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無限遠点でのローラン展開 [複素解析]

無限遠点でのローラン展開

 

§1 無限遠点でのローラン展開

関数f(z)においてz=1/ζとおいて得られるζの関数を

とし、φ(ζ)ζ=0において得られる状態をf(z)z=∞(無限遠点)における状態と定義することにする。

 

問1 の無限遠点∞における状態を調べよ。

【解】

とおくと、

  

となり、ζ=0φ(ζ)の2位の極となるから、z=∞f(z)の2位の極である。

とおくと、

  

したがって、

  

よって、ζ=0φ(ζ)の真性特異点だから、z=∞の真性特異点。

(解答終)

 

無限遠点∞がf(z)の孤立特異点であるとする。このとき、十分大きなR>0を選ぶと、f(z)は正則になる。したがって、無限遠点∞の定義より

  

で正則である。

よって、φ(ζ)ζ=0のまわりで

  iy-003.png

ただし、Cζ=0を中心とするの円である。

φ(ζ)=f(z)だから、m=−nとおいて、

  iy-004.png
という展開式が得られる。

(1)を∞まわりのローラン展開という。

 

問2 関数のすべての特異点を求めよ。また、その各々を中心とするローラン展開を求めよ。

【解】

とする。

z=1は1位の極で、z=1まわりのローラン展開は

  

z=1/ζとおくと

  

となり、ζ=0φ(ζ)の1位の極だから、z=∞f(z)の1位の極。

z<1のとき

  

だから、

  

また、|z>1のとき

  

だから、

  iy-006.png

よって、z=∞まわりのローラン展開は

  iy-007.png

(解答終)

 

§2 無限遠点での留数原理

無限遠点∞がf(z)が孤立特異点または正則点であるとき、f(z)は∞まわりでローラン展開が可能である。すなわち、

この展開におけるの係数の符号を変えたもの、すなわち、を∞におけるf(z)の留数といい、などであらわす。

したがって、

  iy-008.png

ここで、Γは有限のところにあるf(z)の内部にある特異点をすべてふくむ閉曲線である。

留数定理と(3)より、ただちに、次の定理が得られる。

 

定理1

f(z)が無限遠点を含めた全平面でただだか有限個の特異点しか持たないとき、有限のところにあるすべての特異点をとすれば、

  

 

また、留数の定義より

 

定理2

が有限確定であれば、

  

 

問3 つぎの値を求めよ。

  

【解】

  iy-010.png

また、定理2より

  

の零点をとすると、定理1より

  

(解答終)

 


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複素関数の微分の補充問題2 [複素解析]

複素関数の微分の補充問題2

 

Dで正則で、u,vの2次の偏導関数が連続であれば、コーシー・リーマンの関係から

  fb2-001.png

が成立する。

したがって、uvともにラプラス方程式

  

を満たすので、uv調和関数である。

 

問 正則関数uvが連続な2次偏導関数をもつとき、(1)が成り立つことを示せ。

【略解】

コーシー・リーマンの関係より

  

したがって、

  fb2-002.png

(略解終)

 

 

問題1 u=x³−3xy²が調和関数であることを示し、uを実部にもつ正則関数を求めよ。

【解答】

  fb2-003.png

よって、uは調和関数。

が正則関数であるとすると、コーシー・リーマンの関係式

  fb2-004.png

を満たさなければならない。

したがって、

  

これをに代入すると、

  fb2-006.png

よって、

(解答終)

 

 

問題2 f(z)が正則であるとき、とすると、コーシー・リーマンの関係式は

  fb2-007.png

となることを示せ。

【解】

だから、という対応関係にある。

したがって、

  fb2-008.png

同様に、

  fb2-009.png

ここで、コーシー・リーマンの関係式を用いると、

  fb2-010.png

(解答終)

 

(2)式をについて解くと、

  fb2-011.png

同様に、(3)式から

  fb2-014.png

 

 

問題3 が正則のとき

であることを示せ。

【解】

 

(1) コーシー・リーマンの関係より

  

したがって、

  

また、

  

よって、

  

 

(2)

  

また、

  

したがって、

(解答終)

 

 


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複素関数の微分の補充問題 [複素解析]

複素関数の微分の補充問題

 

f(z)は領域Dで定義されているとする。zD内の点z₀に近づくとき、

  

が近づき方に無関係に一つの有限値に近づくならば、この極限値をf(z)z₀における微分係数といい、であらわす。また、このとき、f(z)z₀微分可能という。

すなわち、

  fb-001.png

領域Dの全ての点でf(z)が微分可能であるとき、f(z)D正則であるという。w=f(z)Dで正則であるとき、

Dの各点zf'(z)を対応させることにより、Dで定義された関数f'(z)が定まる。この関数を導関数といい、

  fb-002.png

 

例 のとき

  fb-003.png

nが正の整数で、のとき、

  fb-004.png

したがって、

  

 

問題1 次の関数はz=0で微分可能か。

【解】

z=x+iyとする。

(1) で、z≠0とすると、

  

直線y=mxにそってzが原点に近づけると、

  fb-005.png

この極限は直線の傾きmによって変わるのでz=0で微分可能ではない。

 

(2) f(z)=Re(z)=xとおき、z≠0とすると、

  

y=mxにそって原点に近づけると、

  fb-006.png

したがって、z=0で微分可能ではない。

(解答終)

 

定理(コーシー・リーマンの関係式)

z₀=x₀+iy₀で微分可能であるための条件は、uvがともに(x₀,y₀)で全微分可能で、

  fb-007.png

このとき、

  fb-008.png

 

問題2 次の関数の微分可能性を調べよ。

  

【解】

  だから、u=x²+y²v=0


u,yの偏導関数は連続だから、すべての(x,y)で全微分可能。また、(x,y)=(0,0)のとき

  

だから、f(z)z=0で微分可能。

(x,y)≠(0,0)では、

  

なので、f(z)z≠0で微分可能でない。

(解答終)

 

問 コーシー・リーマンの関係式を用いて、問題1の関数の微分可能性を調べよ。

 

 

問題3 指数関数

  

の導関数がであることを示せ。

【解】

  fb-009.png

したがって、

  

よって、

  fb-010.png

したがって、uvの偏導関数は(x,y)の全点で連続で全微分可能。

また、

  fb-011.png

となりコーシー・リーマンの関係を満たす。

したがって、zの全点で微分可能(正則)である。

  

(解答終)

 

 

問題4 関数f(z)が領域Dで正則で、次の条件のいずれかを見たぜばf(z)Dで定数であることを示せ。

【解】

とする。

(ⅰ)

  fb-013.png

よって、uvDで定数。したがって、f(z)Dで定数である。

 

(ⅱ) だから。 コーシー・リーマンの関係よりとなり、f(z)Dで定数である。

 

(ⅲ)

  fb-014.png

したがって、

  fb-015.png

コーシー・リーマンの関係より

  fb-016.png

したがって、

  

u²+v²=0のとき、u=v=0

のときだから、コーシー・リーマンの関係より

いずれの場合も、uvは定数となり、したがって、f(z)Dで定数である。

(解答終)

 


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複素関数の連続に関する補充問題 [複素解析]

複素関数の連続に関する補充問題

 

連続の定義

z₀w=f(z)の定義域Dに属し、が成り立つとき、f(z)z₀で連続という。

すなわち、

任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶとき、

  

が成り立つとき、f(z)z₀で連続という。

z₀=x₀+y₀で連続であるとき、

  kr-001.png

である。

 

問題1 次の関数はz=0で連続か。

  kr-002.png

【解】

(1) z=x+iyとおくと、z≠0のとき

  

y=mxx>0)にそってz0に近づくとき、

  kr-003.png

これはmの値によって変わるので、は存在しない。

よって、z=0で不連続である。

 

(2) z≠0のとき

よって、

となり、f(z)z=0で連続である。

(解答終)

 

(2)は次のように答えてもよい。

 

【(2)の別解】

z≠0のとき、

  

よって、f(z)z=0で連続である。

(解答終)

 

 

問題2 次の関数はz=0で連続か。

  kr-004.png

【解】

(1) z≠0のとき、

  

したがって、f(z)z=0で連続でない。

 

(2) f(0)=0。また、z=x+iyとすると、Im(z)=y

  

よって、f(z)z=0で連続である。

 

(別解)

z≠0のとき、

  

(解答終)

 

多変数関数の場合、ε-δ論法は複雑になるのでふつう用いないけれど、やってみますか。

 

  

とすると、g(t)は狭義単調増加関数。

したがって、0<ε<1δ>0とし

  

とすると、

  kr-006.png

ε≧1のとき、δ=1とすると、

  

したがって、任意のε>0に対してδ>0

  kr-007.png

にとれば、

  

となり、f(z)z=0で連続である。

 

 

問題3 f(z)z₀で連続であるとき、z₀で連続であることを示せ。

【証明】

f(z)z₀で連続だから、任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶと、

  

である。

このεに対するδを用いると、

  

したがって、z₀で連続である。

同様に、

  

したがって、z₀で連続である。

(証明終)

 

とすると、

  

また、だから、

  
とすると、だから、

 

  


 


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複素関数の極限の補充問題 [複素解析]

複素関数の極限の補充問題

 

独立変数z、従属変数wがともに複素数である関数w=f(z)を複素関数という。z=x+iyw=u+ivとすれば、

  

となり、uvは2変数xyの関数になる。このことをu=u(x,y)v=v(x,y)と書くことにする。

 

複素関数の極限

任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶと、

  

が成り立つとき、zz₀に近づくときf(z)は極限値αに収束するといい、

  

とかく。

z=x+iyとすると、だから、

  

したがって、とすると、

  

また、無限遠点∞を含む極限は次のように定義する。

  fk-001.png

 

問題1 つぎの極限値を求めよ。

【解】

(1) z=x+iyとすると、。(半)直線y=mxにそってzを原点Oに近づくものとする。

x≠0のとき、

  

となり、直線の傾きmによって値が変わる。

よって、は存在しない。

 

(2) だから、

  

 

(3)

  

(解答終)

 

実関数の極限は、

  

となるので、この極限は存在しないけれど、複素関数の次の極限

  

で、無限遠点∞がこの極限になるので注意が必要。

また、(3)の極限を求めるときは、正式には上のように解かないといけない。

大学の定期試験で、実数の極限と同じように

  fk-009.png

と解くと、先生に、減点されたり、✕をつけられるのかもしれないので注意。

実数の極限に持ち込みたいのならば、

たとえば、

  

したがって、|z=Rが十分に大きいとき、

  fk-003.png

などとすればいいケロ。

 

問題2 次の極限を求めよ。

【解】

z=x+iyとすると、Re(z)=xIm(z)=y

(1) 直線y=mxにそって原点に近づけると、

  

直選の傾きによってこの極限は変わるので、この極限は存在しない。

 

(別解)

x=rcosθy=rsinθとすると、

  

θの値によってこの極限は変化するので、この極限は存在しない。

gk-fig-001.png
 

(2)は略。この手の極限は、大体、存在しないことになっている(^^

(解答終)

 

 

問題3 次の極限を求めよ。

  

【略解】

z=x+iyとおくと、

例によって、y=mxx>0)にそって原点に近づけると、

  

よって、極限は存在しない。

 

【別解】

とおくと、

  

よって、極限値は存在しない。

(解答終)

 

この手の極限は、大体、存在しない(^^)

 

 

宿題 次の極限を求めよ。

(ヒント)

(2)は

  

と絶対値をとって、この極限で議論すればよい。

 

 


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無限遠点とリーマン球面 [複素解析]

無限遠点とリーマン球面

 

無限遠点

1次関数が

  

の場合、z=0に対応する点はw平面に存在しない。この例外を除外するために無限遠点∞を導入し、次のように定義することにする。

w=1/zにおいて、点zが原点であるとき、その像はw平面上の∞であり、z平面の∞の像はw平面の原点である。

無限遠点∞は複素平面の原点から有限の距離になく、複素平面上をどの方向に進んでも原点からの距離が限りなく大きくなると、∞という1点に到達する。

さらに、∞を含む演算を次のように定義する。

  

無限遠点∞は、微積分の無限大∞とは異なるので注意が必要である。

 

R>0のとき、|R<zを満足する集合に無限遠点∞を加えたもの点集合をR近傍といい、いろいろなRに対する∞のR近傍を総称して∞の近傍といい、記号などで表す。

複素数列が任意のR>0に対して、適当な正の整数Nが存在し、

  

であるとき、数列は∞に発散するといい、

  

と書く。

なお、微積分で使われる無限大∞と無限遠点∞を区別するために、上式では無限大∞を+∞で表している。

この定義は、のときと定義することと同じである。

 

複素球面(リーマン球面)

rieman-sphere.png複素平面上の原点Oに接する半径1の球面をつくり、Oを通る直径の他端をNとする(右図参照)。複素平面上の任意の点zNを結ぶ直線はN以外のただ1点Pと交わる。逆に球面上のNと異なる任意の点Pを結ぶ直線は複素平面とただ1点で交わる。複素平面上の点zが原点から限りなく離れるとき、球面上の対応する点PNに近づく。したがって、無限遠点∞に対応する点はNである。

このように考えたときの球面を複素球面リーマン球面)といい、この球面上の点は∞を含めた複素平面と1対1に対応する。

Nの座標を(0,0,1)Pの座標をηζ)とするとき、

 

より

  

という対応関係にある。

 

 

問 複素平面上の次の点は、リーマン球面のどの点にうつされるか。

【解】

(1) 式(2)により

  

 

(2) 式(2)より

  

 

 

(3) 式(2)より

  

(解答終)

 

補足


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第60回 ルーシェの定理の応用 [複素解析]

第60回 ルーシェの定理の応用

 

前回紹介したルーシェの定理

定理(Rouchéの定理)

f(z)g(z)が単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で

  

ならば、f(z)g(z)Cの内部で同一個数の零点をもつ。ただしここでl位の零点はl個と数える。

は、たぶん、問題を解くときには、使いづらいと思うので、別表現のルーシェの定理を紹介する。

 

定理(Rouchéの定理)

f(z)g(z)が単一閉曲線で囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で

ならば、f(z)f(z)+g(z)Cの内部で同一個数の零点をもつ。

 

z³+3z+1=0の|z<2の解の個数について考えることにする。

f(z)=z³g(z)=3z+1とすると、閉曲線|z=2(原点を中心とする半径2の円)上で

  

したがって、ルーシェの定理より、f(z)+g(z)=z³+3z+1f(z)=z³は|z<2で同じ個数の零点をもつ。

z<2におけるf(z)=z³の零点、つまり、f(z)=z³=0となる点はz=0でこれは3位の零点である。だから、

z<2におけるf(z)+g(z)=z³+3z+1の零点は3個、つまり、z³+3z+1=0の解の個数は3娘である。

また、|z<1のとき、|z=1上で

  

したがって、f(z)+g(z)=z³+3z+1g(z)=3z+1は|z<1で同じ個数の零点をもつ。g(z)=3z+1の零点、つまり、g(z)=3z+1=0の点はで、これは1位の零点。よって、|z<1におけるz³+3z+1=0の解の個数は1個である。

 

ちなみに、の実数解は、カルダノの公式から

  

複素数解を含めると

  

ここで、ω

  

 

問題 5次方程式の複素数解は2未満であることを証明せよ。

【解】

とおくと、これは閉曲線|z=2上で

  

したがって、ルーシェの定理より、|z<2におけるの零点の個数は等しい。|z<2におけるf(z)=z⁵の零点はz=0でこれは5位の零点。したがって、|z<2におけるの零点は5個。の解は5つしかないから、|z<2にすべて存在することになるケロ。

よって、

の複素数解は2未満である。

(解答終)


 


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第59回 偏角の原理 [複素解析]

第59回 偏角の原理

 

定理(偏角の原理)

関数f(z)は単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで有理型であり、C上では正則で零点をもたないとする。f(z)Cの内部に極、零点をもつとし、の位数、とすると、

  hekaku-001.png

【証明】

の1つの分枝を考えると、

  henkaku-002.png

となるので、

  henkaku-003.png

ここで、

  

とすると、C上を1周しても値は変わらないので、の変化量は、と等しい。

よって、

  henkaku-004.png

f(z)αs次の極としてもつとき、αの近くで

  

とあらわせるので、

  

αで正則だから、αの1次の極で

  

同様に、βの1次の極で

  

となる。

Cの内部にあるの極は、であるから、留数定理より

   

(証明終)

 

偏角の原理より、C上を反時計回りに1回転させると、w=f(z)w平面上で1つの閉曲線をえがくことになり、

  henkaku-009.png

と書き直せる。この式の右辺はw平面上の閉曲線Γz=0まわりの回転数をあらわす。

 

定理(Rouchéの定理)

f(z)g(z)が単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で

ならば、f(z)g(z)Cの内部で同一個数の零点をもつ。ただしここでl位の零点はl個と数える。

【証明】

Cの内部にあるf(z)g(z)の零点の個数をとする。仮定よりf(z)f'(z)C上に零点をもたないので、偏角の原理より

  henkaku-007.png

よって、

  

したがって、とおくと、仮定よりC上で|w<1

このとき、1+wは、zC上を1周すると、w=1を中心とする半径1の内部で閉曲線Γをえがくことになり、w=0のまわりの回転数は0になる。

したがって、

  

(証明終)

 

 

偏角の原理の応用として、次に、代数学の基本定理の証明を与える。

 

定理 (代数学の基本定理)

複素数を係数とするn次の代数方程式

  

n個の根をもつ。

【証明】

十分大きな正の数Rをとると、|z<R

  

Cを|z=Rとし、

  

とおき、 これに対してRouché(ルーシェ)の定理を用いると、f(z)n個の零点をもつので、g(z)n個の零点をもつことになり、定理は証明された。

(証明終)

 


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正則関数による写像 [複素解析]

正則関数による写像

 

領域Dで定義された関数w=f(z)により、D内の曲線

  

は、一般に、w平面の曲線

  

にうつされる。

特に、fDで正則で、Cが滑らかな曲線ならばfによるCの像であるΓも滑らかな曲線になる。

C₁C₂z₀を通る滑らかな曲線とし、Γ₁Γ₂w=f(z)によるそれぞれの像とする。z₀におけるC₁C₂の接線のなす角がw₀=f(z₀)におけるΓ₁Γ₂の接線のなす角に向きを含めて等しいとき、w=f(z)z₀において等角写像という。

 

定理

w=f(z)z₀において微分可能、かつ、とする。このとき、w=f(z)z₀において等角写像である。

【証明】

z₀をとおる2つの滑らかな曲線をC₁C₂とし、とする。

  toukaku-siki-001.png

とおくと、仮定よりf(z)は微分可能だから

  

である。

また、だからz₁z₀の十分近くにとるととすることができるので、

  toukaku-000.png  

これより

  toukaku-siki-002.png

偏角をとって

  toukaku-siki-003.png

一方、

  toukaku-siki-004.png

だから、

  

(証明終了)

 

したがって、のときz₀において必ずしも等角写像ではない。

 

例 とすると、n=1のときはz平面の全点で等角、n≧2のときはz=0以外で等角である。

なぜならば、n=1のとき、つまり、f(z)=zのとき、

  

であり、n≧2のとき

  

となり、z=0のときにf'(0)=0になるから。

たとえば、n=2のとき、原点を通る直線w平面上の直線にうつされ、実軸となす角度がcから2cに変わる。

 

だけれども、定理より、w=f(z)が正則な関数であれば、となる点z₀以外での等角性は保証されるので、fが定数関数でなければ、ほとんどの点で等角写像である。

 

問1 次の場合について、w=f(z)による写像が等角でないようなz平面上の点を求めよ。

【解】

(1) とおくと、

よって、
  

 

(2) とおくと、

  

したがって、f'(z)=0

  

よって、z=±1

(解答終)

 

問2 

  

による円|z=cの像を求めよ。

【解】

  

おとくと、

  

よって、|z=r=c=1のとき、

  

0≦θ<2πの範囲でθを変化させると、−1≦u≦1となりり、w平面の実軸上の|u|≦1の線分にうつる。

z≠1のとき、r=cとおくと、①より

  toukaku-siki-007.png

また、cos²θ+sin²θ=1だから、

  toukaku-siki-008.png

の楕円にうつる。

(解答終)

 


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複素関数と1次変換 [複素解析]

複素関数と1次変換

 

複素平面上の点集合Sの各点zに1つの複素数wが対応するとき、wz複素関数といい、w=f(z)で表す。このとき、z独立変数w従属変数といい、Sをこの関数の定義域という。また、zwのそれぞれの実部、虚部を分けてと書くと、w=f(z)は、実変数x,yの2つの実変数関数が与えられることと同等である。

 

関数w=f(z)が与えられたとき、変数zの値を表す複素平面をz平面、変数wの値を表す複素平面をw平面という。このとき、この関数は定義域Sに含まれるz平面上の点集合S’w平面上の点集合へうつす写像と考えられ、によるS'の像という。

 

abcdを複素数の定数とするとき、

  

の形の有理関数を1次関数という。これによって与えられたz平面からw平面への写像を1次変換という。

 

1次変換は、

c≠0のとき

  

c=0のとき

  

と変形されるから、1次変換は次の3つのタイプの1次変換の合成写像。

ⅰ) w=z+α (平行移動)

ⅱ) w=αz (原点まわりの回転と相似変換の合成写像)

ichiji_henkan-graph-001.pngⅲ)  (単位円|z=1に対する反転と実軸に対する対称変換の合成写像)

とすると、

  

だから、点zの写像と同じ複素平面上に求めるには、原点Oと点zを結ぶ半直線上にとなる点z₁をとり、実軸に関するz₁の対称点をとればよい(補足参照)。

したがって、z平面の原点を中心とする半径ρの円|zは、w平面上の原点を中心とする円|w=1/ρにうつされ、また、z平面上の原点を通り実軸と角φをなす半直線arg z=φは、w平面上の半直線arg w=−φに写される。

 

問 w=1/zにより、z平面の直線x=cy=cc≠0)はそれぞれw平面上のどのような点にうつされるか。

【略解】

z平面上の直線x=c上の点を(c,t)とし、w=1/zによってうつされるw上の点をz=u+ivとすると、

  

tを消去すると、

  

したがって、x=cは、実軸上の点を中心とする半径に円うつされる。

同様に、y=cは、虚軸上の点を中心とする半径の円にうつされる。

(解答終)

 

問の結果から、一次変換w=1/zによって、原点を通らない直線は原点を通る円に、逆に原点を通る円は原点を通らない直線にうつされることになる。

 

1jihenkan-graph-002.png 【補足】

複素平面上の点zを極形式で表すと

  

したがって、

  

また、このことから、原点を中心とする半径ρ>0の円|zは、1次変換によって

  

つまり、原点を中心とする半径1/ρの円にうつされることがわかる。

 

 


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