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ベクトルの内積を使って平行四辺形の面積を求める [ベクトル]

ベクトルの内積を使って平行四辺形の面積を求める

 

同一平面上に原点O、点A、点Bがあり、点Aの座標を(a₁,a₂)、点Bの座標を(b₁,b₂)とする。

ABCの面積は、∠AOB=θとすると、

  

であり、下図の平行四辺形OACBの面積S

  

である。

heikou-menseki.png

Aの位置ベクトル、点Bの位置ベクトルをとすると、

  

である。

三角関数には、sin²θ+cos²θ=1という関係があるので、(2)式の両辺を2乗すると、

  

である。

  

だから、(3)式の根号の中は

  

したがって、(3)式は

  

となる。

  

だから、2×2の行列

  

の行列式(5)は、幾何学的には、が作る平行四辺形の符号付き面積と考えることができる。

 

そして、ベクトルとベクトルの外積は

  

であり、(5)は外積a×bの基本ベクトルk=(0,0,1)の成分になっているのであった。

 

 

問題 次の問に答えよ。

(1) A(2,1)B(1,2)とし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

(2) A(5,2)B(4,3)C(3,1)とする。△ABCの面積を求めよ。

 



問題の(2)が出来ないとしたら、「ベクトルや図形の平行移動をまった理解していない」と言われてもしょうがない!!


チルミルが足りていないから、チルミルを飲むべきだと思うにゃ。


わからないヒトは、グラフ用紙に△OABと△ABCの絵をかくにゃ!!
と言っても、お前らは絶対に書かないので・・・。

sankaku-oekaki.png


ベクトル 直線の方程式2の続き [ベクトル]

ベクトル 直線の方程式2の続き


問題1 直線lの方程式をax+by+c=0とする。

(1) lはベクトルと平行であることを示せ。

(2) P(x,y)Q(x,y)からlにおろした垂線の足をそれぞれRSとするとき、RSの長さを求めよ。

vec-line2-04.png

【解】

(1) 直線lと垂直。

  

よって、と直線lは平行である。


(2) QからPRに垂線をおろし、垂線の足をHとし、QPQHのなす角度をθとする。

  

また

  

よって、

  

(解答終わり)

 


問題2 △ABCと点Oがある。

  

とするとき、次の問いに答えよ。

(1) AからBCに引いた垂線上の点をPとし、とすると、

  

となることを証明せよ。

(2) 上の(1)を使って、△ABCの3垂線が1点で交わることを証明せよ。

【解】

(1) AP⊥BCだから
  


(2) AからBCにおろした垂線とBからCAにおろした垂線の交点をPとする。

vec-line2-05.png

(1)より

  

①と②の辺々を足すと

  

よって、CP⊥ABとなり、△ABCの3垂線は1点で交わる。

(解答終わり)


問題3 △ABCにおいて、辺の長さをBC=aCA=bAB=cとする。

(1) △ABCの平面上の点Pが∠BACの2等分線(延長線も含む)の上にある条件は

  

であることを示せ。

(2) 3頂点の座標がA(1,3)B(−2,0)C(5,-1)のとき、∠BAC、∠ABCの2等分線の方程式を求めよ。また、△ABCの内心を求めよ。

【解】

(1) ∠BAP=∠CAPだから

  


(2) ∠BACの2等分線上の点Pの座標を(x,y)とする。

vec-line2-07.png

  

よって、

  vec-line2-siki01.png


ABCの2等分線上の点Pの座標を(x,y)とすると、(1)より

  

である。

  

よって、

  

内心はx=1x−3y+2=0の交点だから、内心は(1,1)である。

(解答終わり)

内心Pを求めるだけならば、

  vec-line02-siki02.png

という公式があるので、これを使ってもよい。

【公式の略証】

与式の両辺をを引く。

  vec-line2-siki03.png

よって、点Pは、Aと辺ACAB:ACに内分する点とを結ぶ直線、つまり、∠Aの2等分線上に存在する。

同様に、点Pは∠Bの2等分線上にあるので、点Pは△ABCの内心である。

(略称終わり)



ベクトル 直線の方程式2(平面の場合) [ベクトル]

ベクトル 直線の方程式2(平面の場合)


平面上に、ベクトルに垂直で、位置ベクトルの点P₀を通る直線lがあるとする。

vec-l2-01.png

すると、平面上の点Pがこの直線l上にある条件は
  

であり、

  


とすると、

  

だから、点を通りに垂直な直線の方程式は

  

となる。

は定数なので、とおくと、上式は

  

となる。

さらに、とすると、次のようになる。

  

以上のことから、ax+by=cに垂直な直線である。



問題1 原点Oから直線lへひいた垂線OHx軸のなす角がαで、OHの長さがpのとき、lの方程式は

  

であることを示せ。

vec-line2-2.png

【解】

l上の動点をP(x,y)とする。

条件より

  

OH⊥HPだから

  

p≠0だから、両辺をpで割って

  

(解答終わり)

 


問題2 点P(x₀,y₀)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の足をHとするとき、推薦の長さPHを求めよ。

【解】

vec-line2-3.png

垂線PHは、ベクトルと平行。

  

垂線の足H(x,y)は直線l上の点なので

  

よって、

  

故に、

  

(解答終わり)

自然な次の別解を。


【別解】

PHは、ベクトルと平行だから、

  

となる実数tが存在する。

垂線の足Hをの座標を(x,y)とすると

  

この点は直線l:ax+by+c=0上に存在するので

  

よって、

  

(別解終わり)

そして、これで、直線l:ax+by+c=0と点P(x₀,y₀)の距離dの公式

  

を求め、証明したことになる。

 



ベクトル 直線の方程式(平面の場合) [ベクトル]

ベクトル 直線の方程式(平面の場合)


§1 直線の方程式


Aを通り、方向がである直線lがあるとする。

vec-line01-01.png

Pが直線l上にあるので、

  

となる実数tが存在する。

Aと点Pの位置ベクトルをそれぞれ

  

とすると、

  

より

  

となる。

ここで、tはすべての実数値をとる変数、媒介変数である。


次に、直線l上に2点ABがあり、その位置ベクトルをとする。

直線lに平行なので、

  

と考え、上式に代入すると

  


この結果をまとめると、次のようになる。

1. 点を通り、方向の直線の方程式

  


2。 2点を通る直線の方程式

  

s+t=1とすると、上の式は次のように書き換えることができる。

  



§2 問題


問題1 2点A(−2,3)B(2,−4)を通る直線上の任意の点の座標を、媒介変数tを使ってあらわせ。

【解】

  

さらに、直線上の任意の点Pの位置ベクトルを

  

とする。

  

したがって、

  

(解答終わり)

  

を使って計算してもいいけれど、上のように解いたほうが、計算は楽でしょう。



問題2 平面上に異なる3点ABCがある。stは、s≧0t≧0であるような実数値をとる変数で

  

とする。

(1) s+t=1のとき、Pの軌跡を求めよ。

(2) s+t=kkは正の定数)のとき、Pの軌跡を求めよ。

(3) s+t≦1のとき、Pの存在範囲を求めよ。

【解】

(1) s+t=1よりs=1−t

また、s≧0t≧0より、0≦t≦1

  vec-line01-eq01.png

t=0のときP=At=1のときP=B。また、点Pは線分AB上を動くので、点Pの軌跡は線分AB(両端を含む)である。


(2) l=skm=tkとおくと、l≧0m≧0

  

さらに、

  

とおくと、

  

(1)より、Pの軌跡は線分CDであり、よって、Pの軌跡は原点を中心にABk倍した線分CDである。

 
vec-line01-02.png


(3) s+t=kとおくと0≦k≦1

よって、点Pの存在範囲は、△OABの内部とその周である。

 
vec-line01-03.png


(解答終わり)


問題3 1直線上にない3点ABCがあって、とする。∠AOBの2等分線が直線ABと交わる点をPとするとき、次のことを示せ。

  

【解】

  

とする。

(1) Pは直線AB上にあるので

  

またPは∠AOBの2等分線上にあるので

  

よって
  vec-line01-eq02.png

内積を計算すると

  vec-line01-eq03.png

これを代入すると、

  vec-line01-eq04.png

AOB≠0だから、

よって

  

s+t=1と連立して解くと、
  vec-line01-eq05.png

(2)

  

よって、

  

である。

ベクトル 空間図形への応用 [ベクトル]

ベクトル 空間図形への応用


問題1 正四面体ABCDの辺ABBCCDDAの中点をそれぞれPQRSとするとき、次の問いに答えよ。

(1) AB⊥CDAC⊥BDAD⊥BC

(2) PR⊥ABPR⊥CD

【解】

  
とする。

正四面体だからAB=AC=AD

正四面体の1辺の長さをaとすると、

  

また、△ABC、△ABD、△ACDは正三角形だから、∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°

  

(1)

  

同様に、AC⊥BDAD⊥BC

(2) とする。

  vec-kuukau01-eq01.png

よって、

  

また、

  

よって、

  ve-kuukan01-eq02.png

問題2 立方体の3つの辺をOAOBOCとし、同一の平面上にない頂点をDとすると、ODは△ABCの平面に垂直であることを示せ。

【解】

立方体の1辺の長さをaとし、O(0,0,0)A(a,0,0)B(0,a,0)C(0,0,a)とする。さすれば、D(a,a,a)

  

そうすると、

  

よって、

  

だから、ODと△ABCの平面は垂直である。

(解答終わり)

座標を導入せず、次のように解いてもいい。


【別解】

  

立方体だから

  

また、

  

だから、

  

よって、OD⊥ABOD⊥AC

したがって、ODと△ABCの平面に垂直である。

(解答終わり)



問題3 空間の3点A(2,0,0)B(0,2,0)C(0,0,1)がある。

(1) △ABCの面積を求めよ。

(2) 原点Oから△ABCに垂線OHをひくとき、の向きの単位ベクトルを求めよ。

(3) △ABCの平面と△AOCのなす角の余弦を求めよ。

【解】

(1)
  vec-kuukan01-eq03.png

(2)
  
とする。

単位ベクトルだから

  

また、OH⊥CAOH⊥CBだから

  

よって、

  

x≧0y≧0z≧0だから、
  

 

(3) △ABCの平面の単位垂直ベクトルは、△AOCの単位垂直ベクトルをとすると

  

この2つの平面のなす角をθとすると

  



ベクトル 演習問題 [ベクトル]

ベクトル 演習問題


問題1 △ABCと△PQRの間に、次の関係がある。

  

ABCと△PQRの面積比を求めよ。

【解】
vec-ouyou-04-01.png

  

とする。

  

よって、点PAB2:1に内分する点。

同様に、QBCを、RCA2:1に内分する。

よって、

  


(解答終わり)


問題2 ベクトルがあって、の間に

  

の関係がある。

(1) の内積kを用いて表せ。

(2) 内積の最小値、およびそのときののなす角θ0≦θ≦180°)を求めよ。

【解】

vec-ouyou-04-02.png

(1) だから、

また、

  vec-exe-eq02.png


(2)

  

相加平均≧相乗平均より

  

よって、

  

したがって、内積の最小値は1/2

  

(解答終わり)

 


問題3 円Oに内接する△ABCがある。動点Pが円O上を動くとき、

  

を満たす点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円であることを示せ。

vec-ouyou-04-03.png

【解】

  

とする。

  

ABCの外接円の半径をRとすると、は△ABCの外接円の半径Rであり、点QDを中心とする半径R/2の円周上の点である。

また、

  

より、点Aと点Pが一致するとき、つまり、

  

のとき

  

で、点Qは辺BCの中点と一致し、したがって、点QBCの中点を通過する。

同様に、点Pが点Bに一致するときはCAの中点、点Cと一致するときはABの中点を通る。

以上のことより、点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円である。

(解答終わり)


ABCの重心をGとすると、

  

だから、

  

である。



ベクトル ベクトルの図形への応用2 [ベクトル]

ベクトル ベクトルの図形への応用2


問題1 決まった平行四辺形ABCDがある。任意の点Pに対して、

  

が一定であることを証明せよ。

【証明】
vec-ouyou2-01.png

  
とする。

四角形ABCDは平行四辺形だから

  

よって、

  

したがって、この値は、任意の点Pによらず、一定である。
(証明終わり)

この問題の結果を使うと、次の問題を簡単に解くことができる。


問題2 を満たすベクトルを位置ベクトルとする4点ABCDはどんな位置関係にあるか。

【解】

  

よって四角形ABCDは平行四辺形。

として問題1の結果に代入すると

  

よって、AB⊥AD

以上のことから、四角形ABCDは長方形。

(解答終わり)

そして、平行四辺形の面積を与える公式の証明。


問題3 平面上の2つのベクトルを隣り合った2辺とする平行四辺形の面積をSとするとき、

(1) であることを証明せよ。

(2) のとき、Sを求めよ。

vec-ouyou2-02.png

【解】

(1) 平行四辺形の面積Sは、∠AOB=θとすると

  

内積の定義から

  

よって

  


(2) (1)より

  

で、S≧0だから

  

(解答終わり)

問題2の(1)より

平面上の2つのベクトルを隣り合った2辺とする平行四辺形の面積をS

  

平面上の2つのベクトルを隣り合った2辺とする三角形の面積は

  



問題4 平面上で、3点A(1,1)B(2,3)C(4,−1)を頂点とする三角形の面積を求めよ。

【解】

  

(解答終わり)

 


ベクトル 図形への応用 [ベクトル]

ベクトル 図形への応用


本格的にベクトルの図形への応用をする前に、知識の確認。

  

1||ABCDが平行であることをあらわす記号。

さらに、

Cが直線AB上にある必要十分な条件はとなるkが存在することである。



問題1 △ABCの外心をOとし、

  

となるHをとるとき、次のことを証明せよ。

(1) Hは△ABCの垂心である。

(2) △ABCの外心、垂心、重心は1直線上にある。

【証明】

vec-ouyou01-01.png

(1) とする。

Oは△ABCの外心なので、

  

である。同様に、BH⊥CACH⊥AB
  vec-ouyou-eq-00.png
よって、Hは垂心である。

 

(2) 重心をGとすると

  

だから、

  

故に、OGHは1直線上にある。

(証明終わり)


オイラー線

三角形において、外心をO、重心をG、垂心をHとすると、OGHは一直線上にあり、

  

を証明したことになる。

 


問題2 △ABCと同じ平面上に点Oがあり、

  

であるとき、Oはどんなん点か

【解答】

とすると、条件は

  

よって、

  

よって、CO⊥AB

また、

  

よって、AO⊥BC

同様に、BO⊥CA

したがって、Oは垂心である。

(解答終わり)


問題 3点ABCの位置ベクトルが次の条件を満たしているとき、△ABCはどんな三角形か。

(1) 

(2) 

【解(?)】

重心をGとすると

  

のときとなり、重心Gと原点Oは一致する。


(1)のOA=OB=OC、つまり、Oと三角ABCの各頂点の距離は等しいので、Oは外心。外心Oと重心Gが一致するのだから、△ABCは正三角形。

(2)のは、問題2よりOが垂心であることを表しており、また垂心と重心が一致するのだから、△ABCは正三角形である。

(解答?終わり)

 

しかし、こんな解答をしたら、学校の先生から怒られる。学校の先生から怒られるだけならばまだしも、大学受験で点数をもらえないかもしれない。

【解】

(1) より  

  
よって、AB=AC

同様に、BC=BA

よって、△ABCは正三角形。

(2) 

で、
  

よって、AB=AC

同様に、BC=BA

よって、△ABCは正三角形。

(解答終わり)

これはあくまで解答の一例で、他にもいくつか解答は考えられる。

たとえば、次のように考えるだろう。

  

同様に

  

だからとなり、という条件が出てきて、(2)を(1)に書き換えることもできる。


(1)、(2)ともに、△ABCが正三角形であるための必要十分な条件なのだから、当たり前の話。


(1)はから

  

として、

  vec-ouyou-eq-03.png

同様に、∠COA=∠AOB=120°

また、条件よりOA=OB=OC

2辺挟角相等より△OAB≡△OBC≡△OCA

よって、AB=BC=CAで△ABCは正三角形。


平面図形と式 平面座標 [ベクトル]

平面図形と式 平面座標


平面座標を使って、重心、外心の問題を解くことにします。

その前に、平面座標の基本事項の復習。

1 2点間の距離

2点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)の距離AB

  


2 内分と外分

2点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに内分する点は

  

であり、中点は

  

2点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに外分する点は

  


3 重心

3点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)C(x₃,y₃)を頂点とする△ABCの重心の座標は

  


3の重心の座標の式⑤だけがあらたに出てきたので、これを導くことにする。


Heimen-zahyou-01.jpg

BCの中点をとすると、D

  

また重心の座標を

  

とすると、Gは中線AD2:1に内分するので、

  

となる。

では、問題を。


問題1 平面上に2点A(−2,1)B(3,2)がある。

(1) 線分AB2:3に内分する点、外分する点を求めよ。

(2) 点Bに関して、点Aと対称な点の座標を求めよ。

(3) 2定点AB等距離にある点をx軸上に求めよ。

【解】

(1) 内分する点C

  

2:3に外分する点D

  


ウォーミングアップを済ませたところで、本格的な問題を。


問題2 3点A(−5,5)B(−2,6)C(2,4)を頂点とする△ABCの重心Gと外心Dの座標を求めよ。

【解】
zahyou-03.png

重心Gの座標を(x,y)とすると

  

よって、重心は

  

外心Dの座標を(x,y)とする。

Dは外心なのでAD=BD=CD、よってAD²=BD²=CD²

  

これを解くと、x=−2y=1

よって、D=(−2,1)

(解答終わり)

座標を使うと、このようにして重心、外心を求めることができる。


問題3 3点A(4,1)B(6,−3)C(−3,0)が与えられている。

(1) ABCから等距離にある点Pの座標を求めよ。

(2) AQ²+BQ²が最小となるようなx軸上の点Qの座標を求めよ。

【解】

(1) 点Pの座標を(x,y)とする。

  

これを解くとx=1y=−3

よって、P(1,−3)


(2) Q(x,0)とする。

  

x=5のときAQ²+BQ²は最小となる。

よって、Q(5,0)

(解答終わり)

問題3の(1)の点Pは、△ABCの外心。

zahyou-04.png


ベクトル 内積の不等式への応用 [ベクトル]

ベクトル 内積の不等式への応用


成分で表される2つの平面ベクトルがあるとき、その内積は

  

になる。


空間ベクトルの場合、つまり、のとき、この内積は

  

になる。


では、問題。


問題1 ベクトルの内積を利用して、次の不等式を証明せよ。

  

【証明】

とし、この2つのベクトルのなす角度をθとする。

  

また

  

よって、

  

等号が成立するのはcos²=1、または、またはのとき。

cos²θ=1になるのはθ=0またはθ=180°のときで、これは

よって、等号成立は、またはまたはのときである。

(証明終わり)


また、

  

は一般に成り立つので、とすれば、次の不等式が得られる。

  


これを使って、次の問題を解くことにする。


問題2 xyzが負でない実数でx+2y+3y=1のとき

  

の最大値を求めよ。

【解】

  

等号が成立するのは、

  

よって、

  

(解答終わり)

こうした解法がいいかどうかは別にして、こういうふうに解くことができる。



次の問題は有名問題なので、やらないわけにはいかない。


問題3 零ベクトルでない2つのベクトルが与えられている。

が最小となるとき


(1) tの値を求めよ。

(2) が直交することを示せ。

【解】

(1) だから2乗しても大小関係は変わらない。だから、を2乗する。

  

よって、

  

の時に最小。


(2)

よって、が直交する。

(解答終わり)

とすると、点Pで表される点Aを通り、に平行な直線上の点。
は、原点Oと点Pとの距離。

だから、問題3の(1)で、原点Oと直線上の点との距離の最小値を求めていることになる。

原点Oからこの直線におろした垂線の足をHとすると、(2)では、直線と原点との距離が最小のとき、OHと直線が直交しているということを表している。


vec-futoushiki.png


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