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ネムネコ 中学の2次関数の総合問題を作るの解答例 [中学数学]

ネムネコ 中学の2次関数の総合問題を作るの解答例


chu-mon-01.png問題 2次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 2次関数y=x²と直線y=x+2の2つの交点の座標を求めよ。

(2) 2次関数y=x²と直線y=x+2の2つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

(3) 点Pは線分AB上にある。点Px座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PABと異なる点とする。

(4) 線分ABの流さを求めよ。


【解答例】

(1) 2次関数y=x²と直線y=x+2の交点のx座標をxとすると、

  

したがって、交点の座標は(−1,1)(2,4)

(2) y=x+2y軸との交点をQとする。

chumon-graph-02.png



  


(3) 問題の条件より、−1<t<2

A、点Bからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれA'B'、点Pからx軸に下ろした垂線の足をP'とする。

AA'PP'、そして、BB'は平行だから

  

よって、

  

OAB=3、△OAP=Sだから

  


穴あきの丸、◯は含まない。


chumon-praph-03.png


(4) 三平方の定理より

  

(解答終了)


【(3)の別解】

chumon-graph-04.png

1<t<0のとき


t=0のとき


0<t<2のとき

(別解終了)


ちなみに、△OABは∠OAB=∠Rの直角三角形。

何故ならば、直線AOの方程式はy=−xで直線の傾きは−1、直線y=x+2の直線の傾きは1で、2直線の傾きの積が(−1)×1=−1で、この2直線が直交するから。

また、

  

と3平方の定理が成立することからもこのことが確かめられる。
そして、この結果を使うならば、△OABの面積は

  

と求めることができる。



ネムネコ 中学の2次関数の総合問題を作る!! 解いてミソ [中学数学]

ネムネコ 中学の2次関数の総合問題を作る


中学の2次関数の問題を作ってみたにゃ。


chu-mon-01.png問題 2次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 2次関数y=x²と直線y=x+2の2つの交点の座標を求めよ。

(2) 2次関数y=x²と直線y=x+2の2つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

(3) 点Pは線分AB上にある。点Px座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PABと異なる点とする。

 


簡単な問題だろう。

解いてミソ。


オマケとして、もうひとつ、小問を追加。

(4) 線分ABの流さを求めよ。



計算が大変なものになるかどうかは、ひとえに、数学的センス、図形的・幾何学的センスに関わっていると思うにゃ。
いかに簡単に解くか、腕の見せ所だにゃ。

答えを寄せてくれたら、清書して、このブログに掲載するにゃ。
だから、頑張ってといて欲しいにゃ。

誰も寄せてくれないのはわかっているけれど(^^)




この問題の答え、わかるケロか? [中学数学]

ネットに、次のような問題が紹介されていた。




簡単な問題なのだけれど、この記事の解法とは違う解き方で解いてみようじゃないか。

次の図のように対角線をABを引く。
circle-square.png

∠ACB=90°だから、ABはこの円の直径(円周角の定理)。
、小さな正方形の1辺をaとすると、AC=a、BC=3a。
△ABCは∠C=90°の直角三角形なので、三平方の定理が成り立つ。
 BC²+AC²=AB²
 (3a)²+a²=10²
 10a²=100
 ∴ a²=10

小さな正方形の面積はa²だから、答えは10cm²である。

如何でしょうか?




番外編 比例式と加比の理 [中学数学]

番外編 比例式と加比の理


§1 比例式

比例式とは、比あるいは連比に関する等式のことで、たとえば、

  a:b=c:d


  

で与えられる式のこと。

問題1 x:y=3:2のとき、

  

の値を求めよ。

【解】

  

よって、

  


【別解】

  

よって、

  


問題2 

  

のとき

  

が成り立つことを証明せよ。

【解】

  

よって、

  



§2 加比の理

加比の理

  のとき


  

である。

【証明】

  

(証明終わり)

意外に気づきにくい性質である。


これを図形的に解釈することにするにゃ。


A(a,b)B(c,d)とするにゃ。で、原点OABを通る2本の直線を考える。b/a=d/cなので、直線の傾きは同じで、さらに、この2本の直線は原点を通るので、同一の直線である。


kahinori.jpg

上図より、C(a+c,b+d)がこの直線にあることは明らかなので、

  

になる。

ベクトルを使うともっとスッキリするんだろうけれど・・・。


問題3

  

のとき、この分数式の値を求めよ。

 

【呟き】

a=b=c=1のとき、この分数式の値が2になることはすぐに分かるにゃ。そして、問題は、「この値が2だけか」だにゃ。


【解】

  

とする。

  

上の3式の右辺と左辺を足し合わせる。

  

a+b+c=0のとき

  


ここで止めていいかだが・・・。

k=2のとき

  

①−②

  

これを③に代入すると

  

a=b=cのとき、確かに式の値は2になるにゃ。ただし、abcがともに0である場合は除く。

第?回 問題演習 [中学数学]

第?回 問題演習


第0回の内容に関する問題演習をすることにするにゃ。


問題1 次の集合はどの演算について閉じているか。

(1) N={自然数}  (2) P={3で割って1余る整数}

(3) X={係数が整数である2次以下の整式}

【解】

(1) nmを自然数とすると、n+mは自然数になるので、つまり、n+m∈Nだから、加法・足し算については閉じている。

引き算・減法については、n=1m=2とすると、1−2=−1となり、これは自然数ではないので、閉じていない。

乗法・掛け算については、n×m∈Nだから、閉じている。

除法・割り算については、n=1m=2とすると、n÷m=1/2=0.5になるので、閉じていない。

よって、閉じているのは、加法と乗法。


(2) 3で割って1余る整数は、ある整数kがあって、3k+1とあらわすことができる。

ということで、

  加法 (3n+1)+(3m+1)= 3(n+m)+2 ・・・ 余りは2

  乗法 (3n+1)×(3m+1)= 9nm+3(n+m)+1 ・・・ 余りは1

  減法 (3n+1)−(3m+1)=3(n−m) ・・・ 余りは0

  除法 4÷1=4 ・・・ 余りは0

となり、乗法以外成り立たないことが分かる。


(3) 加法、減法については閉じている。

  

a₀a₁a₂b₀b₁b₂がが整数ならば、上の式の係数はすべて整数になるからだにゃ。

乗法、除法については、x×x²=x³
x÷x²=1/xなどが反例として挙げられ、乗法、除法については閉じていない。


問題2 実数全体の集合において、演算*を次のように定める。この演算は交換法則が成り立つか。また、結合法則は成り立つか。

  

【解】

交換法則

  

結合法則

  

よって、結合法則は、一般に成立しない。

問題3 次の【Ⅰ】、【Ⅱ】が成り立つことを証明せよ。

  

これを用い次の2重根号をはずせ。

  

【解】

証明には、因数分解の次の公式を使うにゃ。

  

p=√aq=√qとおくと、上の式は

  

よって、

  

ということで、

a>0b>0のとき

  

a>b>0のとき、

  


(1) a+b=7ab=10になるabを見つけるにゃ。そうすると、(a,b)=(2,5)または(a,b)=(5,2)になる。

どっち使ってもいいけれど、(a,b)=(2,5)を使うと、

  

となるにゃ。

(2) a+b=15ab= 50、そして、a>b>0になるabを見つけるにゃ。そうすると、a=10b=5

だから、

  

となる。

(3) これは

  

となるので、・・・。

あとは、自分でやるべきだにゃ。


問題4 有理数abを用いて、a+b√2と書ける数全体の集合をAとする。次の数がAに属するかどうか判定せよ。

  

【解】

(1) これは、a=−2/3b=0だから、Aに属する。

(2) これは、

  

となり、Aに属するにゃ。

(3) これは、難問かもしれない(^^)

3Aに属するならば、√3=a+b√2となる有理数abが存在する。

  

⑨の左辺は有理数だから、⑨が成立するためにはa=0でなければならない。

 ――a≠0だと、左辺は有理数、右辺は無理数になる!!――

よって、

  

となり、bは無理数になる。

bが有理数という仮定と矛盾するので、√3=a+b√2とあらわせる有理数は存在しない。

よって、√3Aに属さない。


背理法ってやつだにゃ。


3や√6が無理数であることを使って駄目ということになると、この証明までしなければならなくなる。どこまで既知として使っていいのかわからないにゃ。


(4) これは

  

となるので、Aに属する。



「⑨が成立するために、a=0でなければならない」としたけれど、これは証明すべきことなのかもしれない。

ということで、

問題 pqが有理数で、p+q√3=0であるならば、p=q=0であることを証明せよ。ただし、√3が無理数であることを用いてよい。

【解】

q≠0と仮定すると、

  ?-02.png
左辺は無理数、右辺の有理数になってしまうので、q=0

q=0p+q√3=0に代入すると、p=0

よって、p=q=0である。

第0回 数と式 [中学数学]

第0回 数と式


実数の性質として次のようなものがあるにゃ。これくらいは知っていないと困るにゃ。


1 演算の基本法則

  交換法則 a+b=b+a, ab=ba

  結合法則 (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)

  分配法則 a(b+c)=ab+ac

2 絶対値

  


3 平方根の2乗

  


4 平方根の計算

a>0b>0のとき

  


上であげたものの中で要注意なのは3の「平方根の2乗」だケロ。

  

注意しないと、なんて間違いをするケロ。

何故、これが間違っているかというと、a=−1のとき

  

となり、

  

でなくなるにゃ。

⑨が成り立つのは、a≧0の時だにゃ。



問題1 次の関数の値の範囲(値域)を求めよ。

  

【解(?)】

「こんな問題、相加平均≧相乗平均を使えば、ちょろいケロ!!」と考え、

  

よって、x=±1のとき、最小で最小値は2

だから、y≧2!!


お陀仏だにゃ。どこが間違っているか、分かるケロか?

この関数のグラフを書くと次のようになり、最小値は存在しないにゃ。
ch-18-05.jpg

相加平均≧相乗平均の公式は

  

だにゃ。

abが負数のとき、この公式は成り立たない。

だから、相加平均≧相乗平均を使うのであれば、

  

よって、

  

としなければいけない。

そして、等号が成立するとき、

  

になるので、

  

となり、

  

x=−1のときy=−2x=1のときy=2となり、・・・
結構、面倒なんだケロ。
前回の問題でx>0という制限が入っていたのは、このため。

で、

  

とすると、

  

となり、この関数が奇関数、つまり、原点に関して対称であることが分かるにゃ。

x>0のときは、

  

は成立するにゃ。

そして、この関数が奇関数、つまり、原点に関して対称であることを使うと、x<0のとき、y≦−2となることが分かる。


問題2 次の式を満足するxの存在する範囲を数直線上に図示せよ。

  

【解】

(1) x−a≧0のとき、

  |x−a=x−a<2

  x<a+2

x−a<0のとき
  |x−a=−(x−a)=a−x<2

  x>a−2

よって、a−2<x<a+2

これを図示すると

ch-00-2.jpg

白丸のところは含まないケロよ。


(2)の答えは、x≦a−2、または、x≧a+2

この図くらいは自分で書くべきだケロ。

 

ずっと前に「|x−a|は数直線上の点xと点aの2点間の距離だ」という話をしたにゃ。このことを知っていれば、この問題は簡単に解けるはずだにゃ。

まっ、そういうことで。


第18回 分数関数 [中学数学]

第18回 分数関数


分数関数の一般形は

  

だケロ。

なのだけれど、①のままでは分かりづらいので、

  

と変形するにゃ。

②式は

  

になるので、

  

とすると、②は、中学校で習う反比例の関数をx方向にpy方向にq平行移動したものであることが分かるにゃ。③は

  

になっているからだにゃ。

ちなみに、②の漸近線はy=qx=q


グラフは次のようになる。

ch-18-01.jpg


こういうのは、抽象的な話をするよりも、具体的な関数を例に取ったほうがわかりやすいにゃ。
というこで、早速、問題を解いてみるケロ。


問題1 次の関数のグラフをかけ。

  

【解】

(1) 問題の関数を②の形に変形するにゃ。

  

よって、この関数は

  

x方向に3y方向に2平行移動したもの。

グラフは

ch-18-02.jpg

(2) x+2=0でないから、(x+2)(y+1)=1の両辺をx+2で割るケロ。

  

といことで、このグラフは、y=1/xx軸方向に−2y軸方向に−1、つ・ま・り、y=1/xを左に2、下に1だけ平行移動したもの。

だから、グラフは次のようになる。

ch-18-03.jpg

では、次の問題。


問題2 関数

  

について、

(1) x>0のとき、関数①の最小値を求めよ。

(2) ①、②のグラフをかけ。

(3) ①からx²−yx+1=0・・・①’が得られるが、①’が実数の解をもつ必要十分条件を求めよ。

【解】

(1) 相加平均≧相乗平均より、x>0のとき、

  

よって、x=1のとき最小(注)で、最小値は2だケロ。

(2)

ch-18-04.jpg

このグラフから明らかなように、漸近線はx=0y=xだにゃ。


(3) 実数解をもつというのだから、判別式≧0だケロ。ということで、

  


まっ、そういうことだにゃ。


(注)

  

だけど、x>0という条件があるので、x=1になる。

(3)で使っている手法は、微分を知らない人たち(文系の人)が分数関数の最大値、最小値などを求める時によく使う手法。

たとえば、

  

という関数があるとき、

  

として、xは実数でないといけないから、この2次方程式の判別式をDとして

  

だから、yの最小値はx=−1の時で−1/2で、yの最大値はx=1の時で1/2

ch-18-05.jpg

何で、y=−1/2のときx=−1になるかは分かるよね。

「何故だろう」と、悩むといけないので、

  

から出てくるにゃ。

これから

  

y=1/2の時も同様に求めればいいにゃ。

最後に、相加平均≧相乗平均は

  


第17回 2次関数とのグラフと2次方程式 [中学数学]

第17回 2次関数とのグラフと2次方程式


2次関数y=ax²+bx+cと直線y=mx+nがあるとする。このとき、2次関数と直線の間には下図で示すような位置関係、上下関係があるにゃ。

ch-17-01.jpg

そして、2次関数と直線の交点の数は、2次方程式ax²+bx+c=mx+nの解を判別することによって調べられる。つまり、この2次方程式

  

の判別式

  

の値がD>0ならば交点の数は2、D=0ならば交点が一つ、つまり、接点となり、D<0ならば交点は0ということになる。

ということで、早速、問題を解いてみることにする。


問題1 放物線y=x²+axが、次の条件に適するように、定数aの値または範囲を定めよ。

(1) 直線y=x−1と2点で交わる。

(2) 直線y=x−1と接する。

(3) つねに、直線y=x−1の上方にある。

【解】

y=x²+axy=x−1の交点では

  

になるにゃ。

よって、

  

となり、この判別式をDとすると

  

となる。

(1) D>0なので、a<−1またはa>3

(2) D=0なので、a=3、−1

(3) 問題の条件は、すべてのxについてx²+ax>x−1だにゃ。

だから、任意のxに対して

  

が成り立てばいい。これが成り立つ条件はD<0だから、−1<a<3

2次不等式はやっていないけれど、次の図を見れば、xの2次方程式の解をαβα≦β)とし、xの2次の係数が正のとき、

ax²+bx+c>0を満たすxの範囲はx<αx>β

ax²+bx+c<0をみたすxの範囲はα<x<β

であることが理解できると思うにゃ。

問題2 放物線y=x²−2x+3と直線y=mx+1の共有点の個数を、mのいろいろな値に対して調べよ。

【解】

  

この2次方程式の判別式をDとすると、

  

になる。

で、2次方程式

  

を解くにゃ。

  

このことから、

D>0を満たすとき、つまり、共有点が2個の時のmは、m<−2−√2m>−2+√2

D=0のとき、つまり、共有点が1個の時はm=−2±√2

D<0のとき、共有点がない時は−2−√2<m<−2+√2



ch-17-02.jpg



退屈の虫が騒ぎ出してきたケロ。

なので、2次関数の最大、最小に関する少し発展的な問題を。

問題3 3x²+2y²=9xのとき、x²+y²の最大、最小値を求めよ。また、その時のxの値を求めよ。

【解(?)】

3x²+2y²=9xだから

  

となって、x²+y²にこれを代入すると、

  

このy=f(x)グラフを書くと次のようになる。

ch-17-04.png

よって、x=9/2のとき最大で、最大値は81/8、最小値は無し!!

これは間違っているにゃ。何故か、わかるケロか。

何故ならば、①の条件より、y²≧0、よって

  

となり、xの取りうる値は0≦x≦3で、頂点は0≦x≦3の範囲にないからだにゃ。

だから、f(x)の定義域は0≦x≦3となり、この区間でf(x)は単調増加。よって、x=0y=0)のとき最小で最小値は0。そして、x=3y=0)のとき最大で9になる。

ch-17-03.jpg

第16回 2次関数の演習2 [中学数学]

第16回 2次関数の演習2


これまで2次関数の定義域を実数全体としてきたけれど、定義域が実数の部分集合の場合についてやってみるにゃ。

一般論より問題を解く形で具体的な例をあげた後に説明したほうがわかりやすいと思うので、いきなり問題を解いてみるにゃ。

問題1 次の2時間数について、( )内で示した定義域における最大値と最小値を求めよ。

  

【解】

(1) 2次関数は、何も考えずに、基本変形するケロ。

  

これから、x=2が軸で、頂点が(−2,5)であることが分かる。

次に、この放物線の概略図を書く。

  ch-16-01.jpg

そうすると、最大値がx=2のときで5、最小値がx=−3のときで、f(−3)=−20であることが分かる。


(2) まずは基本変形だケロ。

  

よって、軸はx=3で、頂点は(3,17/2)

概略図を書く。

  ch-16-02.jpg

そうすると、x=−1のとき最小で最小値がf(−1)=1/2、最大がx=3のときで最大値が17/2であることが分かる。


(3) −1<x<1のとき、x²<1だから、|x²−1=−(x²−1)=1−x²になる。

  

そして、概略図を書くと次のようになる。(○のところは含まない)

ch-16-03.jpg
よって、x=−1/2のとき最大で、最大値は5/4



この問題から分かるように、2次関数の最大・最小値の問題は、頂点と定義域の両端が重要なんだケロ。

あえて極論すると、、

2次関数の場合、両端におけるyの値と頂点のyの値を比べるだけで、最大値と最小値は分かる(^^

頂点が定義域内にないとき、両端の値の大小だけで十分なんだにゃ。

2次関数y=f(x)=a(x−p)²+qとし、この定義域をα≦x≦βとする。

で、α≦p≦βのとき、つまり、定義域内に放物線の軸x=pがあるとき、

  a>0ならばx=pのときqが最小値、

  a<0ならばx=pのときqが最大値

となる。

あとは、f(α)f(β)の大小で判断する。

そして、x=pが定義域に含まれないときは、f(α)f(β)のうちで小さくないほうが最大値で、大きくないものが最小値だケロ。


2次関数の場合、これだけで判断してもいい。


なのですが、いい加減なものでいいから、とにかく、面倒臭がらずに概略図を書くことだにゃ。


問題2 xの2次関数f(x)=x²+2mx+2m+3がある。

(1) その最小値ymのどんな関数になるか。

(2) (1)の関数yの最大値を求めよ。

【解】

(1) とにかく、何も考えずに、基本変形!!

  

よって、x=−mで最小で、

  


(2) とにかく、基本変形!!

  

よって、m=1のとき最大で、yの最大値は4となる。
ch-16-05.jpg


もう既に中学数学を逸脱しているのだけれど、中学では2次不等式を習わないから、2次関数や2次方程式の複雑な問題を解けないにゃ。

なのだけれど、実は、もう2次不等式を解くことができる材料を提供しているんだけどね。

第15回 2次関数の演習1 [中学数学]

第15回 2次関数の演習1


2次関数の一般形は

  

で、

  

このことから、

  

となる。
ch-15-01.jpgch-15-02.jpg


頂点が(p,q)である2次関数は

  

で、これはy=ax²x軸の正の向きにpy軸の正の向きにq平行移動したもの。軸の方程式はx=pだケロ。

さらに、放物線がx=αx=βx軸と交わるとき、

  

である。

ch-15-03.jpg

では、問題演習。


問題1 (1) 放物線y=2x²x軸の方向に−2y軸の方向に1だけ平行移動してできるグラフの方程式を求めよ。

(2) 放物線y=2x²−5x+1を放物線y=2x²+5x+2に重ねるには、どのように移動させればよいか。

【解】

(1) ③にa=2p=−2q=1を代入すると

  


(2) ②より、y=2x²−5x+1の頂点の位置は(5/4,−17/8)y=2x²+5x+2の頂点の位置は(−5/4,−9/8)

よって、x方向の移動量=−5/4−(5/4)=−5/2y方向の移動量=−9/8−(−17/8)=1


ch-15-04.jpg


問題2 軸がy軸に平行で次の条件を満たす放物線をあらわす2次関数を求めよ。

(1) 3点(1,3)(3,5)(−1,9)を通るもの

(2) 頂点が(1,3)で、点(2,1)を通るもの

(3) 軸がx=−2で、2点(0,3)(−1,0)を通るもの

(4) x軸と(−1,0)(2,0)で交わり、点(0,−3)を通るもの

(5) 2点(1,12)(4,3)をとおり、x軸に接するもの

【解】

ただの計算問題なので、ヒントと答えだけ(^^

【ヒント】

(1) y=f(x)=ax²+bx+cとすると、f(1)=3f(3)=5f(−1)=9となる。これからabcについての連立方程式が得られる。これを解けばいい。

(2) 頂点が(1,3)なのだから、y=f(x)=a(x−1)²+3となり、これが点(2,1)を通るのだから、f(2)=1となり、aの値が求まる。

(3) 軸がx=−2なので、y=f(x)=a(x+2)²+qとなる。これが2点(0,3)(−1,0)を通るものだから・・・。

あるいは、y=ax²+bx+cとして、

  

この曲線が(0,3)を通るのでc=3となり、y=f(x)=ax²+bx+3となり、f(−1)=a−b+3=0・・・。

(4) x軸とx=αβで交わるのだからy=a(x−α)(x−β)となる。だから、y=a(x+1)(x−2)で、これが(0,−3)を通るのだから・・・。

(5) x軸に接するのだから、その接点のx座標をpとすると、この放物線はy=a(x−p)²となる。あとは・・・

【答】

  (1) y=x²−3x+5  (2) y=−2x²+4x+1  (3) y=x²+4x+3

  


問題3 2次関数y=ax²+bx+cのグラフが(−1,−5)を通る。また、x=2のとき最大で、最大値は4であるという。abcの値を求めよ。

【解】

x=2のとき最大で、最大値が4であることより、

  

である。

これが、(−1,−5)を通るので、

  


②を使ってabcを求めてもいいけれど、計算が大変だよ。


問題4 2x+y=1のとき、次の関数の最大値、または最小値を求めよ。

(1) xy  (2) x²+y²

【解】

2x+y=1より、y=1−2xとなる。

(1) xyy=1−2xを代入する。

  

よって、x=1/4のときxyの最小値は1/8。このときのyの値は

  


ということで、x=1/4y=1/2のときに最小で、最小値は1/8である。


(2) x²+y²y=1−2xを代入する。

  

よって、x=2/5のときに最小で、最小値は1/5

この時のyの値を求めると、y=1/5になる。

ということで、x=2/5y=1/5のとき最小で、最小値は1/5

(1)、(2)とも最大値はないにゃ。


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