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ちょっとお尋ねしますが、これは成り立ちますか? (2月18日ver.) [高校の微分積分]

ちょっとお尋ねしますが、これ↓は成り立ちますか?


問題 abを実数、b>aとする。

関数f(x)[a,b]で微分可能な関数であるとき――実数全域で微分可能でもよい――、

  

は成り立つか。

成り立つならば証明を、成り立たないならば反例をあげよ。





部分分数への分解の問題の解答 [高校の微分積分]

部分分数への分解の問題の解答

問題 次の分数を部分分数に直せ。

  

【解】

  

と分解できたとする。

②にx+2をかけると

  

x=−2を代入すると

  

②にx−3をかけると

  

x=3を代入すると

  

②にをかけると

  

だから、x=0を代入すると

  


しかし、

②にxをかけると

  

だから、x=0を代入してaを求めることは出来ない。

工夫が必要!!


  

をかけた③式

  
の両辺をxで微分すると、

  

これにx=0を代入すると

  


これですべての係数が求まった。


答えは

  

(解答終了)

この手法は複素関数の留数を求めるときに用いる手法なのだけれど、部分分数への分解にも利用できる便利な方法なので、知っておくと何かと便利ですよ。



部分分数への分解の便利な(?)方法 [高校の微分積分]

部分分数への分解の便利な方法


つかぬことをお伺いしますが、

  

を部分分数に分解するとき、皆さんは、どのような方法を使ていますか?

「こんな初歩的なことを聞くとは、ネムネコ、相当数学の記事のネタに困っているようだ。そうでなければ、焼きが入ったか?。これはこうやって解くもんだ。

  

分子を展開し、多項式の係数を比較すれば出てくる。」

「なるほどなるほど、正攻法ですね。しかし、ネムネコは計算が苦手だから、間違った答えにたどり着く確信があります。

そこで、たとえば、こう計算したらどうでしょう。

  

こういう方法は駄目ですか?」

「たしかに、こう計算すれば、連立方程式を解かなくていい。しかし、技巧的で一般性のない解法だ。こんな解法は認められない!!」


「じゃぁ、こうしたら。

  

ですから、両辺にx−1をかけると

  

x=1を代入すると、

  

同様に、①式にx−2をかけと

  

これにx=2を代入すると、

  

同様に、①式にx−3をかけると

  

x=3を代入すると

  

つまり、

  

のとき、

  

として計算できる。

ただし、

  

これならば一般性のある解法で問題はないと思いますが、駄目ですか?」


「ネムネコ、お前、この解法を知っていて、質問したろ!!」


「濡れ衣です。私はこのような解き方を他人(ひと)から教えてもらったこともありませんし、数学の本で読んだ記憶もありません。少なくとも、私の持っている数学の本にこのような求め方は書かれておりません。」






さてさて、この架空の対話の真偽は別にして、この話を踏まえて質問するにゃ。


問題 次の分数を部分分数に直せ。

  




平均値の定理の問題の続き [高校の微分積分]

平均値の定理の問題の続き


問題 f級の関数とする。

f’’(x)≠0ならば

  

とするとき

  

であることを証明せよ。

この問題を解く前に、


拡張された平均値の定理

f(x)が閉区間[a,b]級で、開区間(a,b)で2回微分可能であるとき

  

となるcが少なくともひとつ存在する

【証明】

  

となるようにkを定める。

  

とおく。

F(x)は、F(a)=F(b)=f(b)で、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能だから、ロールの定理より

  

となるcが存在する。

  

だから、

  

したがって、

  

となるcが少なくともひとつ存在する。

(証明終)


ちなみに、

  


b−a=hとおき、

  

とおくと、0<θ<1となるので、(2)式は

  


これで問題を解く準備が整った。


問題 f級の関数とする。

f’’(x)≠0ならば

  

とするとき

  

であることを証明せよ。

【証明】

f'(x)に平均値の定理を用いると

  

ここで、k=θhとおくと

  

これを平均値の定理

  

に代入すると、

  

また、

  

f’’(x)≠0f'は連続だから、hを十分小さくとれば、

  

と②より
  

f(x)級、つまり、f’’(x)は連続だから

  

(証明終)


平均値の定理の問題 [高校の微分積分]

平均値の定理の問題


heikinchi-graph-01.png平均値の定理Ⅰ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

  

となる点cが少なくとも1つ存在する。

平均値の定理Ⅱ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

  

となるθが少なくともⅠつ存在する。

b−a=hと置けば、平均値の定理は

  

である。

 


問題1 f(x)=√xa=1b=9のとき、平均値の定理

  

が成立するcの値を求めよ。

【解】

  

a=1b=9だから

  

(解答終了)


この問題の場合、

  

で、点cは点a、点bの中点になっている。

 


問題2 のとき、平均値の定理

  

になるθを求めよ。

【解】

  

したがって、
  

(解答終了)



θ=1/2だから、問題2も点aと点a+hの中点になっている。

θ=1/2という数字には何か秘密がありそうな・・・。


問題3 f(x)=x³のとき、等式

  

となるθについて、を求めよ。

【解】

  

だから、

  

両辺のh→0の極限を取ると

  

左辺の極限

  

となるから、

  

(解答終了)

ここでも、θ=1/2という数字が出てきた。



問題4 f(x)は連続な第2次導関数f''(x)を持つ関数で、とする。

平均値の定理によれば

  

となるθが存在するが、このθhに関係なく一定であれば、θ=1/2でなければならないことを証明せよ。

【解】

  

の両辺をhで微分すると、θhに関係なく一定だから、

  

両辺をhh≠0)で割り、h→0の極限を取ると
  

(解答終了)


これは、もはや、偶然とは呼べないだろう。


実は、

関数f(x)級数で、f''(x)=0ならば、

  

とするとき、

  

と必ずなるのであった。



【お前らに質問!!】 f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か?の解答(怪答?) [高校の微分積分]

【お前らに質問!!】 f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か?の解答(怪答)

【反例】

  

とする。


hanrei-graph-01.png


この関数f(x)の導関数f’(x)

  

となり、f'(x)は奇関数。


hanrei-graph-02.png


 


オレは、f'(x)が連続であるとも、f(x)が実数全域で微分可能だとも言っていないケロよ。ただ、f(x)の導関数f'(x)が奇関数だ、y=f'(x)のグラフが原点対称だと言っただけだからね。


「この質問は引っ掛けだ。卑怯だ!!」


反論、ごもっとも。

しかし、関数のグラフが繋がっていること、関数が連続であることの大切さがわかったんじゃない(^^)


そして、
今日ほど、この曲がふさわしい日はないのではないだろうか♪



【お前らに質問!!】 f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か? [高校の微分積分]

ちょっとお前らに聞くが、
f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数か?


例えば、

  

ならば、

  

となる。

これはf(−x)=f(x)が成立するから、f(x)は偶関数。


また、

  

のとき、

  

だから、このときもf(−x)=f(x)が成立する。

次の命題は正しそうな臭いがいがプンプンする。


命題

f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数である

 


さて、この命題は正しいか。


正しければ証明を、正しくなければ反例をあげよ。


ちなみに奇関数とは

  

が成立する関数。

偶関数は

  

奇関数の代表的な例としてf(x)=x、偶関数の代表例はf(x)=x²がある。


番外編 だ円の回転 [高校の微分積分]

番外編 だ円の回転


問題 曲線5x²+6xy+5y²=8
・・・①を原点のまわりにθだけ回転して、Ax²+By²=C・・・②の形にしたい。θの値をいくらにすればよいか。


(x,y)を原点まわりで反時計回りにθだけ回転したときの点を(X,Y)とすると、(x,y)(X,Y)との間には

  

という関係がある。

行列で書くと、

  

したがって、

  

これを①に代入すると、

  

これを整理すると、

  

ここで、

  

だから、③は

  

これがAX²+BY²=Cの形になるためには、

  

したがって、θ=45°=π/4(rad)にすればよい。

何故ならば、cos90°=0だから。

daen-kaiten-01.pngsin90°=1だから、④は

  

となり、このXYxyに戻して、

  

これは、右図に示すだ円。

(解答終了)


回転させただけだから、だ円の面積は変わらない。

だ円、

  

の面積はπabだから、

  

の面積は

したがって、

  

の面積も

積分することなく、曲線①の面積が求まった。


ちなみに、赤い線がだ円①の長軸、紫色の線をだ円①の短軸という。


なぜ、そうなるかについては、将来、2×2の行列と1次変換について詳しく述べることにして、他の方法で回転角θを求めることもできる。


曲線①から

  

という行列を作り、固有値と固有ベクトルを求める。

  

⑥が(x,y)=(0,0)以外の解をもつためには、行列式

  

で、k=2,k=8を⑤にそれぞれ代入すると、k=2のときx+y=0k=8のときx−y=0

x+y=0は赤の直線、つまり、長軸の直線の方程式。

x−y=0は紫色の直線、つまり、短軸の直線の方程式。

実はそれだけではなくて、

  

というだ円の方程式まで出てしまうのであった。

一般化すると、

  

という2次曲線の方程式がある場合、

  

という行列の固有値と固有ベクトルを求めるとよいという話でした。

台形公式の精度を求める問題 [高校の微分積分]

台形公式の精度を求める問題


台形公式の精度を求めるいい問題があったので紹介します。


問題

a<bのとき

  

となるようにkの値を定め、関数F(x)

  

とする。

この関数について、ロールの定理を繰り返して使うことによって

  

となるようなξが存在することを示せ。

【解】

x=aのとき、

  

x=bのとき

  

F(a)=F(b)=0かつ、F(x)は、閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能。

よって、ロールの定理よりF'(c)=0となるa<c<bが存在する。

②を微分すると
  

よって、F'(a)=0

F'(a)=F'(c)=0かつ、F(x)[a,c]で連続、(a,b)で微分可能。

よって、ロールの定理より

  

となるξが存在する。

ξ<>aだから、

  

これを①に代入すると、
  

(解答終了)


s-graph-11.png[a,b]f(x)>0のとき、

  

は、曲線y=f(x)x軸、x=ax=bで囲まれた部分の面積であり、

  daikei-gosa-siki-03.png

は、右図の台形ABCDの面積である。

問題の結果より、

  

という関係があり、右辺はSTで近似したときの誤差を与える。
[a,b]

  

n等分とする、

n等分したのだから、

  

この区間に台形公式で近似すると、
  daike-gosa-siki-04.png

よって、

  

ここで、の最大値をMとすると、

  

これが台形公式の誤差限界である。

ちなみに、以前紹介した中点公式
  
の誤差限界は

   


(1)と(2)のMは等しくないので単純な比較はできないけれど、Mが同一であれば、中点公式は台形公式の誤差の1/2ということになる。

だから、一般論になるけれど、中点公式の方が台形公式より精度はよいということになる。

Daikei-gosa-01.png右のグラフは、

  

を台形公式を用いて計算し誤差と分割の幅hとの関係を示したもの。

このグラフだと少しわかりにくいと思うのだが、h=0.1からh=0.01へとh1/10になると、誤差は約その2乗である(1/10)²=1/100になる。


計算した生のデータのほうがわかりやすいと思うので、生データを以下に示す。


 分割幅 h             誤差

0.100000   0.000416666171
0.010000  
0.000004166667
0.001000  
0.000000041667
0.000100
   0.000000000417

この関数の場合、綺麗に1/100になっている。


Daikei-gosa-02.pngこれだとまだ直観的に理解しづらいかもしれないので、[0,1]の分割数nと誤差との関係についてのグラフを示す。


ワンポイントゼミ26 [高校の微分積分]

ワンポイントゼミ26


ねこ騙し数学の記事の中では

  

と書いたけれど、この不等式は

  

の方がいいのかもしれないね。

ちなみに、n!とは

  

のこと。

ということで、

  

である。

また、定義から

  

という関係がある。

  

になっているからね。

そして、さらに0!を

  

と定義する。

そうすると、

  

で、0のときにも①が成立することになる。

n=1のとき1!=2⁰

n=2のとき2!=2¹

だから、①の不等式で等号が成立する。

n≧3では、⑨が成立する。

この証明は、ねこ騙し数学の記事に書いてある。


ということで、

となる。

 


また

  

である。

  

になっている。

n=4のとき

  

だから(1)は成立。

n=kのとき

  

が成立するとする。

n=k+1のとき

  

よって、数学的帰納法より(1)が成立する。

では、ここで一つ問題!!


問題

nmを1より大きい整数とする。

このとき、

  

を満たすnとmを求めよ。

【答】

(n,m)=(2,4)、または、(n,m)=(4,2)

2⁴=4²=16だからね〜。

しかし、これでは数学の解答にならない!!

今日のねこ騙し数学の記事がヒントだにゃ。


②の両辺の対数をとる。

そうすると、

  

n≠0m≠0だから、nmで両辺を割ると

  

ということで、

  

という関数が出てくる。

で、とりあえず、n≦mとする。

そうすれば、

  

となり、

  

というxの解の個数を求める問題に帰着できる。

BakdaDai-Wdai.pngf(x)を微分して、この増減を調べる。

そすると、この関数はx<eで増加、x>eで増加するから、上の方程式が解を2つもつためには、片方の解がx<e<3より小さくなる必要がある。

したがって、1<n<3を満たすnは2しかない!!

だから、n≦mのとき、2⁴=4²の組み合わせしかない。

なのだが、

2⁴=4²または4²=2⁴を知らないヒト、あるいは、これに気づかないヒトはどうするんだろう。
この問題は、大昔、とある私立大学の入試問題として実際に出題されたものだけれど、オレは試験会場でこの組み合わせに気づかないかもしれない(^^

この問題の解答には

  「2⁴=4²4²=2⁴」は既知として・・・

と書いてあったように記憶している。


これは、難関(私立)大学を目指す受験生にとって既知の内容で、「2⁴=4²4²=2⁴」は絶対に知っておかないといけないことだったのか。



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