となるので、f(x)は定数関数である。

 

 

問題3 f(x)I=(0,∞)で連続とする。

  

が任意のx∈I、任意のy∈Iに対して

  

を満たせば

  

である。

【解】

xを固定しF(xy)yの関数と考えて、の両辺をyで微分すると

  

y=1とすると、

  

である。

(解答終)

 


第9回 微積分の基本定理など [定積分]

第9回 微積分の基本定理など


定理12

関数f(x)が区間I上で連続であるとする。このとき、I上の関数F(x)に対して

(1) F(x)f(x)の不定積分である

(2) F(x)f(x)の原始関数である

は同値である。

【証明】

(1)⇒(2)

F(x)f(x)の不定積分とすると、

  

したがって、
  

f(x)Iで連続だから、積分の平均値の定理より

  

となるθが存在する。

したがって、

  teisekibun-09-02.png

(2)⇒(1)

F(x)f(x)の原始関数とすると、

  

また、f(x)の不定積分

  

とすると、

  

よって、

  

したがって、

  

となり、F(x)f(x)の不定積分である。

(証明終)


以上のことより、次の定理が成り立つ。


定理13 (微積分の基本定理)

f(x)が区間I上で連続とする。定点a∈Iと任意のx∈Iに対し

  

とおくと、F(x)Iで微分可能であり、

  

である。


さらに、次の定理。


定理14

f(x)が区間I上で不定積分をもつならば、その不定積分はI上で連続である。

【証明】

f(x)の不定積分をF(x)a∈Iとすると、

  

xIの端点でないとき、x∈[x−δ,x+δ]⊂Iとなる正数δ>0を選ぶと、f(x)[x−δ,x+δ]で有界だから、

  

となる正の定数Mが存在する。

そこで、0<h<δとすると、

  

δ<h<0とすると

  

したがって、

  

となり、連続である。

xIの端点であるときも同様。

(証明終)

 


定理15

f(x)[a,b]であるとする。F(x)f(x)の原始関数であれば、

  

である。

【証明】

f(x)[a,b]で連続でF(x)f(x)の原始関数だから、定理12よりF(x)f(x)の不定積分であり、

  

と表せる。

よって、

  

(証明終)

そして、これで、高校の定積分の公式

  

に結びついた。

第8回 原始関数と不定積分 [定積分]

第8回 原始関数と不定積分


高校の数学では、たとえば、原始関数と不定積分を

「導関数がf(x)である関数を不定積分、または、原始関数といい、記号であらわす。すなわち、

  

である」

と定義するなど、原始関数と不定積分の違いがかなり曖昧である。


この事情は、大学の数学においても同様で、

「関数Fに対し、導関数がfに等しい関数をfの原始関数という。原始関数をであらわし、fの不定積分という」

など、教科書によって立場が異なり、かなり混乱しているように思う。

そこで、原始関数をあらためて次のように定義することにする。


定義(原始関数)

区間I上の関数f(x)に対し、
  teisekibun-08-01.png

を満たす関数F(x)が存在するとき、F(x)f(x)の原始関数という。



定理13

関数F(x)f(x)の原始関数、すなわち、F’(x)=f(x)ならば、F(x)+CCは定数)もfの原始関数である。関数G(x)f(x)の他の原始関数ならば、差G(x)−F(x)は区間I上で定数である。すなわち、

  

である。

【証明】

F(x)f(x)の原始関数であるとすると、

  

したがって、F(x)+Cf(x)の原始関数である。G(x)f(x)の他の原始関数とすると、G’(x)=f(x)だから、H(x)=G(x)−F(x)とおくと、x∈Iのすべてのxについて

  

a∈Iである1点aをとると、平均値の定理より

  

となるξが存在し、
  

よって、G(x)−F(x)は区間I上で定数。

(証明終)


例1 実数R上の関数

  

は原始関数をもたない。

この関数f(x)が原始関数F(x)を持つとすると、x>0で微分可能でF’(x)=f(x)=0になるので、F(x)x>0で定数関数。同様に、x<0でもF'(x)=f(x)=0だから、F(x)x<0で定数関数。

そこで、
  teisekibun-08-03.png

とおくと、F(x)x=0で微分可能だからx=0で連続だから、

  

したがって、
  teisekibun-08-04.png

となり、F(x)f(x)の原始関数であることと矛盾する。

よって、f(x)は原始関数を持たない。

 


定義(不定積分)

関数f(x)を区間Iに含まれる有界閉区間上で積分可能とする。このとき、a∈Iと任意定数Cに対して

  

f(x)I上の不定積分といい、

  

であらわす。

上記のように不定積分を定義すると、

  

f(x)は実数Rに含まれる任意の任意の有界閉区間上で積分可能で、f(x)の不定積分は

  

となる。ここで、Cは任意の定数である。

このとき、F’(0)=0で、F’(0)≠f(0)=1となるので、F(x)=Cf(x)の不定積分であるが、f(x)の原始関数ではない。



例2 f(x)=xの不定積分は

  

は定数だから、これをあらためて定数とすると、

  


 


問 実数R上の関数

  

の不定積分F(x)の一つを求め、F’(x)=f(x)が成り立たないことを示せ。

【解】

a=0、積分定数C=0とする。

x<0のとき

  fg-siki-0001.png

x≧0のとき

  

したがって、

  

よって、F(x)x=0で微分可能でなく、F'(x)=f(x)は成り立たない。

以上のことより、(2)式で不定積分を定義すると、不定積分に対しては(1)式が必ずしも成立しないことがわかると思う。


第7回 定積分の性質2 [定積分]

第7回 定積分の性質2


定理10

関数f(x)g(x)が有界閉区間I上で積分可能ならば、f(x)g(x)I上で積分可能である。

【証明】

f(x)g(x)I上で有界だから、

  

となる定数MM>0)が存在する。

y∈Iとすると、

  

したがって、Iの任意の分割をΔとすれば、振幅は

  

よって、

  

f(x)g(x)I上で積分可能だから、|Δ|→0のとき

  

だから、

  

となり、f(x)g(x)I上で積分可能である。

(証明終)


よって、有界閉区間I上で連続な関数f(x),g(x)I上で積分可能だから、上の定理からf(x)g(x)I上で積分可能である。

また、f(x)を有界閉区間I上で連続、g(x)I上で積分可能のとき、f(x)g(x)I上で積分可能である。

定理11

関数f(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)>0、さらにが有界ならば、I上で積分可能である。

【証明】

f(x)I上で有界だから

  

である定数M>0が存在する。

したがって、x,y∈Iに対して

  

Iの任意の分割をΔとすると

  

f(x)I上で積分可能だから

  

よって、

  

したがって、1/f(x)I上で積分可能である。

(証明終)


上の2つの定理から、f(x)g(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)≠0ならば、f(x)/g(x)I上で積分可能ということになる。


定理12

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で積分可能ならば、|f(x)|はI上で積分可能で

  

である。

【証明】

xy∈Iに対して

  

Iの任意の分割をΔとすると、

  

よって、

  

f(x)I上で積分可能だから

  

したがって、

  

となり、|f(x)|はI上で積分可能である。

また、

  

よって、

  

(証明終)


第6回 連続関数の積分可能性 [定積分]

第6回 連続関数の積分可能性


定理7 (有界閉区間上の連続関数の積分可能性)

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であれば、f(x)I上で積分可能である。

【証明】

f(x)は有界閉区間I上で連続だから、f(x)I上で一様連続である。

したがって任意の正数ε>0に対して、ある正数δが存在して

  

ΔであるIの任意の分割をとると、におけるf(x)の振幅は

  

よって、
  teisekibun-06-02.png

したがって、

  

となり、f(x)I上で積分可能である。

(証明終)


定理8

関数f(x)g(x)が有界閉区間I上で連続で、

  

かつf(ξ)>g(ξ)となるξ∈Iが存在するならば

  

である。

【証明】

  

とすると、条件より

  

で、h(ξ)>0となるξ∈Iが存在する。

f(x)g(x)I上で連続だからh(x)I上で連続。

よって、ξ≠aかつξ≠bのとき、|x−ξh(x)>0である正数δが存在し、
  

ξ=aのとき、a≦x<a+δh(x)>0である正数δが存在し

  

ξ=bのとき、b−δ<x≦bh(x)>0である正数δが存在し

  

(証明終)

例 閉区間[0,1]で定義される

  

g(x)=0x∈[0,1])があるとする。

f(x)g(x)[0,1]上で積分可能で

  

つまり、有界閉区間I=[a,b]上で積分可能な関数f(x)g(x)の場合、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在するという場合でも

  

の等号を外すことはできない。

しかし、I上で連続な関数f(x)g(x)のとき、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在する場合、(2)式の等号が外れて

  

となる。

有界閉区間I上で連続という条件のほうが、I上で有界かつ積分可能という条件よりも強い条件というわけ。



定理9 (積分の平均値の定理)

f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であるとき

  

となるξが存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるときは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)I上で連続だから最大値Mと最小値mが存在する。
  

よって、中間値の定理より

  

となるξが存在する。

(証明終)



例2 f(x)g(x)はともにI=[0,1]上の関数で、f(x)=x

  

とする。

このとき、

  

f(x)[0,1]上で連続だから、ξ=1/2のとき

  

となり、上の定理が成立するけれど、I上で連続でないg(x)には

  

であるξは存在しない。

有界閉区間で連続という条件が積分可能性よりもかなり「強い条件」であることがわかってもらえるのではないだろうか。

 


第5回 積分可能であるための条件 [定積分]

第5回 積分可能であるための条件


リーマン和に基づく積分可能の定義は以下の通り。


(リーマン)積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれのの任意のに対して

  teisekibun-05-01.png

であるとき、関数f(x)[a,b]で積分可能といい、

  teisekibun-05-02.png

とあらわす。


不足和、過剰和の定義は次の通り。


不足和、過剰和の定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割とおく。分割Δに対してとおくとき、
  teisekibun-05-03.png

を、それぞれ、f(x)Δに関する不足和、過剰和という。


上積分、下積分の定義は次の通り。


上積分、下積分の定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

  

f(x)I上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

  

f(x)I上の下積分という。

関数の振幅(振動量)の定義は以下の通り。


関数の振幅の定義

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して
  teisekibun-05-04.png

f(x)I上の振幅振動量)という。


定義を再掲したところで、積分可能性の必要十分条件に関する以下の定理を紹介する。



定理5

有界閉区間i=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、次の条件は同値である。

(1) f(x)I上で積分可能である。

(2) 


(3) Iの分割Δに対して

  teisekibun-05-05.png

【証明】

(1)⇒(2)の証明。

任意の正数ε>0に対して、

  

任意の分割Δに対して、とおくと、上限の定義より

  

となるが存在する。

よって、
  teisekibun-05-06.png

f(x)I上で積分可能だからδ>0が存在し|Δとなる任意の分割に対して

  

よって、任意のIの分割Δに対して
  

についても同様。



(2)⇒(1)の証明

任意の分割Δに対して

  

が成立し、

  

となり、ハサミ打ちの定理より

  

である。

(2)⇔(3)

Iの任意の分割Δに対して

  

ダルブーの定理よりは収束するので、
  teisekibun-05-08.png

よって、

  teisekibun-05-09.png

(証明終了)


上の定理を使うと、有界閉区間I=[a,b]上の単調な関数f(x)が可能であることを証明することができる。


定理6 (有界閉区間上で単調な関数の積分可能性)

有界閉区間i=[a,b]上で単調な関数f(x)は、I上で積分可能である。

【証明】

Iの任意の分割Δに対するにおける上限、下限は

  

である。

f(x)が定数関数のとき、任意の分割Δに対して

  

だから、
  teisekibun-05-10.png

となり積分可能である。

f(x)が単調増加の場合、任意の正数ε>0に対して

  

とおくと、|Δである任意の分割Δについて
  

となり、

  

で積分可能である。

f(x)が単調減少のときも同様。

(証明終)

f(x)が単調減少のとき、g(x)=−f(x)とおくと、g(x)I上で単調増加で、g(x)I上で積分可能。

g(x)I上で積分可能だから、f(x)=−g(x)I上で積分可能である。

これを有界閉区間上の単調減少関数の積分可能性の証明にしてもよい。