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x→0+0のときxlogx→0の証明例 [高校の微分積分]

y=xlogx-graph.png問題 次のことを示せ。

【解】

(1) とすると、

  

よって、x>0のときf''(x)>0だから、f'(x)x>0で単調増加。

したがって、

  

よって、f(x)x>0で単調増加。

  

 

(2) x>0のとき

  

だから

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

 

(3)

とおくと、

  

また、だから、x→0+0のとき、t→∞

よって、

  

(解答終)



 ひれ伏せ愚民
 君との違いを
 わかるくらい
 見せてやるぜ!!

chigai!!.png

嫌だな〜、これはこの歌の歌詞だケロよ(^^)

 

【(1)の別解】

x>0のとき、0<t<xとすると、だから、

   

(別解終)

 

同様に積分を繰り返していけば、x>0のとき、

  

したがって、

  

任意の正の整数mに対して、n=m+1にとれば、

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

となる。

 


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この問題を解くにゃ!!(8月2日)の解答例 [高校の微分積分]

問題 aがいろいろな実数値を取るとき、xの方程式

  

の実数解の数はどのようになるか。

en-choku-graph-002.png【解】

は中心(2,0)、半径1の上半分の半円。

そこで、直線y=2–axとこの半円との共有点を調べる。

直線y=2–axが半円と接するとき、円の中心(2,0)と直線との距離は半径1に等しいので、点と直線の距離の公式より

  

両辺を2乗すると、

  

右の図より、

 a<3/4のとき、共有点(解)なし

 a=3/4のとき、共有点(解)1

 3/4<a≦1のとき、共有点(解)2

 1<aのとき、共有点(解)1

(解答終)

 

 


お前ら、この問題を解くにゃ!!(8月2日) [高校の微分積分]

お前ら、この問題を解くにゃ!!

 


問題 aがいろいろな実数値を取るとき、xの方程式

  

の実数解の数はどのようになるか。

 

根号内≧0から

  

x=0のとき、①は0=2となるので、x=0は解として不適。

  

として、

  

よって、

  

  

との共有点を調べると・・・

 

このように解きたいのならば、

  

と置けば、②式は

  

となるので、・・・

 

とした方が解答は楽だけれど、この問題はもっと簡単に、微分なんて野暮なものを持ちださなくても簡単に解けるにゃ。




ヒント!!


en-sen-graph-001.png



1日、1回、この曲を聞かないと、ブログの記事に埋め込まないと、調子が悪くなるにゃ。


ちょっとお尋ねしますが、これは成り立ちますか? (2月18日ver.) [高校の微分積分]

ちょっとお尋ねしますが、これ↓は成り立ちますか?


問題 abを実数、b>aとする。

関数f(x)[a,b]で微分可能な関数であるとき――実数全域で微分可能でもよい――、

  

は成り立つか。

成り立つならば証明を、成り立たないならば反例をあげよ。





部分分数への分解の問題の解答 [高校の微分積分]

部分分数への分解の問題の解答

問題 次の分数を部分分数に直せ。

  

【解】

  

と分解できたとする。

②にx+2をかけると

  

x=−2を代入すると

  

②にx−3をかけると

  

x=3を代入すると

  

②にをかけると

  

だから、x=0を代入すると

  


しかし、

②にxをかけると

  

だから、x=0を代入してaを求めることは出来ない。

工夫が必要!!


  

をかけた③式

  
の両辺をxで微分すると、

  

これにx=0を代入すると

  


これですべての係数が求まった。


答えは

  

(解答終了)

この手法は複素関数の留数を求めるときに用いる手法なのだけれど、部分分数への分解にも利用できる便利な方法なので、知っておくと何かと便利ですよ。



部分分数への分解の便利な(?)方法 [高校の微分積分]

部分分数への分解の便利な方法


つかぬことをお伺いしますが、

  

を部分分数に分解するとき、皆さんは、どのような方法を使ていますか?

「こんな初歩的なことを聞くとは、ネムネコ、相当数学の記事のネタに困っているようだ。そうでなければ、焼きが入ったか?。これはこうやって解くもんだ。

  

分子を展開し、多項式の係数を比較すれば出てくる。」

「なるほどなるほど、正攻法ですね。しかし、ネムネコは計算が苦手だから、間違った答えにたどり着く確信があります。

そこで、たとえば、こう計算したらどうでしょう。

  

こういう方法は駄目ですか?」

「たしかに、こう計算すれば、連立方程式を解かなくていい。しかし、技巧的で一般性のない解法だ。こんな解法は認められない!!」


「じゃぁ、こうしたら。

  

ですから、両辺にx−1をかけると

  

x=1を代入すると、

  

同様に、①式にx−2をかけと

  

これにx=2を代入すると、

  

同様に、①式にx−3をかけると

  

x=3を代入すると

  

つまり、

  

のとき、

  

として計算できる。

ただし、

  

これならば一般性のある解法で問題はないと思いますが、駄目ですか?」


「ネムネコ、お前、この解法を知っていて、質問したろ!!」


「濡れ衣です。私はこのような解き方を他人(ひと)から教えてもらったこともありませんし、数学の本で読んだ記憶もありません。少なくとも、私の持っている数学の本にこのような求め方は書かれておりません。」






さてさて、この架空の対話の真偽は別にして、この話を踏まえて質問するにゃ。


問題 次の分数を部分分数に直せ。

  




平均値の定理の問題の続き [高校の微分積分]

平均値の定理の問題の続き


問題 f級の関数とする。

f’’(x)≠0ならば

  

とするとき

  

であることを証明せよ。

この問題を解く前に、


拡張された平均値の定理

f(x)が閉区間[a,b]級で、開区間(a,b)で2回微分可能であるとき

  

となるcが少なくともひとつ存在する

【証明】

  

となるようにkを定める。

  

とおく。

F(x)は、F(a)=F(b)=f(b)で、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能だから、ロールの定理より

  

となるcが存在する。

  

だから、

  

したがって、

  

となるcが少なくともひとつ存在する。

(証明終)


ちなみに、

  


b−a=hとおき、

  

とおくと、0<θ<1となるので、(2)式は

  


これで問題を解く準備が整った。


問題 f級の関数とする。

f’’(x)≠0ならば

  

とするとき

  

であることを証明せよ。

【証明】

f'(x)に平均値の定理を用いると

  

ここで、k=θhとおくと

  

これを平均値の定理

  

に代入すると、

  

また、

  

f’’(x)≠0f'は連続だから、hを十分小さくとれば、

  

と②より
  

f(x)級、つまり、f’’(x)は連続だから

  

(証明終)


平均値の定理の問題 [高校の微分積分]

平均値の定理の問題


heikinchi-graph-01.png平均値の定理Ⅰ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

  

となる点cが少なくとも1つ存在する。

平均値の定理Ⅱ

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば

  

となるθが少なくともⅠつ存在する。

b−a=hと置けば、平均値の定理は

  

である。

 


問題1 f(x)=√xa=1b=9のとき、平均値の定理

  

が成立するcの値を求めよ。

【解】

  

a=1b=9だから

  

(解答終了)


この問題の場合、

  

で、点cは点a、点bの中点になっている。

 


問題2 のとき、平均値の定理

  

になるθを求めよ。

【解】

  

したがって、
  

(解答終了)



θ=1/2だから、問題2も点aと点a+hの中点になっている。

θ=1/2という数字には何か秘密がありそうな・・・。


問題3 f(x)=x³のとき、等式

  

となるθについて、を求めよ。

【解】

  

だから、

  

両辺のh→0の極限を取ると

  

左辺の極限

  

となるから、

  

(解答終了)

ここでも、θ=1/2という数字が出てきた。



問題4 f(x)は連続な第2次導関数f''(x)を持つ関数で、とする。

平均値の定理によれば

  

となるθが存在するが、このθhに関係なく一定であれば、θ=1/2でなければならないことを証明せよ。

【解】

  

の両辺をhで微分すると、θhに関係なく一定だから、

  

両辺をhh≠0)で割り、h→0の極限を取ると
  

(解答終了)


これは、もはや、偶然とは呼べないだろう。


実は、

関数f(x)級数で、f''(x)=0ならば、

  

とするとき、

  

と必ずなるのであった。



【お前らに質問!!】 f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か?の解答(怪答?) [高校の微分積分]

【お前らに質問!!】 f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か?の解答(怪答)

【反例】

  

とする。


hanrei-graph-01.png


この関数f(x)の導関数f’(x)

  

となり、f'(x)は奇関数。


hanrei-graph-02.png


 


オレは、f'(x)が連続であるとも、f(x)が実数全域で微分可能だとも言っていないケロよ。ただ、f(x)の導関数f'(x)が奇関数だ、y=f'(x)のグラフが原点対称だと言っただけだからね。


「この質問は引っ掛けだ。卑怯だ!!」


反論、ごもっとも。

しかし、関数のグラフが繋がっていること、関数が連続であることの大切さがわかったんじゃない(^^)


そして、
今日ほど、この曲がふさわしい日はないのではないだろうか♪



【お前らに質問!!】 f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か? [高校の微分積分]

ちょっとお前らに聞くが、
f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数か?


例えば、

  

ならば、

  

となる。

これはf(−x)=f(x)が成立するから、f(x)は偶関数。


また、

  

のとき、

  

だから、このときもf(−x)=f(x)が成立する。

次の命題は正しそうな臭いがいがプンプンする。


命題

f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数である

 


さて、この命題は正しいか。


正しければ証明を、正しくなければ反例をあげよ。


ちなみに奇関数とは

  

が成立する関数。

偶関数は

  

奇関数の代表的な例としてf(x)=x、偶関数の代表例はf(x)=x²がある。


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