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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ

 

宿題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。

  

【解】

hanbetsu-kero-002.pngg(x)=a(実数の定数)とおき、

  

とすると、これを満たす実数xが存在しなければならない。

 

(1) a=0のとき、x=0

 

(2) a≠0のとき、

  

xに関する2次方程式①の解は実数でなければならないので、その判別式をDとすると、

  

a≠0だから、

したがって、

  

でなければならない。

また、

  

 

以上のことより、

  

(解答終)

 

a=0のとき、①はxに関する2次方程式でないので、このとき、2次方程式の判別式を用いることはできないことに注意。

 

g(0)=0g(1)=1/2、・・・、さらに、曲線の対称性

  

を用い、g(1)=1/2が最大値、g(−1)=−1/2が最小値に違いないと目星をつけて、次のように解答を作ることもできるのでしょう。

 

【別解】

すべての実数xに対して、

  

したがって、

  

よって、

  

(別解終)

 

最大値、最小値の定義を用いた、実に見事な解答!!

そして、

この別解をテストの答案に書いたら、間違いなく、高校の数学の先生の多くは激怒するに違いない(^^

 

予想し、その予想が正しいことを証明したのだから、この解答にはなんの瑕疵もない。怒るほうがどうかしていると思う。

 

微分法を使う解答は次の通り。

 

【別解2】

  

 

増減表

x

・・・

1

・・・

1

・・・

g'(x)

0

0

g(x)

減少

極小 (−1/2)

増加

極大 (1/2)

減少

 

また、

  

ゆえに、

  

(解答終)

 

g(x)の2次導関数

  

の符号を用いて極値の判定をする方法もあるが・・・。

 


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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回

 

そもそも、この一連の記事を書き始めたきっかけになったのは直線群の包絡線が絡む問題だったので、包絡線が絡む、次の問題を解くことでこの終わりにしよう。

 

問題 tが実数のとき、2点P(t,t)Q(t−1,1−t)を結ぶ直線は、tにかかわりなく1つの放物線に接すること示せ。

 

この問題は2点PQを通る直線がある放物線の接線になるのだから、誰もが2次方程式の判別式を利用することを思いつくのではないか。

ということで、早速、解いてみよう。

 

【解】

2点P(t,t)Q(t−1,1−t)を通る直線の方程式は

 

放物線の方程式y=ax²+bx+cからyを消去するために、①を代入すると、

直線①は放物線y=ax²+bx+cの接線だから、xに関する2次方程式②の判別式D=0でなければならない。

hanbetsu-houraku-graph-001.pngこれが任意の実数tについて成立するので、

よって、

ゆえに、

(解答終)

 

包絡線が何かを知っているヒト向けの解答は次の通り。

 

【別解】

の両辺をtで偏微分すると、

①に代入し、tを消去すると

(解答終)

 

 


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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される6 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される6

 

問題 x>0のとき、について次の問に答えよ。

(1) とおき、ptの式で表わせ。

(2) (1)の結果を用いて、pの最小値を求めよ。

【解】

(1) 分母分子をで割ると

  

 

hanbetsu-kero-graph-001.png(2) x>0のとき、相加平均≧相乗平均より

  

そこで、

  

とおくと、p(t)は(単調)増加関数。

したがって、

  

したがって、x=1のときpは最小で、最小値は11/2

(解答終)

 

この問題では問われていないけれど、上の問題の結果を用いると、

  

としたとき、この関数は点(0,4)に関して対称なので、この対称性を使うと、x<0におけるf(x)の最大値をf(−1)=5/2と求めることも可能である。

 

ではあるが、

上の問題のような誘導がないとき、

  

の最小値を簡単に求めることはできるのであろうか。

もちろん、微分法を使えば、簡単に最小値を求めることができる。

微分を使わずに、この最小値を求める方法を少し考えてみた。

  

になる。

ここで、一瞬、ネムネコの手が止まる。

 ――実際、紙と鉛筆は、一切、使っていない。すべて、ネムネコの頭の中での話で、文学的修辞!!――

しかし、その場の思いつきが身上のネムネコ、

  

とし、この逆数を

  

とすれば出来るんじゃねぇ、と閃く。

  

したがって、

  

ということで、

  

 

つまり、親切な誘導がなくても、微分法を使わないでも、

すこし工夫すると、

この問題の最小値は簡単に求められてしまうんだよね。

ちょっと、スゴイと思わない?

 

ここで問題!!

 

hanbetsu-kero-002.png宿題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。

  

 

とおくと、

  

として、2次方程式の判別式を使って解くの、好きでしょっ(^^)

 

 

言っておくけれど、相加平均≧相乗平均とg(x)の対称性を利用して解くのは、今回はアウト!!

だって、実質、オレが既に解いてしまっているもの。

 

微分を使ってもいいけれど、それじゃ〜、ただの計算問題になってつまらないでしょう。

最大値、最小値の定義から迫るもよし、2次方程式の判別式を利用して解こうがよしとするにゃ。

 




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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される5 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される5

 

問題 x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

  

がとりうる値の範囲を求めよ。

【解答(?)】

0を除く全ての実数の集合をA(関数fの定義域)、関数fによるAの像(fの値域)

  inu-006.png

とする。

ここでRは実数全体の集合である。

f(x)=k(実数)∈Bとすると、

  

を満たすx∈Aが存在しなければならない。

  

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

  

でなければならない。

b≦0のとき

  inu-001.png

よって、f(x)がとりうる値の範囲は全ての実数。

b>0のとき、(2次不等式)②の解は

  inu-002.png

したがって、

  

(解答終)

 

2次方程式の判別式を使うならば、少なくとも、これくらいきちんと書いてもらわないと、点数はあげられない。

 

だとしても、この解答、答は間違っている!!

 

何故ならば、b=0のとき

  

で、この関数はaの値をとりえないからだ。

もし、f(x)=aという値をとるとすると、

  

となる!!

b=0のとき、f(x)=aとなるxを定義域Bにもっていないんだね〜。だから、aは関数f(x)がとりうる値とされている全ての実数から除去しないといけないのだ。

 

ということで、

b<0b=0b>0の場合に分け、

 b<0のとき、f(x)は実数すべての値

 b=0のとき、f(x)<aまたはf(x)>a

 b>0のとき、f(x)≦a−2√bまたはf(x)≧a+2√b

となる。

 

ところで、上の解答(?)で、下線を引き、「xは実数だから」とした。

これは、xに関する2次方程式

  

が実数解をもつ、つまり、

  

が空集合でないための条件。

しかし、この問題で求める条件(?)は

  inu-003.png

  inu-004.png

が空集合でないための条件であり、そして、この問題の場合、D⊂Cであるが、D=Cではない。

 

現に、b=0のとき、Cx=0が紛れ込んでいるではないか。

そして、これが原因で上の解答(?)は誤答になっている!!

 

  

の2つの式は同値じゃない。

これは、

  

としないといけない。

しかも、上の解答(?)を作ったヒトは、CDが同じと錯覚している。

そして、ほとんど全てのヒトがこの間違いに気づかない。高校の数学教師の多くも・・・(^^

気づいてたら、「ここは間違っている」という指摘が高校の数学教師などからなされ、出版社(某大手教科書メーカー)は解答を訂正しているだろうから。

教科書や問題集の信用に関わり、その高校で教科書や問題集が採用されなくなるかもしれない。

これは教科書メーカーにとって死活に関わる由々しき事態だにゃ(^^)

 

こういうことが起こることがあるから、

2次方程式の判別式を用いた実数解の条件と問題で求めるべき条件が本当に一致するかの吟味が必要で、そのことを示す、少なくとも確認する必要がある。

こうしたことをよく踏まえた上で2次方程式の判別式を使って解答するのならばいいけれど、実際はそうではないだろう。

受験参考書などに判別式を使って解く解法が示されているので、「このタイプの問題はこうして解くものだ」と鵜呑みにし、その解法を覚えこんで解いているに過ぎないのではないのか。

 

その点、グラフを用いた解答(?)は強い。自分が何を求めているのかが明確になる。

sugonya-nemuneko-graph-000.pngなんたって視覚に直接訴える、即物的な解き方だから。

  

と変形し、お絵かきをすると、正しい答えまで導いてくれる。

b=0のとき、

  

右図の白丸◯の点(0,a)は除く。

b>0x>0のとき、

  inu-005.png

さらに、

  

とおけば、

  

g(x)は、奇関数であり、原点対称だ。

したがって、

  

等号が成立するのはx=−√b

よって、

  

ゆえに、

  

なんて、すぐに見当がつく。

b<0のとき、f(x)が実数すべての値をとることはグラフから明らか。

 

このことをまとめた上で、右のグラフを示せば、申し分のない解答になるのではないか(^^

 ――「このように図、グラフを頼りにする解法は、厳密でないから、けしからん」と批判するヒトがいるかもしれない。しかし、ネムネコが採点者ならば、満点を付けた上に、大きな花丸まで付けてあげる(^^)――

 

こういう解答がいいと言っているのではない。

2次方程式の判別式を使ってこの手の問題を解くときには、「自分がいま求めているものは何なのか」という明確な自覚をもったうえで、細心の注意をはらうことが必要だと言いたいのだ。

そうでないと、時に、こういう落とし穴にハマってしまうということがあるのだ。

 

大学受験や高校の定期試験のときは時間的制約があるのでこういうことはできないだろうけれど、家で勉強するときは、たとえば、a=1b=1a=2b=1、・・・という具体的な値を入れて、

  

フリーハンドでいいから、実際に、この曲線のグラフをいくつかかいてみることは重要だと思う。

そして、自分の頭で答の予想をし、できるところまで解いてみる。

 

 

すくなくとも、方針が立たないから、解法事典のように、すぐに参考書を見るということだけは絶対に止めたほうがいい、と思う。

こんなことをいつまでも繰り返していたら、参考書の(解法の)の奴隷になり、やがて、参考書(の解法)に忠実なイヌに成り下がってしまう。

 

 

なお、微分法を使った解答は、おそらく、ddt³さんが送ってくれると思うにゃ。

 

 


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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される4 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される4

 

問題 x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

  

がとりうる値の範囲を求めよ。

y=(x^2+ax+b)÷x.png【解答(?)】

f(x)=k(実数)とおくと、

  

よって、

  

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

  

でなければならない。

b≦0のとき

  

よって、f(x)がとりうる値の範囲は全ての実数。

b>0のとき、②より

  

したがって、

  

(解答終)

 

教科書や大学生向けの数学の教科書を出版する、有名な某出版社の解答――4行しかない解答なので、ネムネコが内容を追加しある――である。

 

正しければ何とも鮮やかなものだ(^^)

 

さて、ここで問う。

この解答、ならびに、答は正しいか。

 

「ネムネコが、わざわざ、こう問うくらいだから、この解答、答は間違っているに違いない。よしんば、間違っていないとしても、解答に不備、言葉足らずの箇所があるに違いない。」

 

こう勘ぐるヒトもいるかもしれない。


しかし、ネムネコは


ウサ!!
ただこの解答に難癖をつけ、引っ掻き回したいだけかもしれないウサ



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ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される3 [高校の微分積分]

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される3

 

お前ら、次の問題を解くにゃ。

 

y=(x^2+ax+b)÷x.png問題 x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

  

がとりうる値の範囲を求めよ。

 

見るからに

 

  

とすると、

  

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

  

b<0のとき

  

だから・・・。

b0のとき

  ・・・

と解いて欲しい問題のようですが(^^)

 

これだけヒントを出してやったのだから、最後まで解けよな。

そして、きちんと答案を書いて、その答案をコメント欄に書いて送信するように。

 

なお、この記事のタイトルに注意するように。

ネムネコは、判別式を用いた解答は超〜厳しく採点するので、くれぐれもこの点をお忘れなく(^^)



判別式を使った解答を見ると、眼の色、目付きが変わるにゃ。


鬼になるので、注意するにゃ。


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「ネムネコ式採点法 2次方程式の判別式を使うと減点される」の問題の解答例 [高校の微分積分]

「ネムネコ式採点法 2次方程式の判別式を使うと減点される」で、

方程式

  

が、正の解xを持つための(必要十分)条件を求めよ

という問題を出したのだけれど、この問題、解けたケロか?

 

ネムネコが宿題を出しても誰も解かないというのが、このブログの訪問者の流儀だから、答を教えてやるにゃ。

 

【微分を使わない解答】

x>0のとき、

  

また、

x>0のとき、

  

よって、

方程式①(②)が正の解xを持つためには、y

  

でなければならない。

 

shuku-graph-xxx.png

 

(解答終)

 

【微分を使う解答】

x>0のとき、

  

ここで、

  

とし、③をxで微分すると、

  

したがって、f(x)の増減表は次のようになる。

 

x

0

・・・

・・・

f'(x)

 

0

 

f(x)

+∞

減少

極小

増加

+∞

 

よって、方程式②(①)が解x>0を持つためには、

  

でなければならない(必要条件)。

また、

y=f(x)=x+1/x³(x>0)0<x<∞で連続、かつ、

  

だから、中間値の定理より、

  

である任意のyに対して、

  

を満たすx>0が存在する。(十分性の証明?)

方程式①と方程式②は同値だから、

  

が、求める必要十分条件である。

(解答終)

 




「曲線のグラフは(説明にはなるが)証明にならない」と言ううるさい奴もいるけれど、うるさいことを言い出したからキリがない。果ては「ε-δ論法を使ってf(x)=x+1/x²(x>0)が連続であることを示さない限り、オレは解答として認められない」なんて話にもなりかねない。

高校レベルならば、a>0のとき、

  

で連続性の証明になるのだろうけれど、ねこ騙し数学では、こんなのは証明として認めないケロ。

ということで、

お前ら、

  

が、x∈R−{0}で連続であることを、ε-δ論法を使って、直接、証明するにゃ。

大学1年の微分積分(解析)の前期の試験でこれを出題したら、きっと、悲鳴が上がると思うにゃ(^^)

討ち死者が続出する。

 



阿鼻叫喚地獄が現出することは疑いの余地がない!!



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x→0+0のときxlogx→0の証明例 [高校の微分積分]

y=xlogx-graph.png問題 次のことを示せ。

【解】

(1) とすると、

  

よって、x>0のときf''(x)>0だから、f'(x)x>0で単調増加。

したがって、

  

よって、f(x)x>0で単調増加。

  

 

(2) x>0のとき

  

だから

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

 

(3)

とおくと、

  

また、だから、x→0+0のとき、t→∞

よって、

  

(解答終)



 ひれ伏せ愚民
 君との違いを
 わかるくらい
 見せてやるぜ!!

chigai!!.png

嫌だな〜、これはこの歌の歌詞だケロよ(^^)

 

【(1)の別解】

x>0のとき、0<t<xとすると、だから、

   

(別解終)

 

同様に積分を繰り返していけば、x>0のとき、

  

したがって、

  

任意の正の整数mに対して、n=m+1にとれば、

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

となる。

 


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この問題を解くにゃ!!(8月2日)の解答例 [高校の微分積分]

問題 aがいろいろな実数値を取るとき、xの方程式

  

の実数解の数はどのようになるか。

en-choku-graph-002.png【解】

は中心(2,0)、半径1の上半分の半円。

そこで、直線y=2–axとこの半円との共有点を調べる。

直線y=2–axが半円と接するとき、円の中心(2,0)と直線との距離は半径1に等しいので、点と直線の距離の公式より

  

両辺を2乗すると、

  

右の図より、

 a<3/4のとき、共有点(解)なし

 a=3/4のとき、共有点(解)1

 3/4<a≦1のとき、共有点(解)2

 1<aのとき、共有点(解)1

(解答終)

 

 


お前ら、この問題を解くにゃ!!(8月2日) [高校の微分積分]

お前ら、この問題を解くにゃ!!

 


問題 aがいろいろな実数値を取るとき、xの方程式

  

の実数解の数はどのようになるか。

 

根号内≧0から

  

x=0のとき、①は0=2となるので、x=0は解として不適。

  

として、

  

よって、

  

  

との共有点を調べると・・・

 

このように解きたいのならば、

  

と置けば、②式は

  

となるので、・・・

 

とした方が解答は楽だけれど、この問題はもっと簡単に、微分なんて野暮なものを持ちださなくても簡単に解けるにゃ。




ヒント!!


en-sen-graph-001.png



1日、1回、この曲を聞かないと、ブログの記事に埋め込まないと、調子が悪くなるにゃ。


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