So-net無料ブログ作成
検索選択
ひとこと言わねば ブログトップ
前の10件 | -

プチ論理 [ひとこと言わねば]

プチ論理


puti-logic-tab-01.png「pならばq」、すなわち、「p⇒q」は

  

で定義される。
だから、p⇒qの真理値表は右のようになる。

記号の説明をすると、⇒は「ならば」、¬は「でない」、∧は「かつ」、∨は「または」をあらわす。
なお、右の真理値表の¬qは、qの否定で、「qでない」である。英単語の「not」と同じと考えていいにゃ。
ついでに、∧は英単語の「and」、∨は英単語の「or」だと思えばいいにゃ。

 

命題「p⇒q」とその対偶「¬q⇒¬p」の真理値が一致すること、つまり、「p⇒q」と「¬q⇒¬p」が同値であることは、

  

や次の真理値表から確かめられる。


puti-logic-tab-02.png

 

puti-logc-tab-03.pngまた、「p⇒q」の否定は

  

である。

 

たとえば、

『「x>2」ならば「x²>4」』という命題の否定は、

『「x>2」かつ「x²≦4」』という命題であって、

『「x≦2」ならば「x²≦4」』という命題ではないので注意が必要!!

日常つかう言葉と論理で使う言葉はは違うので、くれぐれも、注意して欲しい。

この他に、量化記号∀、∃というものがある。
全称記号∀は(for)Anyや(for )Allの意味で、「任意のホニャララ」に対して、「すべてのホニャララ」に対しての意味。
存在記号∃は、英単語のExist、つまり、「存在する」の意味。
だから、∀はAnyまたはAllの頭文字をとったものでそれをひっくり返したもの、∃は「存在する」のExistの頭文字Eをひっくり返したもの(180°回転させたものか)。
これらの記号は英語からきているのであった。




ヒトの知性や感性の限界に挑む問題(笑) [ひとこと言わねば]

ヒトの知性や感性の限界に挑む問題(笑)


問 閉区間[0,1]0≦x≦1)で定義される次の関数fに関して、次の問に答えよ

  

(1) この関数のグラフをかけ。

(2) この関数は連続か。

【解答(?)】

(1) 関数fのグラフ(?)


chisei-kansei-01.png


(2) 0≦x≦1の全ての点で不連続。

0≦a≦1とする。

aが無理数のとき、aの近傍|x−aには、δ>0をどんなに小さくしても、その近傍に有理数xが存在する。

したがって、δをどんなに小さくしても

  

となるxが存在する。したがって、連続ではない。

aが有理数の時も同様。

(解答(?)終)

なになに、「上のグラフは、点(0,1)と点(1,1)を直線で結んだもののように見える」って。

それは目の錯覚というものだケロ(^^)

[0,1]に含まれる有理数の数は高々可算無限個。(有限個、または、自然数程度の無限の個数)

対して、[0,1]に含まれる無理数の個数は不可算無限個で比較にならないほど多い。

どれくらい多いかというと、有理数の個数をアレフ・ゼロとすると、これをアレフ・ゼロℵ₀回かけたものよりもさらに多い――実は、これもアレフ・ゼロℵ₀だケロ!!――

桁外れという言葉で形容することもできないほど無理数の個数は多い。

ということで、この関数は確かに不連続だけれど、不連続点は高々可算無限個だから、

この関数は、ほとんど至るところでalmost everywhere)、ほとんど全てのxalmost all x)でf(x)=1である
と言えるのかもしれない。
そして、
ほとんどすべてのxf(x)=1だから、この関数の積分は

  

なのかもしれない(^^)

記号、アレフ・ゼロ。
aleph-zero.png
アレフが出たので、当然、この曲を。





そして、ネムネコは、「てゐ」を決め込む。






クラシック入門 伊福部昭作曲 『土俗の乱声』 [ひとこと言わねば]

今日のクラシック入門は、伊福部昭作曲 『土俗の乱声』です。

伊福部と言えば、この曲、『ゴジラのテーマ』で有名ですが、



この作曲家はれっきとしたクラシック音楽の作曲家だケロ。
たとえ、怪獣音楽を多数作曲しようとも、伊福部がクラシックの作曲家であるという事実は変わらない。

そして、今回紹介する伊福部の『土俗の乱声』という曲は、同名の映画で使用された音楽。
芸術的な作品というよりも映画音楽という実用的な目的で作曲された曲なので、『ゴジラのテーマ』がそうであるように通俗的な曲なのだろうと思ってこの曲を聞き始めたのだけれど、どうしてどうして、音楽的にかなり充実した一曲。
伊福部の音楽は、メロディアスと言うよりも、リズム主体の曲が多いのだけれど、この曲は非常にメロディアスで聴きやすい上に、日本的な旋律などが多数使用されているので、クラシック、特にクラシックの現代音楽は苦手という人でも抵抗なく楽しめる一曲だと思う。
だから、
是非、聞いて欲しいにゃ。





nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

ネムネコに死亡フラッグが!! [ひとこと言わねば]

子供向けの科学の実験番組を見て、「ほ〜っ」と驚き、最速降下曲線の問題にちょっとチャレンジしてみた。

実際に自分で解いたことはないけれど、最速降下曲線が何であるか、この問題をどうやって解くかは知っている。

それはそれとして、
rakka.png手始めに、

  

という曲線にそって降下する時間を求めてみることにした。

かかる力は重力だけ。

落ち始める前のy座表をy₀、初速は0とする。
時刻tの速さをvy座標をyとすると、エネルギー保存則から

  

となる。

ここで、mは質量、vは速さ、そして、gは重力加速度g=9.80m/sec²)。

したがって、速さは

  

になる。

この曲線の弧の長さds

  

だから、点(π,2)から原点Oに落ちるのに要する時間T

  

となる。y₀=2だにゃ。

これを数値的に積分しようと思ったのだけれど、ここでハタと気づく。

x=πのとき、分母がゼロになってしまうんだケロ。
数学の大禁則、ゼロ割発生!!

ネムネコに、死亡フラッグが立つ!!
「困ったケロ」と、焦る(^^




そこは、閃き――その場の思い付きとハッタリ――のネムネコ。

閃く!!



上の式を少し整理すると

  

となるので、x=πsinθとおき、置換積分をすれば

  

となって、積分が可能。

そして、自作の数値積分用のスクリプト――Bloggerのアレだにゃ――でこの積分の近似値を求めたところ、

  T=1.046578091(秒)

となった。
積分の近似計算をする中点公式は、端点x=πの時の値を使わないので計算できるのだけれど、あそこにある台形公式はx=πの時の値を使うので、置換積分しないで計算すると、ゼロ割り禁則に引っかかってしまう。シンプソン法でも同様。


rakka2.png何で、y=2x²/π²という少し不思議な放物線を使ったかというと、これは最速降下曲線(サイクロイド)と落下に要する時間の比較をするため。

サイクロイドの場合は

  


直線の場合は、

  

この場合、積分なんて野暮なものを使う必要はない!!
高校の物理の初歩的な知識を使うだけでこの値を求めることができる。

最速降下曲線を求めるには、変分などの知識が必要になるので、これを記事にする気持ちは今のところないけれど、数値計算に絡めて、そのうちに、この話をすこししようかと企んでいるにゃ。


ネムネコ、意欲減退!! 正邪不足か!? [ひとこと言わねば]

ネムネコ、意欲減退!! 正邪不足か!?

最近、数学の記事を書く意欲が減退していて、なにも書きたくないんだケロ。
今日、アップロードした記事は、昨年の11月の下旬か12月の初旬頃に書いた記事で、記事のストックがなくなったときの場繋ぎ記事として用意したもの。
そして、ここ数日、数学の記事をまったく書いていない。
広義積分を書き終えて、次に何を書いたらいいか、このテーマが定まらずに彷徨(さまよ)っているんだケロ。

テーマが決まって、一旦、書き始めると、何かに取り憑かれたかのように短期間で集中的に書けるんだけどね。

3月には、なにか新しいテーマを決めて、心機一転して書こうと思っているんだけど、まったく決まっていないからね〜。困ったもんだケロ。

アマノジャク・正邪の



この精神を失っていると思うにゃ。
この曲を集中的に聞いて、ドーピングしないといけないんじゃないか、そんなことを思っている。


画像元:YouTube

この極悪さが、いま、ネムネコには欠けていると思う。
「ぬえせい戦争」の正邪に安住してはイケナイに違いない。




ネムネコ、狼狽(うろた)える(^^ゞ [ひとこと言わねば]

「積分区間の限界を積分の限界と書いてある場所があるんじゃないか」と気になり、過去に書いた数学の記事で検索をかけてみたにゃ。

そして、
ネムネコ、青ざめる!!

思ったよりたくさんあって、狼狽えたケロよ。
予想していたよりも多くあって、顔から血の気がすべて引いてしまったにゃ(^^ゞ
青ざめすぎて、ネムネコはカッパになってしまったケロ。





ネムネコの書く数学の記事は、どれもこれもすべて詐欺みたいなものだから、これもしょうがない話だにゃ(^^)




ネムネコ、地球をぶん投げる!! [ひとこと言わねば]

ネムネコ、地球をぶん投げる!!


思うところがあり、惑星の軌道計算をしてみた。

これがその計算結果。


earth0.png


この計算結果を見て、「ただの円じゃないか」と文句をつけるに違いない。

その確信があるにゃ。

しかしだね、これは次の連立微分方程式

  

を数値的に計算した計算結果。

ニュートンの万有引力と運動方程式をもとに、4次のルンゲ=クッタ法を用いて計算したものなんだケロよ。
舐めてもらっては困るにゃ。


計算の条件は、μ=1とし、初期条件として、(x,y)=(0,1)x方向の速度u=−1y方向の速度v=0としてシミュレーションしたもの。

この条件では、遠心力と重力が釣り合っているので、図のように綺麗な円を描く。

しかし、水平方向にu=−1.4にすると、楕円機動をえがく。


earth-01.png

そして、u=−1.5にすると、太陽系から脱出してしまう。2度と戻ってくることはない。

earth3.png


理論通りだにゃ。u²+v²>2を越すと、太陽の引力を振り切り太陽系を脱出できることまで正確に再現している。


この問題を解くだけための特化したプログラムで汎用性はないのだけれど、バタバタバタとプログラムを作り解かせてみたにゃ。


最初、「この程度の問題ならば、2次のルンゲ=クッタ法で十分解けるだろう」と考えて2次精度のルンゲ=クッタ法で最初のu=−1で計算してみたのだけれど、少しずつ運動エネルギーを失い、太陽へと徐々に落ちてゆくんだケロ(^^

これではいけないということで、これを4次精度のルンゲ=クッタ法に急遽変更。

earth-04.png

上の図は円に見えるかもしれないけれど、回転するたびに微妙に円軌道からずれていて、そのため、線が太くなっている。


計算に使用したプログラムを含めて、近日、公開するにゃ。

乞う、ご期待だにゃ。





参考までに、x=0,y=1の地点からu=−cos45°v=sin45°の速度で地球をぶん投げたときの軌道を以下に示す。


earth5.png

比較対象のために、円軌道もあわせて描かせている。

地球をぶん投げる速さで同じでも、投げ出す角度が水平――正確に言うと、半径に対して直角――じゃないと、このときは楕円軌道を描くんだケロよ。




nice!(1)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

ねこ騙し数学、訪問者減少局面に!! [ひとこと言わねば]

ねこ騙し数学、訪問者減少局面に!!

2月に入り、ねこ騙し数学の訪問者が少しずつ減少していっているんだケロよ。



上のグラフを見るとわかるように、1日あたりのページビューはそれほど変化していないけれど、訪問者数は少しずつ減少し、ここ一週間は1日あたりの訪問者数が平均で200ほどにまで減少している。
このことは、ランキングにも反映されていて、ブログテーマ学問のブログ順位は、1月の下旬の11位から13位にまで後退してしまった。
この衰退の原因は何なのであろうか。

このまま、ねこ騙し数学は衰退してゆくのだろうか・・・。
それとも、不死鳥のように蘇るのであろうか?





お前ら、この問題を解けるか? [ひとこと言わねば]

menseki-saidai-prob.png偶然、数学の本で見つけた問題なのだけれど、お前ら、この問題を解けるか?

問題 AB=2ACかつBC=30(cm)である。△ABCの面積の最大値を求めよ。

頭を抱えるような難しい問題じゃないと思うので、ちょっと挑戦してみない?
毎日、ねこ騙し数学の数学の記事を読んでいる人ならば、きっと、簡単に解ける程度の問題と思うにゃ。




「ねこ騙し数学」へのアクセスのパターンに変化が [ひとこと言わねば]

「ねこ騙し数学」へのアクセスのパターンに変化が!!

2月に入って、「ねこ騙し数学」への曜日別のアクセス状況に大きな変化が現れている。
昨年16年の曜日別の訪問者数、ページビューは

access-16-02.png

だったのだけれど、2月は下図の通り。



これまでは、水曜日にピークを迎え、土日に大きく落ち込み、水曜日に向けて増加するというパターンだったのだけれど、
最近は土曜に最低の状態を迎え、月曜にピークを迎えるというパターンへと変化している。
それだけではなく、従来見られた曜日別の訪問者数の大きな変動もなくなり、平均化している。
このことには薄々気づいていたのだけれど、曜日別の平均値をとり、これをグラフ化したものを見て、ここまで大きく変化していたのかと、少し驚いた。
サンプル数が少ないので、たまたま、こういう結果になっている可能性も否定できないけれど、この結果は、ネムネコの実感とも異なっておらず、おそらく正しいのだろう。

しかし、何故、2月に入ってこのような状況になったのか、この理由、原因はまったくの不明。
このSo-netブログのアクセス解析機能はBloggerのそれと比較しても貧弱だからね。
これらのグラフや統計的な処理はネムネコ自身が行わないといけないほどだから(^^)

有料版のブログにするとより高度なアクセス分析の機能が追加されるという話だけれど、元が元だけに、大したことは期待できない。
こんなことのために、毎月、280円という大金を払い続ける気にはなれないにゃ(^^)



300円以上のお賽銭さえもらえない状況では無理な話だにゃ。


前の10件 | - ひとこと言わねば ブログトップ