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一様流中に置かれた円柱まわりの流れとダランベールのパラドクス(背理) [複素解析]

一様流中に置かれた円柱まわりの流れとダランベールのパラドクス(背理)


d'Alembert-02.png複素速度ポテンシャルfが次の式

  

で与えられる流れの、|z=aのまわりの流れを考える。

z=aだから、これは原点を中心とする半径aの円で、この円周上の点は

  

とあらわすことができる。

したがって、この円周上における複素速度ポテンシャルは

  

であり、円周方向の速度は

  

になる。

半径aの円周上の流れ関数はΨ=0で一定だから、流線はこの円周と一致しており、円周方向の速度しか持っていない。


念のために、とおくと

  

これにr=aを代入すると

  

となり、同じ結果が得られた。

ここで、は、それぞれ、半径方向の速度、(反時計回りの)円周方向の速度である。


ここからは、流体力学の知識を借りる。

気体のように密度ρの小さい流体は位置エネルギーを無視することができるので、ベルヌーイの式は

 

となる。

ここで、pは半径aの円(柱)上の圧力、は無限遠点での圧力。

よって、

  


d'Alembert.png

円のx方向の圧力はpcosθだから、y方向の圧力はpsinθだから、この円にかかっているx方向、y方向の力、

  

となり、この円(柱)には力が働かない!!

つまり、速度が一様な流れの中に置かれた円柱の空気抵抗は0という、それはそれは”有り難い”結果が得られる。


これを、ダランベールの背理(パラドクス)という。

円柱だけではなく、球でも同じ結果が得られる。

流体力学が、まったく役立たずで、かつて、(「数)学者のお遊び」と呼ばれたのも道理だにゃ(^^)



第60回 複素数関数の2次元流れへの応用 [複素解析]

第60回 複素数関数の2次元流れへの応用


平面上の点(x,y)における流体の速度ベクトル

  

とし、流体の密度をρ、時刻をtとすると
  fukuso-60-01.png

が成立する。

密度ρが一定のとき、連続の式は

  

となる。

さらに、流れが渦なしの条件

  

を満たすとき、前回示したように

  

である速度ポテンシャルφが存在する。

ここで、

  

とおき、

  

となる流れ関数Ψを導入すると、これはコーシー・リーマンの関係になるので、複素関数f(z)は正則で、微分可能であるなる。

つまり、

  

そして、このように定義された複素関数f(z)複素速度ポテンシャルという。

Ψ=一定の曲線の勾配(Ψ=一定の曲線の法線ベクトル)は

  

だから、速度ベクトルVとの内積を取ると
  fukuso-60-02.png

となり、Ψ=一定の曲線は速度ベクトルと平行である。

つまり、Ψ=一定の曲線は流線である。

例1 一様な流れ

複素速度ポテンシャルが

  

の場合、

  

だから、φ=UxΨ=Uyとなる。

また、

  

だから、u=Uv=0となり、x軸に平行な速度一定の流れということになる。

 


例2

複素速度ポテンシャルが

  

の場合は、

  

したがって、φ=x²−y²Ψ=2xy

そして、複素速度は

  

だから、速度のx成分u=2xy成分v=−2yとなる。

したがって、流線の方程式は

  fukuso-60-03.png

ということになる。

 ――流れ関数Ψ=2xy=一定の曲線と上で求めた流線の方程式は一致していることがわかる!!――

流線の接線は流れの速度の方向と同じなので、この流れはx軸とy軸を壁とする流れを表している。

 


例3

  

とおくと

  

また、
  

また、

  

だから、この流れは原点と点zを結ぶ(半)直線と平行で、流線は原点を通る放射線群である。

速度ベクトルの大きさは

  

だから、速さは原点からの距離に反比例する。

また、原点を中心とする半径Rの円Cに流れ込み、そして、流出してゆく量、湧出量Qは、

  

で、半径に関係なく一定である。

m>0のときは吹き出しm<0のときは吸い込みである。


fukuso-60-graph-01.png例4

  

とおくと

  

流線(流れ関数Ψ=一定)上の点をPとすれば、∠OPa=θ₁−θ₂=一定だから、流線は原点Oと点aを通る円弧となる。

また、等ポテンシャル線はr₁/r₂が一定だからアポロニウスの円である。

また、

  

だから、点aに強さmの吹き出し、原点に強さmの吸い込みがある場合と考えることもできる。

第59回 2次元のベクトル場 [複素解析]

第59回 2次元のベクトル場


成分(u,v)のベクトル関数Aが平面上の各点(x,y)に対応しているとする。

また、平面上の基本単位ベクトルをij、この平面に垂直な基本単位ベクトルをkとする。

このとき、ベクトル場Aから次のスカラー場とベクトル場が定義される。

  fukuso-59-01.png

さらに、スカラー場φが与えられているとき、次のベクトル場が定義される。

  


問1 の発散と勾配を求めよ。

【解】

ベクトル関数Ax成分、y成分をそれぞれuvとすると、

  

だから、

  

(解答終了)

 


問2 次の問いに答えよ。

(1) 次の等式が成立すことを示せ。

  

(2) φ=x²+2xy+y²とするとき(1)の等式が成り立つことを確かめよ。

【解】

(1)

  


(2)

  

(解答終了)


(x,y)の位置ベクトルをrであらわせば、平面上の曲線はパラメータtのベクトル関数r=r(t)で、その接線ベクトルは微分drで表される。すなわち

  

である。

かりに、ベクトル場内の、ある曲線上の任意の点における接線がベクトル場Aに平行であるとする。

このとき、

  

が成立する。そして、⑤式によってその曲線が与えられる。

おそらく、何を書いてあるかわからないと思うので、ベクトル解析の故郷というべき流体力学を例に説明することにする。


ぱっと一本、曲線を引く。この曲線上のすべての点における接線(の方向ベクトル)が、運よく、たまたま、曲線上のすべての点で、その点における風向き、流れの向きと平行であるとき、この曲線を流線という。

流れの速度ベクトルの成分を(u,v)とすると、この曲線、流線の方程式は

  

電磁気学の電場だとこの曲線は電気力線である。

fukuso-59-fig-01.png
恒等的にrot A=0が成立するベクトル場A非回転渦なしという。

すなわち、

  

このとき、ベクトル場AA=grad φとなるφをもつ。

何故ならば、閉曲線Cで囲まれた領域をDとすると、グリーンの定理(ストークスの定理)より

  

そして、曲線Cを右図のように分解すると
  

fukuso-59-fig-02.pngとなり、点(x₀,y₀)と点(x,y)の線積分

  

の値は道筋によらない。

そこで、

  

と定義すると、

  

となるからである。

A=grad φであるとき、φAのポテンシャルという。φ=c(一定)の曲線を等ポテンシャル線(3次元ならば等ポテンシャル面、曲線)という。等ポテンシャル線φ=cをパラメータt

  

であらわせば、これをtで微分すると
  
である。したがって、φの勾配grad φと等ポテンシャル線φ=cとは直交する。

何故ならば、

  

だから。

また、div A=0となるベクトル場を管状場という。

管状場でかつ渦なし場のとき、

  

したがって、φ調和関数である。


複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める [複素解析]

複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める


平面上を移動する動点Pの時刻tにおける位置ベクトルをrとすると、速度ベクトルv、加速度ベクトルaは次式で与えられる。

  

平面の基本ベクトルを、また、時刻tにおける点Pの座標を(x,y)とすれば、

  

となるので、
  fukuso-vector-01.png

である。

速度ベクトルと加速度ベクトルを

  

とあらわせば、
  fukuso-vector-02.png

から、




複素数zは、その実部をx、虚部をy、さらに虚数単位をii²=1)とすると、z=x+yiで表される。

そして、横軸に実軸、縦軸に虚軸をとると、複素数z=x+yiは右の図で示される。

右図を見ると、複素数が平面ベクトルと同等のものであることがわかると思う。


この手法を用いれば、

  

と速度ベクトル、加速度ベクトルを簡潔に表現できる。

fukuso-vector.png右図に示すように、原点Oと点zと結ぶ線分と実軸のなす角度(反時計回りを角度の正の向きとする)θ、原点Oと点zとの線分の長さを

  

で定義することにする。

そうすると、zの実軸の成分x、虚軸の成分y

  

となる。

つまり、

  

となる(極形式)。

これをオイラーの関係

  

で書き換えると、

  

となる。
  

これをtで微分すると、

  

ここで、記号「・」はtによる微分

  

をあらわす。

は大きさが1でと方向が同じベクトルと考えることができる。


また、

  

ベクトル(cosθ,sinθ)とベクトル(−sinθ,cosθ)の内積を取ると

  

となり、は直交している。

そして、その大きさは

  

で1。

も大きさが1だから、互いに直交する単位ベクトルを元にした座標系を作ることができる。

この新たな座標は何かといえば、対応規則からあきらかなように、極座標!!

fukuso-vector-fig-02.png


そこで、

  

をもう一度見なおすと、速度ベクトルvの基本ベクトル方向の成分、基本ベクトル方向の成分ということになる。

そして、速度ベクトルvをさらに微分すると、
  

となることから、

  


以上のことをまとめると、

極座標における速度、加速度のr方向、θ方向の成分は

  



ここでは、が直交していることを内積を使って示したが、

  

だから、を90°π/2(rad)回転させたものであることはあきらか。


あの積分、∫₋₁¹(1/x)dxに立ち返る [複素解析]

あの積分に立ち返る


再び、次の積分に戻る。

  


何も考えずに、不定積分の公式に使えば

  


このような答案を試験の際に書くと、大学の先生は、決まって、「広義積分を理解していない」、「公式の濫用だ」と声高に叫ぶ。


そこで、ならばと、複素関数の積分の知識を使って次のように解いてみることにする。


実数で定義される1/xという関数を、次のように、複素数に拡張する。

  

Zは複素数(全体の集合)で、Z−{0}は、複素数から0だけを取り除いたもの。

そうすると、f(z)0以外の複素平面上の全ての点で正則になる。


そこで、積分の経路を下図のように複素平面上にとることにする。


fukuso-anosekibun-01.png

円弧ABCは半径1の円弧、円弧DEFは半径ε>0の円弧。

そうすると、円弧ABCと線分CD、円弧DEF、線分EAで囲まれた曲線の内部でf(z)は正則だから、この積分路にそった積分の値は0になる。つまり、

  

積分

  

は実軸に沿っての積分だから

  

になる。

ところで、円弧ABCは半径1の円の半円だから

  

とおくと、

  

円弧DEFは半径ε>0の半円だから

  

とおくと

  

したがって、(1)の積分は

  

となる。

つまり、

  


大学の先生が声高に「公式の濫用」と叫ぶ公式⑨がよみがえる(^^


これまで、複素積分の定積分の応用でやってきたタイプⅡ、タイプⅢ、ジョルダンの補助定理、さらに、

  

といった積分の値を求めるとき、大学の数学の先生は、自身、⑨の公式と同じ手法をを使っておきながら、⑨の公式だけを声高に非難する(^^

この手法が胡散臭い(?)ことを知っていながら、確信犯的に⑨の公式(と同じ手法)を使って講義を受けている学生達を幻惑することが多いのだから、なお、質(たち)は悪くて、その罪は重い。万死に値すると言ってもいい(^^ゞ


⑨の能力を過信しすぎだケロ。⑨にそんなことがわかるはずがないにゃ。⑨の能力を舐めてはいけないにゃ。ないことをあることに、あることをないことにし、禁則、タブーを平気で犯すのが⑨であり、その上をゆく⑨³なのだから。





高木貞治の『解析概論』(岩波書店)には次のように書いてある。

 

εε’は独立である。

たとえば、[−1,1]内でx=0において1/xは不連続で

  

ここでε=ε’とすれば

  


となるけれど、

  

0であることを意味しない。

それは

  

であるべきだが、この極限は存在しない。故には無意味である。それは収束しない(発散する)。

上記においてが存在しなくても、もしも独立変数εε’の間に特別の関係を付けるならば上の例のように極限値が存在することもある。特にεε’とするときの極限値をCauchy主値value principle)と名づけた。Cauchyは虚数積分の考察(解析函数論の前身)において、そのような極限値に遭遇したのであった。現今でも、文献において、積分の主値なる語が上記の意味で、かりおり、用いられる。

(註:一部編集)

(3)の極限が存在しないことは、たとえば、ε=2ε’とすれば、(3)の値はlog2となり、log1、つまり、0とは違った値になる。εε’0への近づき方によって極限値が異なってしまい、極限値が1つの値に定まらないことから明らか。



第58回 留数定理の定積分への応用 問題編3 [複素解析]

第58回 留数定理の定積分への応用 問題編3


タイプⅢ 

f(z)は複素平面の上半平面Imz≧0で有限個の極を除いて正則であり、またはとする。

このとき、

  fukuso-58-01.png

f(x)が偶関数のとき

  fukuso-58-02.png

f(x)が奇関数のとき

  fukuso-58-03.png

問題1 次の定積分を求めよ。

  

【解】

  

とおくと、f(z)は偶関数、

  

で、上半平面にもつ極は1位の極z=iaのみ。

留数を求めると、

  

したがって、(2)より

  

(解答終了)

この問題は、上の公式を使わずとも、次のように計算することができる。


【別解】

fukuso-58-graph-01.png  

とおく。

  

だから
  

だから、

  

右の図の積分路に沿って積分をすると、積分経路内にある極はz=iaだから、留数は

  

したがって留数定理より

  

また

  
だから、

  fukuso-58-07.png

(別解終)


問題2 a>0b>0のとき、次の定積分の値を求めよ。

  


【解】

(1)

  

とおくと、f(z)は奇関数で、上半平面に1位の極z=iaをもつ。

また、

  

留数を求めると、

  

したがって、(3)より

  


(2)

  

とおくと、これは奇関数。

また上半平面に2位の極z=iaをもち

  

したがって、留数は
  fukuso-58-05.png

(3)式より

  

(解答終了)


  


第57回 留数定理の定積分への応用 問題編2 [複素解析]

第57回 留数定理の定積分への応用 問題編2


タイプⅡ 

f(z)は複素平面の上半平面(Imz≧0)で有限個の極を除いて正則であり、実軸上に極を持たず、かつとする。

このとき、

  

特に、f(x)が偶関数のとき、

  



問題1 次の積分の値を求めよ。

  

【解】

  

とおくと、これはタイプⅡの条件を満たす。

何故ならば、|z=Rを十分大きく取ると

  

で、f(z)の上半平面の極はの3点であるから。

極は1位の極だから、留数は

  fukuso-57-01.png

したがって

  

(解答終了)



留数の計算には

  

で、αg(z)の1位の零点であるとき

  

を使っている。

この問題の場合、h(z)=z⁴g(z)=z⁶+1として計算している。


また、|z>1のとき

  

を使っている。

ちなみに、

  

の不定積分は
  

となるので、この不定積分の結果を利用し

  

を求めることも可能である。

 


問題2 次の定積分の値を求めよ。

  

【解】

(1)

  

とおくと、これはタイプⅡの条件を満たす。上半平面のf(z)の極はz=iだから、留数は

  

f(z)は偶関数だから、留数定理より

  



(別解)

  


(2) この積分もタイプⅡの条件を満たす。

  

となるので、f(z)は上半平面にz=iの2位の極を持つ。

したがって、留数は

  fukuso-57-04.png

f(z)は偶関数だから、留数定理より

  

(解答終了)

なぜ、f(z)(z−1)²をかけて微分をすると留数が求まるかですがこれはこういう仕組み。

f(z)z=aの2位の極をもつとすると、この関数のローラント展開の主要部は

  

になる。

  

この両辺をzで微分すると

  fukuso-57-05.png


mm>1)位の極を持つ場合、

  


第56回 留数定理のの定積分への応用の問題編1 [複素解析]

第56回 留数定理のの定積分への応用の問題編1


定理(留数定理)

関数f(z)が単一閉曲線Cを境界とする領域に有限個の孤立特異点を持ち、これら以外では境界Cも含めて正則であるとき、

  fukuso-56-01.png

 


タイプⅠ 
ここでf(X,Y)X,Yの有理関数。

と置くと、

  fukuso-56-02.png

となり、[0,2π]は単位円周|z=1に移るから、

    

 


問題1 次の定積分の値を求めよ。

  

【解】

とおくと

  

さらに

  

よって、
  

ここで、

  

とおくと、f(z)は単位円|z|=1の内部にz=1/2を1位の極として持つ。

したがって、留数は

  

留数定理より

  

だから、

  

(解答終了)

 


問題2 次の定積分を求めよ。

  

【解】

fukuso-56-graph-01.pngx=πに関して対称だから

  

である。

とおくと

  

さらに

  

だから、

ここで、

  

とおくと、f(z)の極はz=1/az=a

したがって、f(z)の留数は

  fukuso-56-08.png

a<1のとき、単位円|z=1の極はz=aのみだから

留数定理より
  fukuso-56-09.png

a>1のとき、単位円|z=1の極はz=1/aのみだから

  fukuso-56-10.png

この2つの結果をまとめて

  

(解答終了)

 


問題3 0<r<Rとするとき、

  fukuso-56-11.png

を求めよ。

【解】

  fukuso-56-12.png
0<a=r/R<1
とおき、問題2の結果を使うと

  

(解答終了)



問題4

  fukuso-56-14.png

【解】

a=bのとき

  

a≠bのとき

三角関数の倍角公式より

  

したがって、
   

したがて、

  

ここで、t=2θとおくと、θ=0のときt=0θ=πのときt=2π、さらにdt=2dθだから

  

ここで、a²+b²=αa²−b²=βとおくと

  

となり
  fukuso-56-16.png

(解答終了)



  

は、第53回で求めてあるので、そちらを参照。

 


問題4は、とおいて解くのが一般的だろうが、こうすれば実積分として積分の値を求めることができる。


補足説明の補足説明 [複素解析]

fuku-minus1.png  

となるのはわかるよね。

オイラーの公式より

  teisei-01.png

偏角θに−π<θ≦π0≦θ<2πという制限を設けないときには

  

となる。

という関数は、三角関数のsinθcosθと同様に周期の周期関数、つまり、

  

そして、の絶対値

  

であることは、お忘れなく。

複素積分の補足説明(留数を求める方法) [複素解析]

複素積分の補足説明(留数を求める方法)


複素解析のところで、留数定理の定積分への応用の具体例についてほとんど述べなかったので、これを明日以降、3回ほどやることにして、その序言のかわりとして、復習をかねて、前回取り上げた問題を例に、留数を求める方法について簡単に説明することにする。


z=aが複素関数f(z)の特異点で1位の極のとき、z=aのまわりでのローラン展開は

  

したがって、留数は

  

と求めることができる。

また、g(z)z=aを1位の零点をもつ正則な関数。h(z)z=aを零点にもたない正則関数とするとき、

  

の留数は次のように計算することができる。

  

何故ならば、

g(z)h(z)z=aまわりにテーラー展開するとき

 

となるとすると、
  

だから。


さらに、補足説明をすると、

  

なぜ、g(z)b₀という係数、項が無いかといえば、z=aが1位の零点だから。また、1位の零点だからb₁≠0でもある。

複素関数

  

とおく。

で、

  

とおき、この零点、つまり、g(z)=0となる点を求める。

  

として、2次方程式z²±√2z+1=0を解いてもいいけれど、この方法は少し大変。

そこで、

  

とおくと、z⁴=−1だから

  

これからr=1となり

  

したがって、z⁴+1=0の解は

  

これでもいいけれど、これでは解が無限に存在するように見えるので、nを非負の整数とし

  

とすると、n=0,1,2,3の4つに定まる。

z^4+1=0_no_kai_fig.pngしたがって、この解はの点になる。

この点を複素平面(ガウス平面)上に描くと右の図のようになる。

 


しかし、この解を次のように求めることも可能。

  

や、もっと直裁的に

  

実は、複素関数論的にはこれでもいいんだよね〜。

何故だろうか(^^)

話を、留数の計算に戻す。


g(z)=z⁴+1の零点はどれも1位。

何故ならば

  

となるから。

そして、複素平面の上側にある点はの2点のみ。

もちろん、2式を使って留数を求めてもいいけれど、計算が大変なので(3)式を使う。

  

だから、

  

したがって、

  



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