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お前らに問題(6月9日)の解答例 積分を使う [高校の微分積分]

お前らに問題(6月9日)の解答例 積分を使う

 

 

問題 x>0のとき、次の関係が成り立つことを示せ。

  shureida--001.png

 

最も基本的な解答は、次のようなものだろう。

 

【解答例1】

  

とおき、xで微分すると、

  

したがって、f(x)は、0<x<1のとき減少、1<xのとき増加する。

よって、f(x)x=1のとき、極小かつ最小。

ゆえに、

  

(解答終)

 

 

また、次の解答例のように、平均値の定理を用いた解答も作ることができるだろう。

 

 

【解答例2】

x=1のとき、(1)の等号が成立する。

0<x<1とし、(x,1)に対して平均値の定理を用いると、

  

であるξが存在する。

このとき、1<1/ξ<1/xだから

  

1<xのとき、同様に、(1,x)に対して平均値の定理を用いると

  

このとき、1/x<1/ξ<1だから、

  

以上のことから、

  

等号成立はx=1のとき。

(解答終)

 

さらに、積分を使うのならば、次のような解答を作ることもできるだろう。

 

 

【解答例3】

x=1のとき、(1)で等号が成立するのは明らか。

0<x<1とし、t∈(x,1)とすると、

  

よって、

  

1<xとし、t∈(1,x)とすると、

  

よって、

  

したがって、

  

等号成立はx=1のとき。

(解答終)

 

 

このように、積分を用いて、問題の不等式を示すことができる。

 

解答1が最もシンプル、かつ、わかりやすいので、解答2、解答3のようにわざわざ難しくして証明する必要はない。しかし、積分を用いると、次のような不等式を簡単に作り出せたりもする。

 

 

sekibun-futoushiki-graph-001.pngx>0とし、t∈(0,x)とする。

このとき、

  

だから、

  

x<0とし、t∈(x,0)とすると、

  

だから、

  

x=0のとき、等号が成立するので、

  

という不等式を得ることができる。

 

特に注目して欲しいのは

  

という不等式。

x>0のとき、この両辺を積分すれば、

  sekibundefutoushiki-001.png

そして、これをさらに積分すると、次の不等式が得られ、

  

これを繰り返すことによって、

  

という不等式を自然に得ることができるのであった。

 

 

そして、宿題!!

 

 

shukuda-0611-graph-001.png宿題 aを実数の定数とする。次の方程式の解の個数を調べよ。

  

 

 

右の図は挿絵。

紙面がすこし寂しく見えたので、挿絵を入れただけだケロ。

 

 

受験数学でよく用いられる、

x=−1は解でないから、上の方程式と下の方程式は同値。

  

したがって、この方程式の解の個数は、曲線の共有点(ここで、交点という言葉を使うと、文句をつけるヒトがいる!!)の数と一致する。

うんぬん、云々・・・」

というテクニックを用いると、思わぬところで足元を掬われるかもしれない(^^)

 

あなたは次の超越方程式を解けるだろうか。

  

この解に気付けば別だけれど(^^)

 

 

shukuda-0611-graph-003.png

 

そして、上の図も挿絵であることは言うまでもない!!

 


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お前らに問題(6月9日)!! [高校の微分積分]

お前らに問題(6月9日)!!

 

 

問題 x>0のとき、次の関係が成り立つことを示せ。mondai-69.png

  

 

簡単な問題だからすぐに解けると思うが・・・。

 

  

として、この関数の増減を調べて証明するもよし、どうやって示そうが自由だケロ。

 

中には、わざわざ、

  

と変形して解こうとするヒトもいるかもしれない。

 

 

さらにぶっ飛んでいるヒトは、

x>0のとき、

  

として解こうとするかもしれない。

つ・ま・り、この問題は、微分を使わずに、積分を使って解くことだってできる!!

 

ところで、今日は6月9日だね〜。

 

69だにゃ。

 

ということで、

問題を解くまでの間のBGMとしてこの曲をBGMにするといいと思うにゃ。



この1曲の間に解くのは難しいと思うので、さらに、この曲を♪


これは本で読んだ話なので真偽のほどは確かでないけれど、練習の時、オーケストラの楽員の中には、わざと69小節やスコア―の69ページ目を間違えて、指揮者に「69」という言葉を口にさせようとするイタズラ者がいたりするらしいケロよ。
「69」というマジカルワードを唱えてくれるまで何度でも間違えるそうだにゃ。
同じヒトが何度も同じ箇所を間違えたら怒られるだろうから、Aさんの次は、Bさんが。そして、その次は・・・、なんてことをやるのかね(^^)

実際に、海外のオーケストラでこのようなイタズラにあった日本人指揮者がいたそうだにゃ♪


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高校の微分 関数方程式 [高校の微分積分]

高校の微分 関数方程式

 

問題1 連続関数f(x),g(x)がすべての実数xyについて、つぎの性質をもつ。

このとき、つぎのことを証明せよ。

 

この問題を見ると、

  

とすると、この条件をすべて満たすことがわかるが・・・。

 

【解】

a) y=xとすると、(3)式より

  

 

b) y=−xとすると、

  

 

c) 

  

ここで、g(x)は偶関数で、g(0)=1だから、

  

また、問題の条件より

  

よって、

  

(解答終)

 

 

問題2

  

がつねに成り立つような2つの関数S(x)C(x)について、次の問に答えよ。

(1) 

(2) S’(0)C’(0)が存在すれば、S’(x)C’(x)が存在して、

  

【解答】

(1) x=y=0とすると、

  

①より、

  

C(0)=1/2

  

を満たさない。

よって、S(0)=1

②より、C(0)=0またはC(0)=1

③より、C(0)=−1またはC(0)=1

よって、C(0)=1

 

(2)

  

また、

  

(解答終)

 

S'(0)=1C'(0)=0とすると、問題2の(2)より、

  

①+②は

  

①−②は

  

③と④より、

  

⑤と⑥を双曲線関数といい、

  

で表し、

  kan-k-005.png

など、三角関数とよく似た性質を有する。

 


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高校の微分に関する問題 sinxは多項式で表わせない [高校の微分積分]

高校の微分に関する問題 sinxは多項式で表わせない

 

 

合成関数の微分の証明についてのコメントをいただいたので、高校時代に使っていた数学の参考書を覗いてみた。

そして、次のような問題を見つけた。

 

問題

(1) sinxは整式(多項式の関数)で表わせないことを示せ。

(2) f(x)は実数全体を定義域とする微分できる関数で、f(1)=0である。

このとき、

  

とおけば、g(x)は連続関数であることを示せ。

 

(2)は、たとえば、次のように解けばいいのだろう。

 

h≠0のとき、f(x)は実数全体で微分可能だから、

  

よって、f(x)は連続関数。

f(x)x−1は連続関数で、かつ、x≠1のときx−1≠0だから

  

は連続な関数。よって、g(x)x≠1のすべての点xで連続。

また、

  

だから、g(x)x=1で連続。

したがって、g(x)は実数全体で連続関数である。

 

厄介なのは、(1)だケロね。

 

テーラー展開(マクローリン展開)を知っていれば、sinx

  

と無限級数に一意に表せるので、sin xを有限な次数をもつ多項式(整式)で表すことはできない、

ですむのだろうけれど、さすがに、これを大学入試の答案に書くわけにはいかない。

 

ではあるが、次のようにすれば、高校の数学の範囲になんとかおさめることができるだろう。

 

もし、

  

と多項式で表せるのならば、

  

である。

よって、f(x)は何回でも微分可能で、恒等的に

  

にならなければならない。

ところで、sin x

  

と何回でも微分することができ、g(x)=sin xとおくと、k>n

  

となる正の整数kが存在する。

このkをとると、

  

となり(※)、⑨に矛盾。

よって、sin xは整式(多項式)で表わせない。

ここで、

記号f(x)n次導関数を表す。

 

(※)  k>nのとき、

  

だから、

  

である。

 

とか・・・。

ちなみに、

  

とすると、

  

である。

0=1という、さらに、

  

というお約束を忘れないように(^^)

 

 

または、

  

とおく。

すると、方程式f(0)=0である実数解はたかだかn個。

しかし、sin x=0の解は無数に存在する。

だ・か・ら、もし、sin xが多項式①の形で表わせとすると、矛盾する。

よって、sin xは多項式で表わせない。

 

あるいは、

  

だから、sin xが多項式で表せたとすると、x→∞のときにsin xは発散してしまう。

しかし、

  

で、x→∞のときに、+∞や−∞に発散しない。

 ――sin xには、この極限値が存在しない。だから、この極限が存在しないことを証明に用いても良いだろう。――

よって、矛盾。

したがって、sin xは多項式で表わせない。

 

まぁ、こういったところでしょうか。

 

同様に、cos xが多項式で表わせないことを示すことができるだろう。

 

「オレは、こうやって解いた」という証明があったら、コメント欄にその証明を書いて、教えて欲しいケロ。

証明が正しかろうが、間違っていようが、このブログで紹介するにゃ。

 


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ITさんから、今日、このような指摘をいただきました [高校の微分積分]

ITさんから、今日、このような指摘をいただきました。

 

合成関数の微分」の証明について質問です。

途中 g(x+h)-g(x) が分母に来ますので、
どんなxの近傍にもg(x+h)-g(x)0となるx+h(h>0)がある場合(たとえばgが定数関数)について分けて考えないといけないのではないでしょうか?

 

この問題箇所は次のところ。

 

次に、より一般の合成関数y=f(g(x))の微分公式を求めることにする。

 ――インチキが入っています(^^ゞ――

 

y=f(u)u=g(x)がともに微分可能であるとする。

とおくと、

Δx→0のとき、Δy→uだから

これを上式に代入すると、

よって、

である。

したがって、

 

定理 (合成関数の微分)

y=f(u)u=g(x)がともに微分可能であるとき、合成関数y=f(g(x))の微分は

である。

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2016-09-13

 

ITさんの指摘にある通り、上の証明にはアラがあるんだよね〜。

だ・か・ら、記事の中に「――インチキが入っています(^^ゞ――」と但し書きを書いたのだった。

 

gousei-bibun-graph-001.pngたとえば、

  

とすると、このとき、y'=f'(u)=1であり、

  

だから、fgともに微分可能である。

そして、

上の定理から、合成写像は微分可能で、

  

 

この結果は正しいのだけれど、

ただし、x≠x₀のとき

  

となって、

  

と、ゼロ割りが発生してしまう。

だから、のとき、合成関数の微分の証明で使用している

  

が成立しない。

したがって、

ITさんのご指摘の通り、この証明にはアラがあるんだよね〜。

 

なのだけれど、x≠x₀だから、

  

よって、で微分可能になる。

そして、形式的に

  

と、この問題をクリアーできる。

 

ただ、こういった合成関数の微分を含めた一般の証明は高校数学の範囲を越えてしまうので、この証明に問題があるのは百も承知で、上記の証明を紹介した次第です。

 

この定理の正確な証明を知りたいヒトは、たとえば、高木貞治の「解析概論」のp.40などを見て欲しい。

 

ではあるが、次の怪しげな(?)証明を紹介しておこう。

  

「解析概論」の証明を煎じ詰めれば、確かに、こうなるわな〜。

なお、dy/dxはdyをdxで割ったものではないので、この点はくれぐれも注意して欲しい。

つまり、2行目の式の両辺をdxで割って最後の式が出たわけではない。

dy/dxはただの記号だケロよ。

 

合成関数の微分の定理の証明


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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ

 

宿題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。

  

【解】

hanbetsu-kero-002.pngg(x)=a(実数の定数)とおき、

  

とすると、これを満たす実数xが存在しなければならない。

 

(1) a=0のとき、x=0

 

(2) a≠0のとき、

  

xに関する2次方程式①の解は実数でなければならないので、その判別式をDとすると、

  

a≠0だから、

したがって、

  

でなければならない。

また、

  

 

以上のことより、

  

(解答終)

 

a=0のとき、①はxに関する2次方程式でないので、このとき、2次方程式の判別式を用いることはできないことに注意。

 

g(0)=0g(1)=1/2、・・・、さらに、曲線の対称性

  

を用い、g(1)=1/2が最大値、g(−1)=−1/2が最小値に違いないと目星をつけて、次のように解答を作ることもできるのでしょう。

 

【別解】

すべての実数xに対して、

  

したがって、

  

よって、

  

(別解終)

 

最大値、最小値の定義を用いた、実に見事な解答!!

そして、

この別解をテストの答案に書いたら、間違いなく、高校の数学の先生の多くは激怒するに違いない(^^

 

予想し、その予想が正しいことを証明したのだから、この解答にはなんの瑕疵もない。怒るほうがどうかしていると思う。

 

微分法を使う解答は次の通り。

 

【別解2】

  

 

増減表

x

・・・

1

・・・

1

・・・

g'(x)

0

0

g(x)

減少

極小 (−1/2)

増加

極大 (1/2)

減少

 

また、

  

ゆえに、

  

(解答終)

 

g(x)の2次導関数

  

の符号を用いて極値の判定をする方法もあるが・・・。

 


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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回

 

そもそも、この一連の記事を書き始めたきっかけになったのは直線群の包絡線が絡む問題だったので、包絡線が絡む、次の問題を解くことでこの終わりにしよう。

 

問題 tが実数のとき、2点P(t,t)Q(t−1,1−t)を結ぶ直線は、tにかかわりなく1つの放物線に接すること示せ。

 

この問題は2点PQを通る直線がある放物線の接線になるのだから、誰もが2次方程式の判別式を利用することを思いつくのではないか。

ということで、早速、解いてみよう。

 

【解】

2点P(t,t)Q(t−1,1−t)を通る直線の方程式は

 

放物線の方程式y=ax²+bx+cからyを消去するために、①を代入すると、

直線①は放物線y=ax²+bx+cの接線だから、xに関する2次方程式②の判別式D=0でなければならない。

hanbetsu-houraku-graph-001.pngこれが任意の実数tについて成立するので、

よって、

ゆえに、

(解答終)

 

包絡線が何かを知っているヒト向けの解答は次の通り。

 

【別解】

の両辺をtで偏微分すると、

①に代入し、tを消去すると

(解答終)

 

 


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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される6 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される6

 

問題 x>0のとき、について次の問に答えよ。

(1) とおき、ptの式で表わせ。

(2) (1)の結果を用いて、pの最小値を求めよ。

【解】

(1) 分母分子をで割ると

  

 

hanbetsu-kero-graph-001.png(2) x>0のとき、相加平均≧相乗平均より

  

そこで、

  

とおくと、p(t)は(単調)増加関数。

したがって、

  

したがって、x=1のときpは最小で、最小値は11/2

(解答終)

 

この問題では問われていないけれど、上の問題の結果を用いると、

  

としたとき、この関数は点(0,4)に関して対称なので、この対称性を使うと、x<0におけるf(x)の最大値をf(−1)=5/2と求めることも可能である。

 

ではあるが、

上の問題のような誘導がないとき、

  

の最小値を簡単に求めることはできるのであろうか。

もちろん、微分法を使えば、簡単に最小値を求めることができる。

微分を使わずに、この最小値を求める方法を少し考えてみた。

  

になる。

ここで、一瞬、ネムネコの手が止まる。

 ――実際、紙と鉛筆は、一切、使っていない。すべて、ネムネコの頭の中での話で、文学的修辞!!――

しかし、その場の思いつきが身上のネムネコ、

  

とし、この逆数を

  

とすれば出来るんじゃねぇ、と閃く。

  

したがって、

  

ということで、

  

 

つまり、親切な誘導がなくても、微分法を使わないでも、

すこし工夫すると、

この問題の最小値は簡単に求められてしまうんだよね。

ちょっと、スゴイと思わない?

 

ここで問題!!

 

hanbetsu-kero-002.png宿題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。

  

 

とおくと、

  

として、2次方程式の判別式を使って解くの、好きでしょっ(^^)

 

 

言っておくけれど、相加平均≧相乗平均とg(x)の対称性を利用して解くのは、今回はアウト!!

だって、実質、オレが既に解いてしまっているもの。

 

微分を使ってもいいけれど、それじゃ〜、ただの計算問題になってつまらないでしょう。

最大値、最小値の定義から迫るもよし、2次方程式の判別式を利用して解こうがよしとするにゃ。

 




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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される5 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される5

 

問題 x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

  

がとりうる値の範囲を求めよ。

【解答(?)】

0を除く全ての実数の集合をA(関数fの定義域)、関数fによるAの像(fの値域)

  inu-006.png

とする。

ここでRは実数全体の集合である。

f(x)=k(実数)∈Bとすると、

  

を満たすx∈Aが存在しなければならない。

  

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

  

でなければならない。

b≦0のとき

  inu-001.png

よって、f(x)がとりうる値の範囲は全ての実数。

b>0のとき、(2次不等式)②の解は

  inu-002.png

したがって、

  

(解答終)

 

2次方程式の判別式を使うならば、少なくとも、これくらいきちんと書いてもらわないと、点数はあげられない。

 

だとしても、この解答、答は間違っている!!

 

何故ならば、b=0のとき

  

で、この関数はaの値をとりえないからだ。

もし、f(x)=aという値をとるとすると、

  

となる!!

b=0のとき、f(x)=aとなるxを定義域Bにもっていないんだね〜。だから、aは関数f(x)がとりうる値とされている全ての実数から除去しないといけないのだ。

 

ということで、

b<0b=0b>0の場合に分け、

 b<0のとき、f(x)は実数すべての値

 b=0のとき、f(x)<aまたはf(x)>a

 b>0のとき、f(x)≦a−2√bまたはf(x)≧a+2√b

となる。

 

ところで、上の解答(?)で、下線を引き、「xは実数だから」とした。

これは、xに関する2次方程式

  

が実数解をもつ、つまり、

  

が空集合でないための条件。

しかし、この問題で求める条件(?)は

  inu-003.png

  inu-004.png

が空集合でないための条件であり、そして、この問題の場合、D⊂Cであるが、D=Cではない。

 

現に、b=0のとき、Cx=0が紛れ込んでいるではないか。

そして、これが原因で上の解答(?)は誤答になっている!!

 

  

の2つの式は同値じゃない。

これは、

  

としないといけない。

しかも、上の解答(?)を作ったヒトは、CDが同じと錯覚している。

そして、ほとんど全てのヒトがこの間違いに気づかない。高校の数学教師の多くも・・・(^^

気づいてたら、「ここは間違っている」という指摘が高校の数学教師などからなされ、出版社(某大手教科書メーカー)は解答を訂正しているだろうから。

教科書や問題集の信用に関わり、その高校で教科書や問題集が採用されなくなるかもしれない。

これは教科書メーカーにとって死活に関わる由々しき事態だにゃ(^^)

 

こういうことが起こることがあるから、

2次方程式の判別式を用いた実数解の条件と問題で求めるべき条件が本当に一致するかの吟味が必要で、そのことを示す、少なくとも確認する必要がある。

こうしたことをよく踏まえた上で2次方程式の判別式を使って解答するのならばいいけれど、実際はそうではないだろう。

受験参考書などに判別式を使って解く解法が示されているので、「このタイプの問題はこうして解くものだ」と鵜呑みにし、その解法を覚えこんで解いているに過ぎないのではないのか。

 

その点、グラフを用いた解答(?)は強い。自分が何を求めているのかが明確になる。

sugonya-nemuneko-graph-000.pngなんたって視覚に直接訴える、即物的な解き方だから。

  

と変形し、お絵かきをすると、正しい答えまで導いてくれる。

b=0のとき、

  

右図の白丸◯の点(0,a)は除く。

b>0x>0のとき、

  inu-005.png

さらに、

  

とおけば、

  

g(x)は、奇関数であり、原点対称だ。

したがって、

  

等号が成立するのはx=−√b

よって、

  

ゆえに、

  

なんて、すぐに見当がつく。

b<0のとき、f(x)が実数すべての値をとることはグラフから明らか。

 

このことをまとめた上で、右のグラフを示せば、申し分のない解答になるのではないか(^^

 ――「このように図、グラフを頼りにする解法は、厳密でないから、けしからん」と批判するヒトがいるかもしれない。しかし、ネムネコが採点者ならば、満点を付けた上に、大きな花丸まで付けてあげる(^^)――

 

こういう解答がいいと言っているのではない。

2次方程式の判別式を使ってこの手の問題を解くときには、「自分がいま求めているものは何なのか」という明確な自覚をもったうえで、細心の注意をはらうことが必要だと言いたいのだ。

そうでないと、時に、こういう落とし穴にハマってしまうということがあるのだ。

 

大学受験や高校の定期試験のときは時間的制約があるのでこういうことはできないだろうけれど、家で勉強するときは、たとえば、a=1b=1a=2b=1、・・・という具体的な値を入れて、

  

フリーハンドでいいから、実際に、この曲線のグラフをいくつかかいてみることは重要だと思う。

そして、自分の頭で答の予想をし、できるところまで解いてみる。

 

 

すくなくとも、方針が立たないから、解法事典のように、すぐに参考書を見るということだけは絶対に止めたほうがいい、と思う。

こんなことをいつまでも繰り返していたら、参考書の(解法の)の奴隷になり、やがて、参考書(の解法)に忠実なイヌに成り下がってしまう。

 

 

なお、微分法を使った解答は、おそらく、ddt³さんが送ってくれると思うにゃ。

 

 


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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される4 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される4

 

問題 x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

  

がとりうる値の範囲を求めよ。

y=(x^2+ax+b)÷x.png【解答(?)】

f(x)=k(実数)とおくと、

  

よって、

  

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

  

でなければならない。

b≦0のとき

  

よって、f(x)がとりうる値の範囲は全ての実数。

b>0のとき、②より

  

したがって、

  

(解答終)

 

教科書や大学生向けの数学の教科書を出版する、有名な某出版社の解答――4行しかない解答なので、ネムネコが内容を追加しある――である。

 

正しければ何とも鮮やかなものだ(^^)

 

さて、ここで問う。

この解答、ならびに、答は正しいか。

 

「ネムネコが、わざわざ、こう問うくらいだから、この解答、答は間違っているに違いない。よしんば、間違っていないとしても、解答に不備、言葉足らずの箇所があるに違いない。」

 

こう勘ぐるヒトもいるかもしれない。


しかし、ネムネコは


ウサ!!
ただこの解答に難癖をつけ、引っ掻き回したいだけかもしれないウサ



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