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三角関数の第17回の問題2の(3)を微分を使って解く [三角比と三角関数]

三角関数の第17回の問題2の(3)を微分を使って解くと・・・


問題

  

の解の個数は、aの値によってどう変わるか、求めよ。

第17回の問題2の(3)を、微分を使ってとこうという企画です。

  

とする。

この関数の最大、最小値やグラフの概形を書くために微分する。

  

で、極値を求めるためにf'(x)=0とする。

  

0≦x<2πcosx=0を解くと、cosx=0の解はx=π/23π/2

2sinx+1=0の解は

  

となる。

極値の判定は、f''(x)を求めて、f'(x)=0を満たすxに対して、f''(x)<0ならば極大、f''(x)>0ならば極小を用いてもいいけれど、この場合、計算が少し面倒なので、増減表を使って極値の判定をすることにするにゃ。




そして、

  
を前回と同じように

  

として、この2つの求める。

そうすると、次のような図が得られ、答えが求められる。

sankaku-17-05.jpg


第17回 問題演習ラスト [三角比と三角関数]

問題1

  

とする。

(1) x=sinθ+cosθとおき、yxの式であらわせ。

(2) 0<p<1のとき、yの最大値および最小値を求めよ。

【解】

(1)

  

x=sinθ+cosθ2乗する。

  

よって

  


(2) 合成公式から、

  

これで、xの定義域が定まった。

そして、(1)で求めたxの2次関数を基本変形する。

  

また、0<p<1であるので、この2次関数の頂点は

  

である。

このグラフの概形を書くと、x=−pのとき最小で、x=√2のときに最大になることが分かる。

sankaku-17-01.jpg

ということで、x=−pのとき最小でが最小値で、x=√2のとき最大で最大値はである。

(解答終わり)


xの範囲を求めるのに三角関数の合成公式を使っているけれど、シュワルツの不等式を使うと

  

と簡単に求まる。

ちなみに、シュワルツの不等式は

  

この他にもいくつか方法はあるにゃ。

 


問題2 関数

  

がある。

(1) sinx=tとおきyxであらわし、そのグラフを書け。

(2) yの最大値、最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。

(3) xについての方程式

  

の実数解の個数をaによって分類せよ。

【解】

(1)

  


sankaku-17-02.jpg

(2)yを基本変形する。

  

このことから、t=−1/2のとき最小で−5/4が最小値。t=sinx=−1/2なので、x=7π/611π/6である。

t=1のとき最大で、最大値は1。t=sinx=1なので、x=π/2


(3)
  


  

は同値なので、(1)の結果を用いて、上の交点の数を調べる。
このままでは調べられないので、

  

との交点を調べる。


sankaku-17-03.jpg

そうすると、

  a=−5/4のとき、t=−1/2で1個。

  −5/4<a≦1のとき、2個。

  1<a≦1のとき1個。

これでオシマイじゃじゃ〜ない。


  

をグラフにすると、次のようになる。
sankaku-17-04.jpg
つまり、t=sinxを満たすxは、t=±1のときは1個。−1<t<1のとき2個ある。

ということで、解の個数は、

  a=−5/4のとき、2個

  −5/4<a<−1のとき、4個

  a=−1のとき、3個

  −1<a<1のとき、2個

  a=1のとき、1個

これが(2)の答えとなる。


微分を使えば、次のような図を書けるけれどね〜。

sankaku-17-05.jpg

このグラフを見れば、このことがわかると思う。

ちなみに、点線で示してあるx=2πのところは定義域外なので注意して欲しい。

もしこれを、三角関数の微分を知らない文系さん用の入試問題に出したのであれば、落とすことを目的にした大学入試の問題とは言え、(2)は「数学嫌い」や「数学アレルギー」を作るだけで、いただけない。


第16回 問題演習4 [三角比と三角関数]

第16回 問題演習4


問題1 

ABCにおいて、∠A=60°AB=3DC=10とする。BC2:3に内分する点DADの延長が△ABCの外接円と交わる点をEとするとき、次の長さを求めよ。

(1) AE (2)CE

【解】

mondai-08-01.jpg

薄い藤色の2つの△ABDと△CEDは相似。

何故ならば、円周角の定理より

  ∠EAB=∠ECB

  ∠ABC=∠AEC

となり、

  △ABD∽△CED


ADは余弦定理より

  sankaku-16-01.png
ABD∽CEDなので
  sankaku-16-04.png

よって、

  


(2)

  

(解答、終わり)

①より、円に内接する四角形に関して、

  

という関係が成立することがわかる。

この問題にはないけれど、 ACは余弦定理を使って

  

そして、正弦定理より、△ABCの外接円の半径R

  



問題2 円に内接する四角形において、AB=aBC=bCD=cDA=dであるとき、cosBの値を求めよ。


sankaku-16-02.png

【解】
四角形ABCDは円に内接するので、∠Bと∠Dの和は180°である。よって、

  

になる。

よって、

  


§ 転換法


三角関数の次に、ねこ騙し数学で取り上げる初等幾何との関係もあり、転換法と呼ばれる証明法について少し説明することにする。


転換法

一連の真である命題p₁⇒q₁p₂⇒q₂p₃⇒q₃、…があって

  【1】 p₁p₂p₃、…は、すべての場合を尽くしている

  【2】 q₁q₂q₃、…は、どの2つも両立することがない

このとき、q₁⇒p₁q₂⇒p₂q₃⇒p₃、…は、すべて真である。


もっとも簡単なp₁⇒q₁p₂⇒q₂の場合を証明する。

【証明】

p₁⇒q₁p₂⇒q₂で、かつ、【Ⅰ】、【Ⅱ】を満たしているとする命題があるとする。

いま、仮に、q₁であってp₁のものがある、つまり、q₁かつp₂のものがあるとする。

p₂⇒q₂は真なので、q₁かつq₂である。

しかし、q₁q₂は両立しないから矛盾。

よって、q₁⇒p₁である。

同様に、q₂⇒p₂である。

(証明終わり)


これでは何を書いているかわからないと思うので、2次方程式の解の判別を例にとって説明するにゃ。


例 次のような実係数(abcは実数)の2次方程式があるとする。
  

この解は

  

になる。

  

とすれば、2次方程式の解は次のように書ける。

  

そして、

  (1) D>0⇒相異なる2実根

  (2) D=0⇒唯一の実根、実数解(重根)

  (3) D<0⇒相異なる虚根

(1)〜(3)はすべて真。

さらに、

Dは実数だから、D>0D=0D<0のいずれかで、これ以外の値はとりえない。つまり、すべての場合を尽くしており、【1】を満たしている。(1)〜(3)の結論も互いに両立せず、【2】も満たしている。

故に、転換法によって、

(1)〜(3)の逆、

  (1’) 相異なる2実根⇒D>0

  (2’) 唯一の実根、実数解(重根)⇒D=0

  (3’) 相異なる虚根⇒D<0

が成立し、

  【Ⅰ】 D>0⇔相異なる2実根

  【Ⅱ】 D=0⇔唯一の実根、実数解(重根)

  【Ⅲ】 D<0⇔相異なる虚根

である。

こういうことです。


では、これを真似て次の問題を。


問題3

ABCにおいて、次のⅠ、Ⅱ、Ⅲが成り立つ。これらの逆も成り立つことを証明せよ。

  Ⅰ ∠Cが鋭角⇒a²+b²>c²

  Ⅱ ∠Cが直角⇒a²+b²=c²

  Ⅲ ∠Cが鈍角⇒a²+b²<c²

【証明】

ABCにおいて、余弦定理

  

が成り立つ。

Cは鋭角(C<90°)か、直角(C=90°)、鈍角(C>90°)のいずれかのひとつだけ。だから、この3つの場合ですべて尽くされている。

そして、C<90°ならば、cosC>0なので

  

C=90°のとき、cosC=0なので

  

C>90°のとき、cosC<0なので

  

よって、Ⅰ〜Ⅲは真。

そして、Ⅰ〜Ⅲにおいて、その仮定はすべてを尽くしており、その結論はどの2つも両立することがない。

よって、転換法によって、Ⅰ〜Ⅲの逆もすべて成立する。

(証明終わり)


上の議論から、

  Ⅰ ∠Cが鋭角⇔a²+b²>c²

  Ⅱ ∠Cが直角⇔a²+b²=c²

  Ⅲ ∠Cが鈍角⇔a²+b²<c²

であることがわかる。


問題4 3数、xx+1x+2が鈍角三角形の3辺の長さをあらわす数値であるための範囲を求めよ。

【解】

三角形の3辺には、三角不等式、他の2辺の長さの和>1辺の長さの和が成り立たなければならない。

よって、

  

また、この三角形は鈍角三角形なので、最大辺x+2と他の2辺xx+1において、次の関係が成り立たなければならない。

  sankaku-16-03.png

よって、1<x<3


第15回 問題演習3 [三角比と三角関数]

第15回 問題演習3

問題1 

三角形の3つの高さが6、4、3であるとき、

(1) 最小角の余弦を求めよ。

(2) 3辺の長さを求めよ。

【解】

muzui.jpg

(1) 三角形の面積をSとすると

   

よって、最小角は、余弦定理より

  


(2)

  


(1)の結果よりS=6k

よって

  

したがって、

  



問題2 

ABCの辺ABAC上にそれぞれ点PQをとり、線分PQをひいて△ABCの面積を2等分する。このような線分PQの長さの最小値を、辺ABの長さをc、辺ACの長さb、∠Aの大きさをαを用いてあらわせ。ただし、b/2≦c≦2bとする。

【解】

muzui02.jpg

x=APy=AQとする。

条件より、

  

余弦定理より

  

相加平均≧相乗平均より

  

①より、等号が成立するとき

  


だからと言って、こんなxyが存在するとは限らないにゃ。bcの値によって、xcより大きく、ybより大きくなったりするからだにゃ。

PAP上に存在しなければならないので、x≦c

  

同様に、y≦bなので

  

ここから、b/2≦c≦2bという条件が出てくるというわけ。


よって

  

したがって、

  

のとき、PQは最小で最小値は

  

(解、終わり)

b=3c=1のとき

  

となって、PABの延長線上にあることになってしまう(^^)

じゃ〜、このとき、PQに最小値は存在するのか。

A=α=90°とすると、

  

そして、

  

よって、

  

だから、

  

微分してもいいけれど、グラフを書くと、次のようになるにゃ。

muzui-03.jpg

よって、x=1y=2/3の時に最小ということになる。

このとき、PBQACの中点になる。

だから、PQにはの最小値は存在する。



第14回 幾何的な問題を・・・ [三角比と三角関数]

第14回 幾何的な問題を・・・


三角関数の最終回として、その応用として、幾何的な問題を幾つか解いてみることにする。


問題1 acosA=bcosBを満足する△ABCはどのような三角形か。ただし、a=BCb=CAとする。

【解】

余弦定理より

  

よって、
  sankaku-14-01.png

よって、BC=CAの二等辺三角形、または、∠C=90°の直角三角形。


問題2 次の問いに答えよ。

(1) AB=4AC=3、∠BAC=30°を満足する△ABCがある。この三角形の面積を求めよ。

(2) AB=4AC=3、∠ABC=30°を満足する△ABCがある。この三角形の面積を求めよ。

【解】

(1)
  


(2) BC=aとする。余弦定理より

  

面積は

  



問題3 △ABC

  

のとき、

  

を求めよ。

【解】

  

とおく。

  

①の右辺と左辺を足し合わせると、

  

②を①で引くと

  

正弦定理
  sankaku-14-02.png

余弦定理から

  sankaku-14-03.png

よって

  



問題4 3辺の長さがそれぞれ13、8、7である三角形について次の値を求めよ。

(1) 面積  (2) 最大角  (3) 外接円の半径  (4) 内接円の半径

【解】

sankaku-14-04.jpg


(1) ヘロンの公式は使わないにゃ。

a=13b=8c=7とおき、余弦定理を使うケロ!!

  

これから、A=120°と分かるにゃ。

よって、

  

よって、面積S

  


(2) 最大角は120°

 

(3) 外接円の半径をRとすると、正弦定理より

  


(4) 内接円の半径をrとすると

  



(1)では、

  

からAを求め、そして、sinAを計算しているけれど、

  

と求めることができる。
さらに、補足すると、最大角は、辺の長さが最も大きい辺に対応する角になる。


ちょっと自慢していいケロか?
この図は正確なんだにゃ。
何と、分度器で測ると、(1)の答え、∠A=120°が出てくるという優れもの(^^ゞ
嘘だと思うなら測ってみろ!!


第13回 問題演習2 [三角比と三角関数]

第13回 問題演習2


x軸と角度θをなし、原点Oを通過する直線があるとする。

tanの定義は

  

だから、直線の傾きm

  

になる。

chokusen-hoteishiki.jpg

このことから、x軸と角度θをなす、点(x₀,y₀)を通る直線の方程式は

  

になる。

このことを踏まえて、次の問題を解いてみることにする。


問題1 2直線y=mx+ky=m'x+k'の作る角(はじめの直線からあとの直線の方へまわる角)をαとする。1+mm'=0のとき

  

となることを証明せよ。

【解】
chokusen-kaku.jpg

y=mx+ky=m'x+k'に平行な原点を通る直線は

  

上の直線とx軸とがなす角度をθθ'とすると

  

直線y=mxからy=m'xへまわる角度α

  

となる。

よって、

  


ちなみに、1+mm'=0という条件は

  

だから、2直線が直交する条件。

また、このとき、①式の分母が0になるので、①式は意味を持たない。


問題2 2直線

  

の交角を求めよ。

【解】

3x−y−2=0y=3x+2だから、傾きm=3。そして、x−2y+5=0y=x/2−5/2だから、の傾きm'=1/2

よって、①より

  



問題3 sin⁴θ+cos⁴θの最大値・最小値を求めよ。

【解】

sin²+cos²=1だからcos²θ=1−sin²θ

さらに、u=sin²θとおくと

  

になる。

u=sin²θだから、0≦u²≦1

  

の最大値・最小値を求める問題に帰着できる。

よって、

u=1/2のとき、f(u)は最小で最小値は1/2

u=01のとき、f(u)は最大で最大値はf(0)=f(1)=1


類題

(1) sin⁶θ+cos⁶θの最大値・最小値を求めよ。

(2) sin⁸θ+cos⁸θの最大値・最小値を求めよ。

【答】

(1) 最小値1/4 最大値1

(2) 最小値1/8 最大値1

の最小値には、規則性がありそうな、なさそうな・・・。

 


問題4

  

の解xが存在するための範囲を求めよ。

【解】

  

ということで、

  

1≦sin(x+α)≦1だから

  

2乗すると

  


【別解1】

sinx=ucosx=vとし

  

の共有点を調べる。①は原点を中心とする半径1の円なので、①と②が共有点をもつためには、原点から②の距離が1以下でなければならない。

よって、

あとは・・・。

あるいは、②より

  

となり、これを①に代入すると

  

となる。vは実数でなければならないので、

  

となる。

三角関数の合成公式を使う方法が一番自然な解法なのでしょうけれど・・・。


第12回 三角関数の積和・和積の公式 [三角比と三角関数]

第12回 三角関数の積和・和積の公式


§1 三角関数の積和の公式

三角関数の加法定理より正弦関数については次の関係が成り立つ。
  sankaku-12-01.png

よって、①+②は

  

①−②は

  

よって、

  sankaku-12-02.png


正弦関数と余弦関数の積を正弦関数の和に変えた。

こういうのを、三角関数の積和公式とかいうにゃ。

同様に、余弦関数に関する加法定理は

  

なので、③+④、③−④を計算すると、
  sankaku-12-02.png

以上の結果をまとめると

  sankaku-12-04.png

上の式は、積分の計算、たとえば

  

などの計算に使うために必要なもので、mnが自然数でm≠nのとき

  

であることが分かる。

非常に重要な公式であるのだけれど、私は覚えていない(^^

こんな式は、加法定理からすぐに導ける。覚える必要はないケロ。

さらにいうならば、加法定理も

  

だけを覚え、あとは、sin(−θ)=−sinθcos(−θ)=cosθを覚えておけば、その場ですぐに導くことができる。

§2 三角関数の和積の公式

三角関数の積和の公式を導く前、たとえば、

  

なども見て欲しいにゃ。

A=α+βB=α−βとすると、

  

となることが分かる。

  

αβについて解けば、

  

になるので、

  

同様に、

  


また、

  

なので、

  

そして、

  

になるので、

  

となる。

結果をまとめると、

  sankaku-12-05.png

三角関数の和・差から三角関数の積に直すので、和積の公式とか呼んでいるケロ。


上の2番目、4番目の公式は、正弦関数と余弦関数の微分のところで使った。


バズル的な問題を・・・。


問題1 △ABC

  

であることが証明せよ。

【解】

  sankaku-12-07.png
C=π−(A+B)
だから

  

よって、

  

ゆえに、

  


問題2 α+β+γ=πのとき

  

【解】

加法定理より

  sankaku-12-06.png

よって、

  

また、α+β=π−γ

  

これを①に代入すると、

  



第11回 合成公式 [三角比と三角関数]

第11回 合成公式


次の図のようなxy平面上の点があるとする。

gousei.jpg

このとき、

  sankaku-11-01.png

が成立する。

このことは三角関数の定義より明らかでしょう。
上で定義した角度αを使うと、asinθ+bcosθは次のように変形できる。
  sankaku-11-02.png

これを三角関数の合成公式という。

あらためて書くと、

  

結構、間違えやすいので、これは次の図とセットで覚えてください。

そうでないと、ab、どっちが分母で分子かで悩むことになる。

gousei-koshiki.jpg

例1 sinθ+cosθは、a=b=1の場合で

  sankaku-11-03.png

とすると、

  


例2 3sinx+4cosx0≦x<2π)の最大値、最小値を求めよ。

【解】

  

よって、最小値は−5、最大値は5

 


問題 x²+y²=1のとき、x+yの取りうる値の範囲を求めよ。

【解】

x=cosθy=sinθ0≦θ<2π)とする。

  

よって、

  


ちなみに、x+yが最大になるとき、

  

最小になるのは

  


【別解】

シュワルツの不等式

  

を使うケロ!!

  

等号成立はx=yの時で、x=y=−√2/2の時に最小、x=y=√2/2の時に最大。

【別解2】

x+y=kとする。y=k−xx²+y²=1に代入する。

  

上の2次方程式を満たすxは実数でなければならないので、

  

よって、−√2≦x+y≦√2

この他にも別解はいくつか作れますが、別解2は好きじゃない。これは自然な考え方ではないケロ。


x+y=kとし、これを直線の方程式とみなし、原点を中心とする半径1の円x²+y²=1との共有点を調べる図形的に解く方法もある。
次の図のように接する時に最大・最小になる。そして、y軸の赤い線で示した範囲がx²+y²=1のときx+y=kが取りうる範囲となる。


saidai.jpg

この解法は、もっと嫌いだ!!


問題2

  

のグラフをかき、かつ最大値・最小値を求めよ。

【解】
sankaku-11-01.jpg


  

よって、最大値2x=π/6)、最小値−1x=5π/6



問題3

  

について、次の問いに答えよ。

(1) t=sinx+cosxとおき、tの範囲を定めよ。

(2) f(x)tの式であらわせ。

(3) f(x)の最小値とその時のxの値を求めよ。

【解】

(1) −√2≦t≦√2

(2) t=sinx+cosxを2乗する。

  

よって、

  


(3)

  

よって、t=−1のとき最小で、−1が最小。
  sankaku-11-04.png


sankaku-11-02.jpg


第10回 三角関数の演習問題 [三角比と三角関数]

第10回 三角関数の演習問題


問題1 cosx+cosy=asinx+siny=bのとき、cos(x−y)abを用いてあらわせ。

【解】

  

cosx+cosy=asinx+siny=bをそれぞれ2乗すると、
  sankaku-10-01.png

上の式と下の式を足すと

  sankaku-10-02.png

よって、

  


類題 sinz=cosx+cosycosz=sinx+sinyのとき

  2cos(x−y)+1=0

であることを示せ。



問題2 △ABCの面積S、辺BCの長さをaとするとき、

  

であるという。このとき、△ABCはどんな三角形か。

【解】

ABCの面積S

  

また、
  sankaku-10-03.png

余弦定理より

  

よって、
  sankaku-10-04.png

(1)と(2)を比較すると

  

sinB>00じゃないので、sinBで両辺を割って式を少し整理すると、

  

よって、∠A=∠Rの直角三角形。

 


問題3 半径の円に内接する△ABCの面積が1

  

のとき、この三角形の三辺の長さを求めよ。

【解】

三角形だから

  

よって、
  sankaku-10-05.png

正弦定理より

  sankaku-10-06.png

三角形の面積は1だから

  sankaku-10-07.png

余弦定理より

  sankaku-10-08.png

よって、

  

または

  

を解けば答えが出てくるにゃ。

格好良く解きたい人は

  

α=a²β=b²とし、2次方程式の解と係数の関係を使うケロ。

すると、

  

①は実根を持たないので、②だけ解く。

  

このことから、

  

となる。

何を書いてあるかわからない人は、真面目に連立方程式を解けばいい!!


問題4 2次方程式

  

の2つの解がtanAtanBであるとき、tan(A+B)の取りうる範囲を求めよ。

【解】

2次方程式

  

が実数を解を持たなければならないので、この2次方程式の判別式をDとすると

  

a>0なので、

  

また、解と係数の関係から

  

tan(A+B)は加法定理より
  

a>0だから相加平均≧相乗平均が使えて

  

上の不等式の等号成立は

  

のときで、a>0よりa=√2で存在する。

よって、

  


2次方程式の判別式、解と係数の関係、相加平均≧相乗平均、三角関数の加法定理が組み合わさったいい総合問題だと思うけれど、試験会場で受験生にこれを解けというのは酷だと思うにゃ。


ここで使っている手法を用いると、これまでに何度も出てきた

  

の値域を簡単に求められるケロ。

この関数は、f(−x)=−f(x)が成り立つので、x≧0だけを調べればいい。そして、f(0)=0なので、x>0として

  

分母に注目すると
  sankaku-10-10.png

よって、0≦xのとき

  

また、f(x)は奇関数だから

  

となる。


第9回 三角関数の加法定理 [三角比と三角関数]

第9回 三角関数の加法定理


§1 加法定理


前回の第8回で加法定理を証明したのだけれど、三角形限定の証明なので、より一般的な証明を与えることにする。

行列と一次変換(回転)を用いて証明する証明が一般的なのですが、ねこ騙し数学では行列や一次変換をまだ正式にやっていないので、ベクトルの内積を用いた証明を紹介。

kahouteiri.jpg

上図のように、単位円(半径1の円)周上に2点、ABがあり、線分OAOBx軸と角度αβをなしているとする。このとき、

   

であり、

  

また、

  

よって

  

①より、
  sankaku-09-01.png

さらに、

  

この③を使って

  


この結果をまとめると、

  sankaku-09-03.png

問題1 次の値を求めよ。

(1) sin75°cos75°tan75°  (2) sin15°cos15 °tan15°

【解】

(1) α=45°β=35°として、加法定理を使うにゃ。

  

cos75°に対しても、加法定理を使って

  

と計算してもいいし、三角関数の基本公式

  

を使って

  

としてもよい。0°<75°<90°だから、cos75°>0!!

  


tan30°tan45°を求めて、さらに加法定理で計算するなんて、阿呆のやることだにゃ(^^

公式を憶えているから、そんな阿呆な解法を思いつく。

(2) α=60°β=45°α=45°β=30°として、sin(α−β)=sinαcosβ−sinβcosαを使えば・・・。

【答】

  


(1)の答えと似ているが、これは偶然、必然(・・?

15°=90°−75°ではある。


問題2

  

のとき、sin(α+β)cos(α+β)の値を求めよ。ただし、αは鋭角、βは鈍角とする。

【解】

sinα=1/2のとき、αは鋭角なのでcosα>0

  

sinβ=1/3のとき、βは鈍角なので、cosβ<0

  

よって、
   


sinα=1/2
で、αは鋭角なので、α=30°。よって、

  

としてもよい。

§2 倍角公式と半角公式

  sankaku-09-03.png

に対して、α=βとすると、
  sankaku-09-06.png

これを三角関数の倍角公式という。

cosの倍角公式に注目すると、

  

になる。

θ=2αとすると、上の式は

  sankaku-09-07.png

となる。この式を半角公式と呼ぶ。


この半角公式を用いると、問題1(2)のsin15°cos15°は、θ=30°として

  sankaku-09-08.png

と求めることができる。


問題1の(2)と値が違うように見えますが、これは同じ値だケロ!!


問題3 k=tanxとすると、

  

となることを証明せよ。

【解】

  

上の解答では

  

を使っている。


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