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第11回 積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理 [定積分]

第11回 積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理

 

積分の第1平均値の定理、第2平均値の定理を紹介する前に、(定)積分の平均値の定理を再掲。

 

定積分の平均値の定理

f(x)[a,b]で連続ならば、

  

が存在する。

 

定積分の第1平均値の定理

f(x)が閉区間[a,b]で連続、g(x)[a,b]で非負連続ならば、

  

であるξが存在する。

【証明】

g(x)=0(定数関数)のとき、

  

だから、a<ξ<bである任意のξに対して

  

が成立する。

次に、

  

とする。

f(x)は有界閉区間[a,b]で連続だから最大値Mと最小値mが存在し、

  

m<Mのとき

  

よって、中間値の定理より

  

となるξが存在する。

m=Mのとき、つまり、g(x)が非負で恒等的に0ない定数関数のとき、積分の平均値の定理より

  

となるξが存在する。

よって、

  

となるξが存在する。

(証明終)

 

 

積分の第2平均値の定理

f(x)を有界閉区間[a,b]で単調かつ級、g(x)[a,b]で連続とする。このとき、

  

であるξが存在する。

【証明】

  

とおき、 に部分積分を適用すると

  

f(x)[a,b]においてで単調だから、f'(x)≧0またはf'(x)≦0

よって、積分の第1定理より

  

となるξが存在する。

したがって、

  

(証明終)

 

 


第10回 微積分の基本定理2 [定積分]

第10回 微積分の基本定理2

 

定理16

fが区間Iで連続、φが区間Jで微分可能であってφ(x)∈Ix∈J)ならば、

a∈Iと任意のx∈Iに対して

  teisekibun-10-01.png

である。

【証明】

  

とおくと、

  

また、

  teisekibun-10-02.png

(証明終)

 

(1)と(2)より、

fが区間Iで連続、φψが区間Jで微分可能であってφ(x)ψ(x)∈Ix∈J)ならば、

  

 

問題1 R上の連続関数f(x)に対して次の導関数を求めよ。

【解】

(解答終)

 

 

問題2 f(x)は実数Rで連続であって、任意のh∈R、任意のx∈Rに対して

  

ならば、f(x)は定数関数である。

【解】

xを固定して、

hの関数と考えてhで微分すると、

  

任意のhについてf(x+h)=f(x)が成立するので、f(x)は定数関数である(※)。

(解答終)

 

(※) 任意のxhについて

  

が成立するので、

  

となるので、f(x)は定数関数である。

 

 

問題3 f(x)I=(0,∞)で連続とする。

  

が任意のx∈I、任意のy∈Iに対して

  

を満たせば

  

である。

【解】

xを固定しF(xy)yの関数と考えて、の両辺をyで微分すると

  

y=1とすると、

  

である。

(解答終)

 


第9回 微積分の基本定理など [定積分]

第9回 微積分の基本定理など


定理12

関数f(x)が区間I上で連続であるとする。このとき、I上の関数F(x)に対して

(1) F(x)f(x)の不定積分である

(2) F(x)f(x)の原始関数である

は同値である。

【証明】

(1)⇒(2)

F(x)f(x)の不定積分とすると、

  

したがって、
  

f(x)Iで連続だから、積分の平均値の定理より

  

となるθが存在する。

したがって、

  teisekibun-09-02.png

(2)⇒(1)

F(x)f(x)の原始関数とすると、

  

また、f(x)の不定積分

  

とすると、

  

よって、

  

したがって、

  

となり、F(x)f(x)の不定積分である。

(証明終)


以上のことより、次の定理が成り立つ。


定理13 (微積分の基本定理)

f(x)が区間I上で連続とする。定点a∈Iと任意のx∈Iに対し

  

とおくと、F(x)Iで微分可能であり、

  

である。


さらに、次の定理。


定理14

f(x)が区間I上で不定積分をもつならば、その不定積分はI上で連続である。

【証明】

f(x)の不定積分をF(x)a∈Iとすると、

  

xIの端点でないとき、x∈[x−δ,x+δ]⊂Iとなる正数δ>0を選ぶと、f(x)[x−δ,x+δ]で有界だから、

  

となる正の定数Mが存在する。

そこで、0<h<δとすると、

  

δ<h<0とすると

  

したがって、

  

となり、連続である。

xIの端点であるときも同様。

(証明終)

 


定理15

f(x)[a,b]であるとする。F(x)f(x)の原始関数であれば、

  

である。

【証明】

f(x)[a,b]で連続でF(x)f(x)の原始関数だから、定理12よりF(x)f(x)の不定積分であり、

  

と表せる。

よって、

  

(証明終)

そして、これで、高校の定積分の公式

  

に結びついた。

第8回 原始関数と不定積分 [定積分]

第8回 原始関数と不定積分


高校の数学では、たとえば、原始関数と不定積分を

「導関数がf(x)である関数を不定積分、または、原始関数といい、記号であらわす。すなわち、

  

である」

と定義するなど、原始関数と不定積分の違いがかなり曖昧である。


この事情は、大学の数学においても同様で、

「関数Fに対し、導関数がfに等しい関数をfの原始関数という。原始関数をであらわし、fの不定積分という」

など、教科書によって立場が異なり、かなり混乱しているように思う。

そこで、原始関数をあらためて次のように定義することにする。


定義(原始関数)

区間I上の関数f(x)に対し、
  teisekibun-08-01.png

を満たす関数F(x)が存在するとき、F(x)f(x)の原始関数という。



定理13

関数F(x)f(x)の原始関数、すなわち、F’(x)=f(x)ならば、F(x)+CCは定数)もfの原始関数である。関数G(x)f(x)の他の原始関数ならば、差G(x)−F(x)は区間I上で定数である。すなわち、

  

である。

【証明】

F(x)f(x)の原始関数であるとすると、

  

したがって、F(x)+Cf(x)の原始関数である。G(x)f(x)の他の原始関数とすると、G’(x)=f(x)だから、H(x)=G(x)−F(x)とおくと、x∈Iのすべてのxについて

  

a∈Iである1点aをとると、平均値の定理より

  

となるξが存在し、
  

よって、G(x)−F(x)は区間I上で定数。

(証明終)


例1 実数R上の関数

  

は原始関数をもたない。

この関数f(x)が原始関数F(x)を持つとすると、x>0で微分可能でF’(x)=f(x)=0になるので、F(x)x>0で定数関数。同様に、x<0でもF'(x)=f(x)=0だから、F(x)x<0で定数関数。

そこで、
  teisekibun-08-03.png

とおくと、F(x)x=0で微分可能だからx=0で連続だから、

  

したがって、
  teisekibun-08-04.png

となり、F(x)f(x)の原始関数であることと矛盾する。

よって、f(x)は原始関数を持たない。

 


定義(不定積分)

関数f(x)を区間Iに含まれる有界閉区間上で積分可能とする。このとき、a∈Iと任意定数Cに対して

  

f(x)I上の不定積分といい、

  

であらわす。

上記のように不定積分を定義すると、

  

f(x)は実数Rに含まれる任意の任意の有界閉区間上で積分可能で、f(x)の不定積分は

  

となる。ここで、Cは任意の定数である。

このとき、F’(0)=0で、F’(0)≠f(0)=1となるので、F(x)=Cf(x)の不定積分であるが、f(x)の原始関数ではない。



例2 f(x)=xの不定積分は

  

は定数だから、これをあらためて定数とすると、

  


 


問 実数R上の関数

  

の不定積分F(x)の一つを求め、F’(x)=f(x)が成り立たないことを示せ。

【解】

a=0、積分定数C=0とする。

x<0のとき

  fg-siki-0001.png

x≧0のとき

  

したがって、

  

よって、F(x)x=0で微分可能でなく、F'(x)=f(x)は成り立たない。

以上のことより、(2)式で不定積分を定義すると、不定積分に対しては(1)式が必ずしも成立しないことがわかると思う。


第7回 定積分の性質2 [定積分]

第7回 定積分の性質2


定理10

関数f(x)g(x)が有界閉区間I上で積分可能ならば、f(x)g(x)I上で積分可能である。

【証明】

f(x)g(x)I上で有界だから、

  

となる定数MM>0)が存在する。

y∈Iとすると、

  

したがって、Iの任意の分割をΔとすれば、振幅は

  

よって、

  

f(x)g(x)I上で積分可能だから、|Δ|→0のとき

  

だから、

  

となり、f(x)g(x)I上で積分可能である。

(証明終)


よって、有界閉区間I上で連続な関数f(x),g(x)I上で積分可能だから、上の定理からf(x)g(x)I上で積分可能である。

また、f(x)を有界閉区間I上で連続、g(x)I上で積分可能のとき、f(x)g(x)I上で積分可能である。

定理11

関数f(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)>0、さらにが有界ならば、I上で積分可能である。

【証明】

f(x)I上で有界だから

  

である定数M>0が存在する。

したがって、x,y∈Iに対して

  

Iの任意の分割をΔとすると

  

f(x)I上で積分可能だから

  

よって、

  

したがって、1/f(x)I上で積分可能である。

(証明終)


上の2つの定理から、f(x)g(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)≠0ならば、f(x)/g(x)I上で積分可能ということになる。


定理12

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で積分可能ならば、|f(x)|はI上で積分可能で

  

である。

【証明】

xy∈Iに対して

  

Iの任意の分割をΔとすると、

  

よって、

  

f(x)I上で積分可能だから

  

したがって、

  

となり、|f(x)|はI上で積分可能である。

また、

  

よって、

  

(証明終)


第6回 連続関数の積分可能性 [定積分]

第6回 連続関数の積分可能性


定理7 (有界閉区間上の連続関数の積分可能性)

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であれば、f(x)I上で積分可能である。

【証明】

f(x)は有界閉区間I上で連続だから、f(x)I上で一様連続である。

したがって任意の正数ε>0に対して、ある正数δが存在して

  

ΔであるIの任意の分割をとると、におけるf(x)の振幅は

  

よって、
  teisekibun-06-02.png

したがって、

  

となり、f(x)I上で積分可能である。

(証明終)


定理8

関数f(x)g(x)が有界閉区間I上で連続で、

  

かつf(ξ)>g(ξ)となるξ∈Iが存在するならば

  

である。

【証明】

  

とすると、条件より

  

で、h(ξ)>0となるξ∈Iが存在する。

f(x)g(x)I上で連続だからh(x)I上で連続。

よって、ξ≠aかつξ≠bのとき、|x−ξh(x)>0である正数δが存在し、
  

ξ=aのとき、a≦x<a+δh(x)>0である正数δが存在し

  

ξ=bのとき、b−δ<x≦bh(x)>0である正数δが存在し

  

(証明終)

例 閉区間[0,1]で定義される

  

g(x)=0x∈[0,1])があるとする。

f(x)g(x)[0,1]上で積分可能で

  

つまり、有界閉区間I=[a,b]上で積分可能な関数f(x)g(x)の場合、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在するという場合でも

  

の等号を外すことはできない。

しかし、I上で連続な関数f(x)g(x)のとき、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在する場合、(2)式の等号が外れて

  

となる。

有界閉区間I上で連続という条件のほうが、I上で有界かつ積分可能という条件よりも強い条件というわけ。



定理9 (積分の平均値の定理)

f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であるとき

  

となるξが存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるときは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)I上で連続だから最大値Mと最小値mが存在する。
  

よって、中間値の定理より

  

となるξが存在する。

(証明終)



例2 f(x)g(x)はともにI=[0,1]上の関数で、f(x)=x

  

とする。

このとき、

  

f(x)[0,1]上で連続だから、ξ=1/2のとき

  

となり、上の定理が成立するけれど、I上で連続でないg(x)には

  

であるξは存在しない。

有界閉区間で連続という条件が積分可能性よりもかなり「強い条件」であることがわかってもらえるのではないだろうか。

 


第5回 積分可能であるための条件 [定積分]

第5回 積分可能であるための条件


リーマン和に基づく積分可能の定義は以下の通り。


(リーマン)積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれのの任意のに対して

  teisekibun-05-01.png

であるとき、関数f(x)[a,b]で積分可能といい、

  teisekibun-05-02.png

とあらわす。


不足和、過剰和の定義は次の通り。


不足和、過剰和の定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割とおく。分割Δに対してとおくとき、
  teisekibun-05-03.png

を、それぞれ、f(x)Δに関する不足和、過剰和という。


上積分、下積分の定義は次の通り。


上積分、下積分の定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

  

f(x)I上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

  

f(x)I上の下積分という。

関数の振幅(振動量)の定義は以下の通り。


関数の振幅の定義

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して
  teisekibun-05-04.png

f(x)I上の振幅振動量)という。


定義を再掲したところで、積分可能性の必要十分条件に関する以下の定理を紹介する。



定理5

有界閉区間i=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、次の条件は同値である。

(1) f(x)I上で積分可能である。

(2) 


(3) Iの分割Δに対して

  teisekibun-05-05.png

【証明】

(1)⇒(2)の証明。

任意の正数ε>0に対して、

  

任意の分割Δに対して、とおくと、上限の定義より

  

となるが存在する。

よって、
  teisekibun-05-06.png

f(x)I上で積分可能だからδ>0が存在し|Δとなる任意の分割に対して

  

よって、任意のIの分割Δに対して
  

についても同様。



(2)⇒(1)の証明

任意の分割Δに対して

  

が成立し、

  

となり、ハサミ打ちの定理より

  

である。

(2)⇔(3)

Iの任意の分割Δに対して

  

ダルブーの定理よりは収束するので、
  teisekibun-05-08.png

よって、

  teisekibun-05-09.png

(証明終了)


上の定理を使うと、有界閉区間I=[a,b]上の単調な関数f(x)が可能であることを証明することができる。


定理6 (有界閉区間上で単調な関数の積分可能性)

有界閉区間i=[a,b]上で単調な関数f(x)は、I上で積分可能である。

【証明】

Iの任意の分割Δに対するにおける上限、下限は

  

である。

f(x)が定数関数のとき、任意の分割Δに対して

  

だから、
  teisekibun-05-10.png

となり積分可能である。

f(x)が単調増加の場合、任意の正数ε>0に対して

  

とおくと、|Δである任意の分割Δについて
  

となり、

  

で積分可能である。

f(x)が単調減少のときも同様。

(証明終)

f(x)が単調減少のとき、g(x)=−f(x)とおくと、g(x)I上で単調増加で、g(x)I上で積分可能。

g(x)I上で積分可能だから、f(x)=−g(x)I上で積分可能である。

これを有界閉区間上の単調減少関数の積分可能性の証明にしてもよい。

 


第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理 [定積分]

第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理


リーマン和はに基づき定積分を定義する場合、有界閉区間I=[a,b]のすべての分割

  

の任意のについて

  teisekibun-04-01.png

が、|Δ|→0のときに1つの値に収束することを示さないといけない。これは大変なので、あらたに次の不足和、過剰和を定義することにする。


teisekibun-graph-01.png定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割とおく。分割Δに対してとおくとき、

  teisekibun-04-02.png

を、それぞれ、f(x)Δに関する不足和過剰和という。


だから

   teisekibun-04-06.png

であり、したがって

  

が成立する。

Iの分割にあらたな分点cを1つ追加した分割をΔ'とすると、このとき、となる区間が存在する。

分割の分割点を増やすと、過剰和は減少する。つまり、
   teisekibun-04-00.png

特に

  

である。

同様に、不足和は、分割の分割点を増やすと、増回する。つまり

  teisekibun-04-04.png

で、特に

  

である。

ΔΔ’を合せて得られる分割をΔ’’とすると、

  teisekibun-04-05.png

よって、s(Δ)は上に有界、S(Δ)は下に有界である。


ここで、あらたに上積分、下積分を定義する。


定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

  

f(x)I上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

  

f(x)I上の下積分という。

任意のΔΔ’について

  

が成り立つから、

  

である。

定理4 (ダルブーの定理)

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、f(x)の不足和s(Δ)、過剰和S(Δ)は|Δ|→0で収束して、
  teisekibun-04-08.png

である。

【証明】

  

を証明する。

だから任意の正数ε>0に対して

  

となる分割Δ₀が存在する。分割Δ₀の分点の数をnとする。

f(x)I=[a,b]で有界だから

  

とおく。

分割Δの小区間に対してとなる分点を1つ加えた分割をΔ₁とすると、

  

より
  teisekibun-04-08.png

である。

分割Δと分割Δ₀を合わせた分割をΔ’とすると、分割Δに高々n個の分点が追加されるだけだから、

  

そこで、

  

とおくと、|ΔとなるIの分割に対して、
  teisekibun-04-09.png

また、

  

より、
  

したがって、

  

が成り立つ。

についても同様。

(証明終)

第3回 定積分の性質1 [定積分]

第3回 定積分の性質1


リーマン和をもとに(定)積分を定義すると、高校で習った定積分の次の定理を証明することができる。


定理1

f(x)g(x)が有界閉区間[a,b]で積分可能、λμが定数であるとき、λf(x)+μg(x)[a,b]上で積分可能で、
  teisekibun-03-01.png

である。

【証明】

分割を任意にとると、リーマン和は

  

となり、λf(x)+μg(x)[a,b]上で積分可能で、

  

である。

(証明終了)



定理2

f(x)g(x)は有界閉区間[a,b]で積分可能であるとする。このとき、

  

ならば、

  

である。

【証明】

分割を任意にとると、仮定より

  

であるから、
  

f(x)g(x)[a,b]上で積分可能だから、|Δ|→0のとき

  

(証明終)



関数fgが有界閉区間[a,b]上で連続であるとき、f=g、つまり、x∈[a,b]のすべてのxについてf(x)=g(x)でなく、

  

であるとき、

  

になるけれど、単に積分可能であるときは、等号は外せないことに注意。

 


たとえば、[0,1]で定義されたf(x)=0

  

の積分を考えればよい。

このとき、f≠gで、f(x)≦g(x)という条件を満たしているが、


前回の問題2で示したように、g[0,1]で積分可能でその値は

  

だから、

  

である。

また、f[a,b]上で積分可能で、x∈[a,b]のすべてのxについてf(x)≧0のとき、

  

ならば、x∈[a,b]f(x)=0も言えない。

 


定理3

有界な関数fgが有界閉区間[a,b]の有限個の点を除き、f(x)=g(x)であるとする。このとき、f[a,b]上で積分可能ならば、g[a,b]上で積分可能で、

  

が成り立つ。

【証明】

x=dを除いてf(x)=g(x)である関数g(x)を考え、

  

とすると、φ(x)[a,b]上で積分可能で、

  

したがって、定理1より

  

[a,b]上で積分可能で、

  

になる。

次に、を除いてf(x)=g(x)である関数g(x)を考える。

  

とおき、

  

とおくと、[a,b]上で積分可能で、

  

である。
  

とおくと、

  

(証明終)



定理3より、たとえば、[0,3]で定義される

  

という関数f(x)[0,3]で積分可能であり

  

である。


定積分の第2回のおまけの補足 [定積分]

定積分の第2回のおまけの補足


「定積分の第2回のおまけ」の一様連続で取り上げて不等式

  

を平均値の定理を用いて導出することにする。

平均値の定理

f(x)[a,b]で連続、(a,b)で微分可能のとき、

  

が成立するcが少なくとも1つ存在する。

この平均値の定理を用いると、上記の2つの不等式は次のように証明される。


x₂>x₁
とすると、f(x)=sinx[x₁,x₂]で連続、(x₁,x₂)で微分可能だから、平均値の定理より

  

となるcが存在する。f'(x)=cosxだから、

  

x₁>x₂のときは、⑨のx₁x₂を入れ替えて

  

x₁=x₂のとき、sinx₁=sinx₂だから、

  

となり、不等式は成立する。

よって、

  


もう一つの不等式の証明は、

0≦x₁<x₂≦1のとき、f(x)=x²[x₁,x₂]で連続、(x₁,x₂)で微分可能だから、平均値の定理より

  

であるcが存在する。

f'(x)=2xだから、

  

0≦x₂<x₁≦1のときは、上の不等式のx₁x₂を入れ替えて

  

x₁=x₂のときは

  

以上のことより、

  


この不等式は、次のようにさらに一般化できる。


f(x)
[a,b]で連続、(a,b)で微分可能で、

  

である定数Mが存在するとき、

  


何故ならば、

x₁≠x₂のとき、平均値の定理から

  

x₁=x₂のときは

  

したがって、

  

だから。

そして、このとき、任意のε>0に対して、

  

とおくと、

  

となるので、f(x)[a,b]上で一様連続である!!

今は[a,b]と有界な閉区間、そして、f(x)(a,b)で微分可能なものに対して証明したけれど、関数の定義域を実数Rに拡張し、

ある正の定数が存在し

  

であるならば、f(x)は実数Rで一様連続である

ということになる。

(1)式が成り立つたつとき、リプシッツ連続といい、定数Mリプシッツ定数という。