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9月27日の宿題の解答例 [広義積分]

宿題 次の広義積分を求めよ。

  

【解】

α>−1だから

  

したがって、ε>0のとき、

  

よって、

  

(解答終)

 

α=−1のとき、この広義積分は発散する。

何故ならば、

  

そして、α<−1のとき、0<x<1で、

  

だから、より強く発散する。

したがって、広義積分

  

が存在するためには、α>−1でなければならない。

 

α>−1だから、β=α+1>0

よって、

  

この極限は、9月26日の解答例で証明してある。

 




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お前ら、この問題を解け!!(9月27日) [広義積分]

y=x^α log x.png宿題 次の広義積分は存在するか。

  

存在するならば、その値を求めよ。

存在しないのならば、存在しないことを示せ。

  

はどうか。

ここで、

  

 

はどうかと問うているのだから、は存在すると言っているようなものだが・・・。

 

hm-0927-graph.pngなお、

α>−1のとき

  

とする。

このとき、

  

を求めよ、とすれば、広義積分ではなく、定積分の問題になるが。

 

こんな問題はちょろいというヒトは、次の発展問題をやるべし。

 

発展問題 次の広義積分の値を求めよ。

  



発展問題はいいけれど、宿題くらいは解けよな。解かないと、お前らの枕元に金属バットをもったネムネコが立ち、大変なことが起きるケロよ。


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広義積分のおまけ [広義積分]

広義積分のおまけ



問題1 次の等式を証明せよ。

  

【解】

t=tanxとおくと

  

だから

  

また、

  

そして、積分区間の限界はx=0のときt=0x→π/2+0のときt→+∞だから
  

(解答終了)


こう解けば、複素積分や留数定理を使わずに、実積分の広義積分としてこの値を求めることができる。


ちなみに

  

は、sin²x+cos²x=1cos²xで割ると

  

から出てくる。

これで終わると、手抜き呼ばわりされるかもしれないので、もうひとつ広義積分の問題を解くことにする。


問題2 次の積分の値を求めよ

  

【解】

  

と部分分数に分解する。

この不定積分は次のように求められる。

  

したがって、

  

(解答終了)


すこし補足説明すると、

  

また、

  


そして、問題1、2とも積分公式

  

を使っている。

どこから、x²+2x+1が出てきたかですが、これは

  

だから、

  


この程度の積分ならば、実積分、つまり、微分積分の範囲で解くことができるという話です。

なお、昨日紹介した複素積分による手法で問題2の積分の値は求められないので、この点は注意すること。

第17回 ベータ関数と複素解析の留数定理を使って定積分を計算する [広義積分]

第17回 ベータ関数と複素解析の留数定理を使って定積分を計算する


ベータ関数の定義

  


(1)式は、

  

と変数変換すると、

  

と書き換えることが可能。

特に、p+q=1のとき

  


一方、複素解析、複素積分の留数定理とは次の定理である。


定理 (留数定理)

関数f(z)が閉曲線Cの内部に有限個の特異点をもち、これらの点以外では曲線C上およびその内部で正則であるとき、次の等式が成り立つ。

  


複素解析で扱う関数は、実数の変数ではなく複素数の変数であることに注意。そして、iは虚数単位i²=−1である。

また、f(z)z=α近傍でのローラン展開

  

の係数A₋₁z=αにおける留数といい、またはであらわす。



問題 次のことを示せ。

  

【解】

t=1/xとおくと、x=0のときt=∞x=∞のときt=0

また、

  

よって、
  

したがて、

  

x⁴=uとおくと、x=0のときu=0x=∞のときu=∞

さらに、

  

よって、
  

(3)式でp=3/4とおくと

  

となるので、
  kougi-16-03.png

ガンマ関数の倍角公式から

  kougi-16-04.png

したがって、

  kougi-16-06.png  

(解答終)



複素解析の留数定理を使うと次のように積分の値を求めることができる。


【留数定理を使った解答】

  

の複素平面の上半平面にある極はの2つ。

したがって、留数は
  kougi-16-07.png

f(z)は偶関数だから

  kougi-16-08.png

(解答終了)


なお、留数を求める計算では、

g(z)αを1位の零点としてをもつ正則関数、h(z)αを零点にもたない正則関数とするとき、

  

という公式を使っている。

上の問題の場合、g(z)=1+z⁴h(z)=z²だから

  


そして、この問題の関数は、複素解析の第53回で述べたタイプⅡの積分。


タイプⅡ 

f(z)は複素平面の上半平面(Imz≧0)で有限個の極を除いて正則であり、実軸上に極を持たず、かつとすると、

  

特に、f(x)が偶関数のとき、

  

を使っている。

ガンマ関数の倍角公式

  

の導出は、前回の記事で示してある。


第16回 第15回の問題の別解 [広義積分]

第16回 第15回の問題の別解


第15回の解答とは違う解答を紹介することにする。


問題1

  

を示し、この値を求めよ。

【解】

t=π/2−xとおくと、x=0のときt=π/2x=π/2のときt=0、また、dx=−dtだから
  bekkai-01.png

よって

  

である。
  
ここで、

  

とおくと、n≧2に対して

  

I₀I₁を求めると

  

したがって、

nが偶数のとき

  bekkai-03.png

nが奇数のとき

  bekkai-07.png

である。

(解答終了)

 


問題2 次の等式が成立することを証明せよ。

  

【証明】

ベータ関数の三角関数表示は

  

p=qとすると
  

2θ=tとおくと、θ=0のときt=0θ=π/2のときt=π、またdt=2dθだから

  

ここで、

  

と分解し、右辺第2項の積分に対して、s=π−tとして、置換積分を施す。

このとき、t=π/2のときs=π/2t=πのときs=0、またdt=−dsだから

  

したがって、

  

よって、①は

  

ここで

  

と変形すると、

  

となる。

したがって

  

よって
  bekkai-06.png

(証明終)



y=sinx-graph.pngベータ関数とガンマ関数には

  

という関係がある。

また、

  

の証明は、sintt=π/2に対して対称だからでもOK!!
(右図参照)



第15回 ベータ関数、ガンマ関数の問題2 [広義積分]

第15回 ベータ関数、ガンマ関数の問題2


問題1

  

から次のことを導け。

(1) 


(2) 

ただし、

  


(3)

  

【解】

(1) p=1/2q=1/2として代入すると

  

また、

  

ここで、x=sin²tとおき置換積分すると

  

したがって、

  


(2)

  

(3) ベータ関数の三角関数表示は

  kougi-15-03.png

nが偶数のとき、n=2mm=1,2,・・・)とおくと

  

n=3,5,・・・のとき、n=2m+1m=1,2,・・・)とおくと

  

(解答終了)


 


問題2 次の問いに答えよ。

(1) 次の等式が成り立つことを示せ。

  

(2) t=4x(1−x)と変換することによって、次を導け。

  

(3) 次の等式が成立することを示せ。

  

【解】

(1)

  

x=1−tとおき、右辺第2項を置換積分すると、

  

よって、

  


(2) t=4x(1−x)とおくと、x=0のときt=0x=1/2のときt=1

  

x²−x+t/4=0を解くと

  

x=0のときt=0x=1/2のときt=1

という条件を満たすのは

  

だから、

  

よって、

  

したがって、
  

(3)

  

(解答終了)


第14回 広義積分の問題2 [広義積分]

第14回 広義積分の問題2



問題1 次の広義積分の値を求めよ。

  

【解】

(1)

  


(2)

  

(3) x=sin²θ0≦θ≦π/2)とおくと

  

x=0のときθ=0x=1のときθ=π/2

よって、

  

(4) t=x²とおくと

  


よって、

  

ここで、

  

とおき、n≧1に対して部分積分を用いると、

  

したがって、

  

I₀

  

だから、

  

したがって、

  

(解答終了)

ベータ関数、ガンマ関数を用いると(3)と(4)は次のように解くことができる。


【別解】


(解答終了)


問題2 f(x)[0,∞)で連続であるとき、次のことを示せ。

(1) f(x)が有界であるならば、は絶対収束する。

(2) f(x)が非負かつ単調減少でが収束するならば、である。

【解】

(1) f(x)は有界だから、[0,∞)において

  

となる定数Mが存在する。

したがって、[0,∞)において

  

したがって、絶対収束する。

 


(2) と仮定すると、[0,∞)においてf(x)≧c

  

となり、は発散する。

が収束することと矛盾するので、である。

(解答終了)

無限級数の場合、が収束するならばは成立するが、

広義積分の場合、が収束するならばという命題は必ずしも成立しないので注意。


広義積分と複素積分を用いて定積分を計算 [広義積分]

toketa-gprah-01.png問題 次の積分の値を求めよ。

   

【解】

まず、

  

の不定積分を求めることにしよう。

 

  

とおくと

  

になるから

  

不定積分は求まった。

ここで、

  

と分解。

u=θ−2πとして、右辺第2項の積分を置換積分すると、θ=πのときu=−πθ=2πのときu=0、さらに、dθ=duとなるので、

  


ということで、ε>0として

  

(解答終了)

不定積分を用いてこの定積分の値を求めようとすると、広義積分になってしまう。



【別解】

  

(解答終了)

微分積分の範囲で解けてしまったね。


また、複素関数の積分と留数定理を使うと、次のように求めることができる。


 

【別解2】

とすると、これはガウス平面(複素平面)の単位円|z=1となり、さらに

  

となるので、

  

z²+4iz−1=0の解をαβとすると

  

したがって、単位円|z=1の内部にある極はαのみとなり、その留数を求めると

  

留数定理より

  


teiseki-fukuso-00.png

(別解2終了)

で、お前ら、積分の値は求められたのか? Part 2 意地悪は続く(^^) [広義積分]

  


まず、上の不定積分を求めることにしよう。

  

とおくと

  

になるから

  


これで、不定積分は求まった。


この結果を使って何も考えずに機械的に問題の定積分を計算すると、

  


へっ、へっ、へっ、へっ。


この計算のどこがおかしいか、わかるケロか。



おちゃめな動画も埋め込むケロ。




第13回 ラプラス変換入門2 微分方程式への応用 [広義積分]

第13回 ラプラス変換入門2 微分方程式への応用


§1 ラプラス逆変換


ラプラス変換の微分方程式の応用について述べる前に、まず、その前提になるラプラス逆変換の定義をあらためて提示し、ラプラス逆変換の簡単な問題を解くことにする。

関数f(t)のラプラス変換 

  kougi-13-01.png

であるとき、ラプラス逆変換は

  

で定義される。

例えば、

  

のラプラス変換は
  

したがって、

  

となる。

上では、積分することでラプラス変換を求めているけれど、この計算をすることなく、前回紹介したラプラス変換表を利用してもよい。

下の表を見れば

  

となることがすぐにわかる。




問 次のラプラス逆変換を求めよ。

  

【解】

(1) これは

  

を利用すればよい。

  

そして、n=3a=−1とおくと

  kougi-13-03.png


(2) まず

  

と部分分数に分解する。

そして、

  

ここでは、

  

という公式を使っている。

このばあい、a=−1a=−−2であることに注意!!


(3)

  

ここでは、a=1ω=1として

  

を使っている。

(解答終了)


§2 ラプラス変換の微分方程式へ応用


y=f(t)[0,∞)上の級とする。そして、この導関数y'=f'(t)のラプラス変換を考えることにする。

ラプラス変換は

  

だから、

  

右辺の広義積分を部分積分すれば、
  
そして、次の極限が

  

に収束するとき、導関数f'(t)のラプラス変換は次のようになる。

  



定理(導関数のラプラス変換)

[0,∞)上の級関数f(t)がある2つの定数aM>0に対して

  

を満たすとき、s>aに対して

  

である。

【証明】

R>0とする。
  

条件より

  

よって、

  

(証明終了)

 


2次導関数f''(t)については、

  

以上の結果をまとめると、

  



問2 ラプラス変換を用いて、次の微分方程式を解け。

  

【解】

L(y)=Yとおくと、

  

だから、微分方程式の両辺をラプラス変換すると
  kougi-13-08.png

s+2で両辺を割ると

  kougi-13-09.png

ラプラス逆変換すると、

  kougi-13-10.png

(解答終了)


なお、上の計算では、ラプラス変換表の

  

という公式を用いている。

もっとも、ラプラス変換表を見るまでもなく

  

と簡単に求めることができる。


ラプラス(逆)変換を用いれば、面倒な積分の計算をせずに、ラプラス変換表と代数的な演算で微分方程式の解を求めることができる。



問3 次の微分方程式の解を求めよ。

  

【解】

L(y)=Yとおくと

  kougi-13-12.png

微分方程式の両辺をラプラス変換すると、

  kougi-13-13.png

ラプラス逆変換すると、

  kougi-13-14.png

(解答終了)


ラプラス変換を用いると、積分の計算をせずに、微分方程式を解けるという話。



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