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お前らに質問(8月28日)の答えだケロ!! [偏微分]

お前らに質問(8月28日)の答えです。

 

問題1 次の関数fの定義域を答えよ。

 

この答えは、(3)の「わかるか、ボケ!!」です。

 

(1)の0≦x≦1は、関数2x、合成関数f(2x)の定義域です。

(2)の0≦x≦2は、関数2x(定義域0≦x≦2)の値域で、関数fの定義域Dの部分集合です。

ですから、正解は(3)の「わかるか、ボケ!!」です。

 

(2)と答えたヒトには半分くらい点数をやってもいいかな(^^

 

問題2 次の等式は一般に成立するか。

  

ただし、aは定数である。

 

この等式は一般に成立しません。

  

の意味なので、一般に

  

です。

 

だから、合成関数f(ax,ay)xに関する偏微分を

  

と書いてはいけない。これは意味が違う。

 

これは1変数の合成関数の微分でも同じことが言える。

  

とすると、

  

であって、

  

である。

 

合成関数f(ax)の微分は、u=axとおくと、

  

だから、f'xで微分したものではないんだケロよ。

同様に、合成関数f(ax,ay)xに関する偏微分は

  

など書くべきであり、ものすごくうるさいことを言うと、重箱の隅を突きをすると

  

と、さり気ない顔で、涼しい顔をして、すり替えるのはすこし問題があるのであった。




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お前らに質問!!(8月28日) [偏微分]

関数の超〜基本問題だケロ。お前ら、解くケロ!!

 

問題1 次の関数fの定義域を答えよ。

  

 

 

答えは、三択にしておこう。

(1) 0≦x≦1

(2) 0≦x≦2

(3) わかるか、ボケ!!

 

どれでしょうか?

正しく答えられるヒトは意外に少ないのかもしれない。

 

 

問題2 次の等式は一般に成立するか。

  

ただし、aは定数とする。


一般論として、「成立するか」という問の答えは、「成立しない」の場合が圧倒的に多い(^^)

成立する場合は、「このことを証明せよ」と問うから。



もう一曲!!



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包絡線 [偏微分]

包絡線


αをパラメータとして含む曲線群

  

の各曲線と1点だけで接する曲線を包絡線という。

f(x,y,α)級とする。

曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xyαの関数である。

これを

  

とする。

(1)と(2)は接するのだから、

  

また、φ(α)ψ(α)f(x,y,α)=0上の点だから

  

これをαで微分すると、
  hourakusen-siki-001.png

ゆえに、包絡線は

  

の交点である。

逆に(4)の2つの方程式から

  

であるαの関数が存在するとする。

(4)より

  H-siki-02.png

(5)をαで微分すると、

  

(6)よりだから

  

したがって、でないならば接する。


少し補足説明する。


horaku-001.png例えば、

  

という曲線(群)があるとする。

αの値を一つに固定すると、たとえば、α=1とすると、①は中心(1,0)、半径1の円になる。

次にα=1/2とすると、中心(1/2,0)、半径1/2の円になる。

このようにαを変化させれば、中心(α,0)、半径|α|の曲線群を得ることができる。

図から明らかなように、この曲線群は、αの値にかかわらず、y軸、つまり、x=0に接する。

つまり、x=0が①の包絡線ということになる。



問題1 次の曲線群の包絡線を求めよ。

H-siki-03.png

【解】
(1) αで偏微分すると

  H-siki-04.png

で、

  H-siki-05.png

よって、包絡線は放物線y²=4x


(2)

  

①をαで偏微分すると、

  

①と②を2乗して足すと

  

よって、包絡線は原点を中心とする半径pの円。

hourakusen-002.png(3)

  

αで偏微分すると、

  

したがって、

  

x=−1は包絡線。

x=0は特異点の軌跡。

(解答終了)

  

とすると、
  H-siki-06.png

したがって、x=0y=αは特異点。

また、

  

よって、(x,y)=(0,α)において

  

(0,α)は結節点で接線は2本引ける。

 


問題2 次の包絡線を求めよ。

(1) 円x²+y²=r²y軸に平行な弦を直径とする円の曲線群

(2) 座標軸で切り取られる部分の長さが一定である曲線群

【解】

graph-500.png(1) 弦の両端をAB、その中点をCとし、C(α,0)とする。

三角ACOは直角三角形だから、ABを弦とする円の半径AC
  H-siki-07.png

よって、円の方程式は

  

αで偏微分すると、

  

これを①に代入すると、

  H-siki-08.png


(2) 直線の方程式を

  

とすると、条件より

  

①をαで偏微分すると、
  H-siki-09.png

②をαで微分すると

  H-siki-10.png

③に代入すると、

  H-siki-11.png

とおくと、

  

これを①に代入すると、

  

②に代入すると、

  

④を②乗したものと⑤の辺々を掛けると、
  H-siki-12.png

よって、アステロイドになる。

(解答終了)

第26回 平面曲線2 [偏微分]

第26回 平面曲線2

前回に続きまして、f(x,y)=0で表される平面曲線をやりますにゃ。

で、まず、前回のおさらい。
関数f(x,y)級(偏微分可能で、偏微分した関数が連続)であり、点(a,b)をこの曲線上の点とするにゃ。
このとき、

が同時に0にならない点(a,b)通常点
になる点(a,b)特異点というケロ。


さらに、(a,b)が通常点であるならば、この点(a,b)での接線はただ一つで

になるケロ。


ここまでが前回の復習。

で、f(x,y)級関数、点(a,b)f(x,y)=0の特異点とする。それで、が同時に0にならないとき、この点(a,b)2重点という。


それで、

とするとき、

2重点は

 (1)D<0ならば結節点で、点(a,b)で相異なる2接線が引ける

 (2)D=0ならば通常は尖点で、点(a,b)で接線は1本
 (3)D>0ならば孤立点で、その小さな近傍での曲線の部分は点(a,b)である

という性質を持っている。


何故かは知らないにゃ。


ちなみに、
結節点は
graph1-1.GIF
この図形の点(0,0)のところ。

尖点は

graph1-2.GIF
の原点(0,0)。

孤立点は
graph1-3.GIF
の原点だにゃ。

で、問題を一つ。


問題 次の曲線の特異点を調べ、曲線の概形を描け。

【解】

まずは、

とおいて、偏微分するにゃ。

shiki-27-1.png

だにゃ。

このことから、として、特異点を求めるにゃ。

(0,0)が曲線にあることは明らかだけれど、(0,−2a/3)が曲線上にある保証はないケロ。

で、a≠0として、実際に計算してみると

となる。

このことから、(0,−2a/3)が曲線上の点であるためにはa=0となり、結果的に、特異点は(0,0)だけとなるにゃ。これで特異点は求まったにゃ。
で、判別式Dを使って、特異点の種類を調べるにゃ。このためには2階偏微分が必要なので、計算するにゃ。


これから、点(0,0)が2重点あることがわかるにゃ。
さらに上の結果を使って、点(0,0)での判別式Dの値を求めると


となる。


以上のことから、点(0,0)
a>0
ならばD<0で結節点
a=0
ならばD=0で尖点
a<0
ならばD>0で孤立点
となるケロ。


で、前の3つの図はa=1a=0a=−1ののものなんだにゃ。

腕に自身のある奴は、次の宿題を解いてみそ。

宿題 次の曲線の概形を描け。

第25回 平面曲線の接線の方程式 [偏微分]

第25回 平面曲線の接線の方程式


通常点と特異点


f(x,y)級とし、a=(a,b)を曲線f(x,y)=0上の点とする。
このとき、が同時に0にならないときa通常点といい、となるときは特異点という。

それで、陰関数定理より
ならばaの近傍でこの曲線はy=φ(x)
ならばaの近傍でx=φ(y)
と表すことができるケロ。


また、通常点aではただ一つの接線が存在し、その方程式は

となる。


このことは、のとき、


となり、接線の方程式が


となることからわかると思うにゃ。



ということで、簡単な問題をやってみるにゃ。

問題 次の曲線の点での接線の方程式を求めるケロ。

【解】

だから、点での接線の方程式は①より


 

これは、当然だけれども、1変数の微分を使って

と一致する。

違ったら、大変だケロ(^^)

それで、①の良い点は、の場合で考えてみるとわかるにゃ。


あまりうるさいことを考えないで、機械的にdy/dxを求めてみるにゃ。


になるので、


になるね。このことから、点(±1,0)dy/dxが存在しないことがわかるにゃ。y=0だから、数学の大禁則ゼロ割りが発生してしまうからだにゃ。
つまり、点(±1,0)でこれは微分可能じゃないんだケロ。だから、


とかは使えないにゃ。


でも、①式は


と接線の方程式が出てくるんだにゃ。
凄いと思わないケロか?

「⑨ネコ、ちょっと待った!!」

「何だよ」

となるので、陰関数定理から、y=φ(x)と一意に決まる保証がないじゃないか」
「オレが書いた部分をよく読んでみるにゃ。この点ではだから、(1,0)の近傍ではx=φ(y)と一意に決まるんだよ。だ・か・ら、問題は発生しないにゃ」

だけど、


だと、

となり、点(0,0)が特異点になるので①は使えない。

しかも、この点では接線が2個あるんだケロ。

この話は次回ということで。


第24回 極値に関する問題の演習 [偏微分]

第24回 極値に関する問題の演習

問題1 次の関数に極値があれば求めよ。

  

【解】

(1) とする。

で、これをxとyに関して偏微分をして停留点を求めるにゃ。
すると、

  

となり、この連立方程式を解くと(x,y)=(0,0)

  

だから、

  

は極小値。

(2) 

  

となり、(x,y)=(0,0)は停留点。
  

なので、f(0,0)= 0は極値でない。

(3) これは見ただけで最小値が3だとわかるにゃ。

  

  

とすれば、

  

等号成立は

  

の時で、(x,y)=(1,1)だにゃ。

  

だから、

  

とやりたいところだけれど・・・。

  

これを解くと(x,y)=(1,1)になるにゃ。

たぶん、

  

になる。

でも、x=0だと、

  

でゼロ割が発生するので、x=0は解として不適。だから、x=y=1

  
となるので、これに(x,y)=(1,1)の値を代入すると、A>0D>0になり、f(1,1)=3が極小値であることがわかるケロ。


問題2 shiki-25-01.pngの定める陰関数yの極値を求めよ。
【解】
shiki-25-02.pngとする。

で、

  shiki-25-03.png

となるので、

  shiki-25-04.png

と連立させて、これを解くにゃ。

  shiki-25-05.png

になるので、
  shiki-25-06.png

となって、この連立方程式の解(x,y)(1,−3)(−1,3)だにゃ。
で、

  shiki-25-07.png

だから、

  shiki-25-08.png

となるにゃ。

だから、(1,−3)ではshiki-25-09.pngとなり、極小。(−1,3)ではshiki-25-10.pngとなり極大。

よって、x=1のとき極小で、極小値は−3x=−1のとき極大で、極大値は3となる。



問題3 次の関数fの示された条件での極値を求めよ。
  shiki-25-11.png
【解】
shiki-25-12.pngとして、ラグランジュの未定乗数法を使うと

  shiki-25-13.png

となるにゃ。
最初の2式より

  shiki-25-14.png

となるので、

  shiki-25-15.png

よって、

  shiki-25-16.png

で、

  shiki-25-17.png

よって、

  shiki-25-18.png

(x,y)=(1/√5,4/√5)のとき極大で極大値は√5

(x,y)=(−1/√5,−4/√5)のとき極大で極大値は−√5

になる。

y=4x
という関係があるので、

  shiki-25-18.png

として計算してもいいケロ。

こっちの方が計算は楽だにゃ。

第23回 2変数関数の極値のまとめ [偏微分]

第23回 2変数関数の極値のまとめ


これまで2変数関数の極値の求め方について説明してきましたにゃ。

で、ここで改めて2変数関数の極値に関する定理をまとめて書くにゃ。

まず、極値(極大値、極小値)の定義から。

関数f(x)=f(x,y)の定義内の点をa=(a,b)とする。正の数δを適当に小さくとれば、fの定義内の点xに対して、


になるとき、fは点aで(狭義の)極大という。


になるときfは点aで(狭義の)極小という。

ここで、斜体字のxx=(x,y)a=(a,b)だと思ってくださいな。斜体の太字は、ベクトルを表すんだにゃ。


で、次は2変数関数の極大・極小の判定に関する定理。

定理 (2変数関数の極値の判定)
関数f(x,y)を開集合Uで定義された関数とする。

(1)fが偏微分可能なとき、fが点(a,b)で極値をとるならば、

である。この条件を満たす点(a,b)停留点という。
(2)fが級の関数とする。点(a,b)が停留点ならば、


とするとき、


である。


極値の判別式であるDは、基本的に2次方程式の判別式と同じものなので、本によっては

で定義しているものがある。このとき、D<0になる時に極値が存在することになるので、ここは注意して欲しいにゃ。


2次不等式のところで、


としたとき、すべての実数でf(x)>0がになるとき、


になるという話をしたけれど、これと基本的に同じなんだにゃ。


判別式のacの前の係数が14で違うじゃないかと疑問に思うかもしれないけれど、極値の判定のときは


の時の判別式になっていて、


になるので、


になる。判別式で欲しいのは、正負の符号と、それが0になるかどうかだから、このD/4も判別式と呼ぶんだにゃ。

つぎは、f(x,y)で定まる陰関数y=φ(x)の極値に関する定理。

定理 (f(x,y)=0で定まる陰関数の極大・極小)
f(x,y)
級の関数、y=φ(x)f(x,y)=0で定まる陰関数であるとする。このとき、このときy=φ(x)aで極値b=φ(a)をとるならば、


であり、


である。

何でこうなるかは、極値をとる点(a,b)では


となり、極大のとき


で、極小のとき


となるから。
「−」がかかっているので、0との大小関係が変わっていることに注意して欲しいにゃ。



最後にラグランジュの未定乗数法の定理。

定理 (ラグランジュの未定乗数法)
f(x,y)
g(x,y)級関数とする。条件g(x,y)=0f(x,y)が極値をとる点(a,b)では、定数λがあって、次が成り立つ。



これも本によったら、

となっている場合があるので、注意をして欲しいにゃ。

式の形が少し違っているから面食らうかもしれないけれど、この2つの式は同じ内容を表しているにゃ。

この3つの定理を知っていれば、2変数関数の極値問題は、とりあえず、解けるはずだにゃ。

 

これまでにも何度も出てきているけれども、級関数というのはn回(偏)微分できて、その(偏)微分した関数が連続である関数のことね。

や三角関数、指数関数、対数関数は何回でも微分できて、その微分した関数は連続だから、理論的な問題以外では、級なんて気にすることないにゃ。



第22回 違う方法で解く [偏微分]

第22回 違う方法で解く



問題1 のとき、x+yの最大、最小値を求めよ。

【別解1】

x+y=kとおき、y=k–xに代入する。


xは実数なので、上のxの2次方程式は実根を持たなければならないにゃ。

で、判別式を使うと、

でなければならない。

よって、最大値は√2、最小値は−√2

【別解2】

なので、x=cosθy=sinθとするにゃ。

よって、最大値は√2で、最小値は−√2


この他にも解答は幾つか考えられるけれど、このあたりが代表的なものなんだろう。
ちょっと毛色の違う解答を示すならば、コーシー・シュワルツの不等式

をつかって、

とすることもできるにゃ。



問題2 のとき、の最大値と最小値を求めよ。
【別解1(?)】


だケロ。

ここで、相乗平均≦相乗平均

を使うにゃ。

とすると、

だから、

となるにゃ。

で、


なので、


となる。

等号が成立するときは

なので、

それで、

このことから、

となり、・・・。
相乗平均≦相加平均を使うときは、これを満たすxとyなどの値が存在することを示さないといけないにゃ。問題によっては、そんなxとyが存在しないことがあるので。


【別解2(?)】


として、


と正弦関数の2倍角の公式を使ってもいいにゃ。

そうすれば、

というのがすぐに出てくるケロ。

だから、・・・。

前回やった程度の問題ならば、ラグランジュの未定乗数法や微分積分すら使う必要がないんだにゃ。


「ラグランジュの未定乗数法をどのように使うか」の練習問題だったワケなんだにゃ。

という制限がついている時、x=acosθy=asinθとすると、1変数関数の最大、最小問題に直せるので、こうした方が一般的に計算や議論が楽だにゃ。


ならば、x=acosθy=bsinθとするにゃ。
のときは、

と考え、


とすればいいにゃ。



第21回 ラグランジェの未定乗数法 [偏微分]

第21回 ラグランジェの未定乗数法


たとえば、x+y=1のとき、

  

の最小値を求めよという問題があるとするにゃ。

これやy=1–xとyを消去すれば、
  

となるので、x=(y=)1/2のときに最小で、最小値は1/2となることがわかるにゃ。

微分を使って、
  

などから、最小値を求めてもいいにゃ。

だけど、
のとき、の最小値を求めよ

というような問題だと、xやyを消去してというわけにはちょっといかない。


しかし、ラグランジェの未定乗数法という方法を使うと、こうした制限付きの極値問題や、最大値・最小値の問題を解ける場合がある。

だから、ねこ騙し数学においても、ラグランジュの未定乗数法をやろうじゃないか、という訳だにゃ。


仮にφ(x,y)=0という制限がついていたとするにゃ。φ(x,y)級で、ならば、陰関数定理より、φ(x,y)=0で定まる陰関数y=ψ(x)が存在するにゃ。

だとすれば、
  

となり、これをxで微分すれば

  

で、陰関数定理から

  

となるから、

  

となるにゃ。

で、g(x)x=aで極値をとるとするとg'(a)=0なので、b=ψ(a)とすると、

で、

  

とすると、

  

さらに、ならば、

  

となり、

  

も成立するにゃ。

  

が成立するのは、(A)より

  

となり、なので、

  

で、

  

でもある。

未知数はa、b、λの3つ、方程式は①、②、③の3本だから解けるはずだ、というわけだケロ。

本当に、このラグランジュの未定乗数法で解けるか、最初の例でやってみるにゃ。

  shiki-21-01.png

とするにゃ。

で、

  shiki-21-02.png
として、これをxyでそれぞれ偏微分すると、

  shiki-21-03.png

となるにゃ。

この上の式を下の式で引けば、x=yになるので、x+y–1=0と合わせれば、x=y=1/2となり、このことから、f(x,y)の極値(?)が

  shiki-21-02.png
という訳だにゃ。



問題1 shiki-21-05.pngのとき、x+yの最大値と最小値を求めよ。
【解】

  shiki-21-06.png
として、ラグランジュの未定乗数法を用いる。
  shiki-21-07.png

よって、

  shiki-21-08.png

これを

  shiki-21-05.png

に代入すれば、λは出てくるけれど、欲しいのはλじゃなくて(x,y)だから、x=yを使えば

  shiki-21-09.png

となり、このことから

  shiki-21-10.png

となり、x+yの最大値が√2、最小値が−√2であることがわかるにゃ。



問題2 shiki-21-11.png のとき、shiki-21-12.pngの最大値、最小値を求めよ。
【解】

  shiki-21-13.png

とするにゃ。

  shiki-21-14.png

このことから、

  shiki-21-15.png

そして、

  shiki-21-16.png

④、⑤、⑥の連立方程式を解けばいいんだけれど、これは問題1の時と違ってちょっと厄介なんだケロ。

④から
  shiki-21-17.png
これを⑤に代入すると、
  shiki-21-18.png

この両辺に−2をかけて整理すると、

  shiki-21-27.png

になる。

で、
  shiki-21-20.png

ならば、これで両辺を割ることが出来て、x=0となり、そして、y=0となるにや。

でも、これは⑥式を満たさないから、
  shiki-21-28.png

でなければならない。
で、このλに関する②次方程式を解けば

  shiki-21-21.png

となるにゃ。

で、λ=−1を④に代入すると、
  shiki-21-22.png

これを⑥式に代入すると、

  shiki-21-23.png

λ=−5を④式に代入すると

  shiki-21-24.png

これを⑥式に代入すれば、

  shiki-21-25.png

となる。
この4つを

  shiki-21-26.png

に代入すれば最大と最小値は出てくるにゃ。

最大値は20、最小値は4になるはずだにゃ。

  shiki-21-29.png
の時が最大で20、

  shiki-21-30.png

の時が最小で4になるはずだにゃ。

線形代数なんかを知っている人は、④と⑥の連立方程式を解く時、これが(x,y)=(0,0)の時

  shiki-21-31.png
でなければならない、とするとオシャレにゃ。



第20回 陰関数の微分2 [偏微分]

第20回 陰関数の微分

前回、f(x,y)=0によって定められるy=φ(x)の微分が

  

になるということをやりましたにゃ。


これをさらにxで微分するとどうなるか、これをやってみるにゃ。

  

とすると、

  

だから、

  

それで、

  

になるので、

uvu'v'を①に代入して、真面目に計算すると、

  
となるにゃ。


こんな式を覚える必要はないにゃ。


ただ、これを使うと、f(x,y)=0によって定められる陰関数y=φ(x)の極値の判定が便利になるにゃ。
というのは、極値になる点ではy'=0となるので、

  
よって、極値のところで、⑨は

  

になる。


だから、②式を使って陰関数y=φ(x)の極値の判定ができるというわけだにゃ。


 

ということで、これを定理とするにゃ。


定理
関数f(x,y)tとする。このとき、f(x,y)=0で定まるy=φ(x)x=aで極値b=φ(a)をとるならば、

  

さらに、

  
である。

これを使って前回の問題を解いてみるにゃ。


問題1

shiki-21-01.png

で定められる陰関数の極値を求めよ。


【解】
極値のところではf_x(x,y)=0にならなければならないので、

  shiki-21-02.png

これと、

  shiki-21-01.png

より、

  shiki-21-03.png
になる。

で、極値なる点では

  shiki-21-04.png

だから、

  shiki-21-05.png

となり、x=1/√3のところでは極小。

  shiki-21-07.png

x=−1/√3のところでは極大。

よって、

  shiki-21-08.png
となる。

前回の解答より計算量が減っていて、楽になっているんじゃないケロか。


これはf(x,y)の極値の問題ではないので、

shiki-21-09.png

から停留点を求めてはいけないにゃ。
今、やっているのは、f(x,y)=0で定まるy=φ(x)の極値を求める問題なので、混同をしないで欲しいにゃ。


問題2
  shiki-21-10.png

から定まるy=φ(x)の極値を求めよ。

【解】

これはさすがにy=ホニャララの形に表すことは難しいにゃ。
―――3次方程式には解の公式があるので、出来ないことはないが・・・―――
  shiki-21-11.png

として、

  shiki-21-18.png

から停留点を、まず、求めるにゃ。

  shiki-21-12.png

また、

  shiki-21-14.png

なので、x=0を代入して、上の方程式を解くと、

  shiki-21-15.png

になり、停留点は(x,y)=(0,0),(0,1),(0,−1)になるケロ。
で、

  shiki-21-16.png

よって、

  shiki-21-17.png

となり、

x=0y=0のとき、極小値で、x=0y=1x=0y=−1のとき極大値となる。

 


「ちょっと待った、⑨ネコ。この陰関数はx=0のところで、3つも値があるじゃないか。しかも、x=0のところで極大値と極小値を持ち、極大値の一つは−1で極小値の0より小さいじゃないか!! おかしいんじゃないか!!」


「だ・か・ら、前回、『これは厳密なことを言ったら関数じゃない』って言ったにゃ。陰関数というのは、結構、胡散臭いところがあるんだケロ。」