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tan⁻¹{tan(9π/4)}の答え [数学基礎]

問題 次の値を求めよ

  

【答】 π/4(=45°)

皆さん、正しく答えられたでしょうか(^^)

ウソじゃないケロよ、電卓で計算してもこうなるケロ。

dentaku-kotae-01.png

dentaku-kotae-02.png


9π/4と答えたヒトは間違いですから注意するにゃ。

sin⁻¹cos⁻¹tan⁻¹などには逆三角関数という名称がついているけれど、これらの関数は厳密に(写像的な観点から)言うと逆関数じゃないので注意。似て非なるものです。

参考までに、三角関数のグラフ。




たとえば、y=tan xの場合、定義域を−π/2<x<π/2といった制限を加えないと、1対1対応にならず、y=tanxの逆関数としてのtan⁻¹y=x定義できないのであった。

この表現は誤解を招くかもしれないので、こう言い換えるべきだ。

tan⁻¹y=x (−∞<y<∞,−π/2<x<π/2)は、y=tan x (−π/2<x<π/2, −∞<y<∞)の逆関数ではあるが、
y=tan x (−∞<x<∞,−∞<y<∞の逆関数ではないと。


お前らに、逆写像の簡単な問題の答を問うにゃ [数学基礎]

つかぬことをお伺いしますが、

  

または

  

の値はいくつだケロ?

 


tan⁻¹atantanの逆関数。つまり、

  

である。
 ――この定義は少し不正確!! あえてぼかす!!!!――

たとえば、x=π/4=45°)のとき

  

である。

逆関数をわからないヒトもいるかもしれない。

逆関数とは、集合Xから集合Yへの写像(関数)fが1対1への対応(全単射)であるとき、

  

と定義されるもの。

たとえば、X={ネコ,イヌ,ネズミ}、Y={チーズ,マタタビ,ホネ}で次の対応規則f

  

があるとき、その逆関数、逆写像f⁻¹

  

と定義される。


1対1対応だから、集合Xの要素の個数と集合Yの要素の個数は等しい。

たとえば、X={1,2,3}Y={2,4,6,8}で、XからYへの対応規則f

  

であるとき、8∈Yに対応する要素がXに無いので、XからYへの写像fの逆写像f⁻¹は定義されない。

もう一度、問うにゃ。


問題 次の値を求めよ

  




おそらく、多くのヒトが・・・(^^)

オイラーの公式 [数学基礎]

オイラーの公式


オイラーの公式とは、指数関数と三角関数を結びつける次の公式。

  

jは虚数単位。

gauss_plane.png



横軸を実軸、縦軸を虚軸にとるガウス平面上において、(1)式は 原点Oを中心とする半径1の円周(上の点)をあらわす。



(1)式に−θを代入すると、

  

(1)に(2)を加えると、

  

(1)を(2)で引くと、

  

である。
したがって、三角関数は複素数・虚数まで拡張された指数関数で定義することが可能。

 


また、θ=πを(1)式に代入すると、

  

虚数単位j、円周率π、ネイピア数e、そして、数学で最も基本的な1、0という数が1つの式で結びつく。

この式に数学の神秘(?)を見出す人もいる。

だからというわけではないでしょうが、この式が好きだという結構いるようですね。


番外編 不等式の証明 [数学基礎]

番外編 不等式の証明


いきなり、

これは次のように変形できるので、増加関数であることがわかる。


問題1 a、bが実数であるとき、次の不等式を証明せよ。

【証明】

  
よって、

  

である。

等号成立は、a=0またはb=0

(証明終わり)

こんな計算はしたくない。

そこで、ずるをするにゃ。

  

が増加関数であることを使って、証明することにする。

【ずるい証明】

  

は増加関数。

|a|+|b|≧|a+b}だから

  

また、

  futoushiki-siki-02.png

①、②より

  

である。

(証明終わり)


問題2 なるとき、の大小関係を調べよ。ただし、p>0q>0p+q=1とする。

x=yのとき、px+qy=x=yになるし、pf(x)+qf(y)=f(x)=f(y)になるので、pf(x)+qf(y)=f(px+qy)になる。次に、x≠yのときの大小関係の調べることにする。

しかし、面倒な計算はしたくないので、これから、ずるをするにゃ。


1年ほど前に、微分積分で凸関数というものをやった。凸関数は次のようなもの。

y=f(x)上の相異なる任意の2点をA(x,f(x))B(y,f(y))とすると、この2点を結ぶ線分(弦)ABがこの曲線の弧ABよりも上にあるものを凸関数という。
futoushiki-01.png
f(x)=ax²+bx+c
a>0)のときは、凸関数。で、p>0q>0p+q=1のとき、px+qyというのは、x軸上の(x,0)(y,0)q:pで分けた点と考えることができる。また、とすると、この点は線分ABq;pに分ける点と考えられる。

Dは線分AB上にあるので、曲線上のよりも上にある。

したがって、a>0のとき、面倒くさい計算をするまでもなく、

  

になる。a<0のときは、上下が逆転し、弦ABが線分ABの上に来るので、

  


2次関数の図形的な意味を考えれば、計算をすることなく、大小関係を判定できるという話。


この問題の出題者は、このことを念頭にこの問題を作ったのだから、ケチをつけられる筋合いはない。

futoushiki-02.png

また、

  

といった関数fは凹(上に凸)関数だから、
p>0
q>0p+q=1のとき

  

となるので、
  futoushiki-siki-03.png

という不等式が得られる。

等号成立は、いずれの場合もa=b

さり気なく、α≧0β≧0とし,p=1/3q=2/3とすると

  

ここで、さらにさり気なくb≧0c≧0とし

  

さらに、もっとさり気なくa≧0、、α=aβ=(b+c)/2とし、この結果を⑨に放り込むと
  

ここで、さらにもっと大胆に、a=x²b=y²c=z²とすると

  futoushiki-siki-05.png


問題3 xyzを実数とするとき、次の問いに答えよ。

(1) の大小を比較せよ。

(2) a≧3のとき、x+y+z=x²+y²+z²=aを満たすxyzの値を求めよ。

(1)の不等式がどこから出てきたのかが、よく、わかる。これは関数の凸凹と深い関係があるんだケロ。
そして、

といった不等式も同様に得ることができる。

【解】

(1) x+y+z<0のとき

  

x+y+z≧0のとき
  futoushiki-siki-06.png

よって、


(2) (1)より

また、x+y+z=x²+y²+z²=a≧3
  futoushiki-siki-07.png

よって、a=3

また、a=3のとき①の右辺=左辺=1となり、x=y=zでなければならない。

よって、x=y=z=1である。


あなたなら、どう解く? [数学基礎]

重積分とは全く関係ないけれど、次の問題をあなたならどうやって解く?

問題

のとき、2x+3yの最大、最小値を求めよ。


一番楽なのは、次のシュワルツの不等式を使う解法だろうね。

  

これを使うのならば、a=2b=3とおくと、

  

となり、最大値は√15で最小値が−√15であることが予想される。

三角関数を使うならば、x=cosθy=sinθとして、これを2x+3yに代入すると、

  

と簡単に解くことができる。


また、ax+by+c=0という直線と原点との距離d

  

だから、

  

と解くこともできる。ただし、試験のとき、この解法を使って答案を書く場合、お絵かきと、何故、こうなるかの説明がいる。


この他にも、2x+3y=kと置き、yを消去しxの2次方程式にして、判別式を使う方法もある。計算が面倒なので、オレは計算しないけれど(^^


では、次の問題はどう解く?


問題2 次の最小値を求めよ。

  


【解1】

  

極値をもつとき、f'(x)=0x=10<x<1f'(x)<0だからf(x)はこの区間で減少し、また1<xではf'(x)>0だから増加する。よって、x=1のとき、最小(極小)で、2が最小値。

【解2】

相加平均≧相乗平均より

  

よって、x=1のとき最小で、最小値は2

【解3】

  

よって、x=1のとき最小で、その値は2

fig_x+1÷x.jpg


この問題は、相加平均≧相乗平均を使うことにすぐ気付くけれど、次の問題になると、意外に気づきにくい。

問題3 x>0のとき、次の最小値を求めよ。

  

【解】

これは

  
を使うと簡単に解くことができる。
まだピンとこないと思うんですが、こうすると

  

となる。

だから、最小値は・・・。

ただし、上の値が最小値であるためには、等号が成立するための条件を満たさないといけない。だから、

  

の解がx>0になければいけない。上の方程式を解けば、

  

という解が確かに存在する。だから、最小値は・・・・となる。

fig_x+1÷x^2.jpg



ちょっとだけ論理学 [数学基礎]

ちょっと数学(論理)。

XからYへの写像を考える。
つまり、
  f:X→Y
で、AをXの部分集合、つまり、
A⊂Xとするとき、
f(A)⊂YをfによるAの像という。
これを、論理記号とかで、少し正確に書こうじゃないか。

あくまで「少しだけ正確に」(^^ゞ

  f(A)={y|∃x(y=f(x),x∈A)}
とか
  x∈f(A) ⇔∃x(y=f(x),x∈A)
とかになるんだケロ。

何か難しいことを書いているようですが、
たとえば、
A=[0,1]という閉区間で、
写像の対応規則を
  f(x)=2x+1
とすると、
fは単調増加関数なので、fによるAの像は[1,3]になる。
このことを
  f([0,1])=[1,3]
と書いたりする。

で、定義に戻って、
  y=3∈[1,3]
とすると、
  ∃x(3=2x+1,x∈A=[0,1])
となり、
このxが[0,1]にあるかどうかという(論理?の)話になる。

で、実際に、このxを求めると、x=1∈[0,1]
となり
  ∃x(3=2x+1,x∈A=[0,1])
は、「真」となる。

1≦y≦3ならば、必ず
  ∃x(y=2x+1,x∈A=[0,1])
は真。
でも、
y=4とすると、
  4=2x+1,x∈A=[0,1]
を満たすxは存在しない。
  2x+1=4
を解けば、
x=3/2となり、これは[0,1]に含まれない!!

∃はExistのEをひっくり返したものだケロ。


すべてネコである。
これを論理記号で書くと、たとえば、
  ∀x(isCat(x))
になる。
xがネコであるなるならば、isCat(x)は、True(真)、
ネコでないなら、False(偽)をの値をとるとする。

論理や数学をやる場合、
真偽判定をする大本の集合を決めなければならない。
で、
ネコの要素に持つネコ集合であれば、
  ∀x(isCat(x))
は真だよね。
全部、ネコ集合の要素はネコなんだから。

そして、
「すべてネコである」は、こう言い換えてもいい。
「(ネコ集合には)ネコでない奴は存在しない」

「(xは)ネコでない」は「(xは)ネコである」の否定だから、
  ¬isCat(x)
と書くことができる。
(xは)存在しないは、¬∃x
だから、
ネコでない奴はいないは、
  ¬∃x(¬isCat(x))
となる。

ということで、
  ∀x(isCat(x))=¬∃x(¬isCat(x))
になる。

これは、ネコである関数isCat(x)の場合だけれど、
広く一般に
  ∀x(p(x))=¬∃x(¬p(x))
が成立する。

ということで、
全称命題∀x(p(x))の否定は、
  ¬(∀x(p(x)))=¬(¬∃x(¬p(x)))=∃x(¬p(x))
になる。

高校の数学で
「すべてのホニャララがカクカクである」
の否定は、
「あるホニャララはカクカクでない」
になるというのを習ったと思うけど、これが証明だにゃ。
というか、これは定義みたいなもんだから(^^ゞ

じゃっ、
「あるホニャララはカクカクである」の否定はどうなるか。
  ∀x(p(x))=¬∃x(¬p(x))
で、
  p(x)=¬q(x)
とすれば、
  ∀x(¬q(x))=¬∃x(¬(¬q(x)))=¬∃x(q(x))=¬(∃x(q(x)))
これが答えにゃ。

「あるホニャララはカクカクである」の否定は、
「すべてのホニャララはカクカクでない」!!

おさらいとして、
  ¬(∀x(p(x))=∃x(¬p(x))
  ¬(∃x(p(x))=∀x(¬p(x))
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第15回 被覆とハイネ・ボレルの被覆定理 [数学基礎]

第15回 被覆とハイネ・ボレルの被覆定理

実数Rの部分集合Aがあって、Aが集合族被われるとは、
   
であることをいい、このとき、被覆という。
とくに、が開集合であるとき、A開被覆という。


また、Λが有限集合のとき、すなわち、が有限個のとき、A有限被覆という。

ついでだから話すけれど、任意の開集合の集合族に対して、かならず、集合族の要素を適当に選んで

  

と有限個で被えるとき、Aコンパクトと呼ぶんだケロ。
その集合がコンパクトであるかどうかということはとっても大切なんだケロ。


で、実数の場合は、閉集合がコンパクトな集合になるんだにゃ。


ハイネ・ボレルの被覆定理というのは、閉集合がコンパクトだということを指し示す定理なんだにゃ。



ハイネ・ボレルの被覆定理

Rの任意の閉集合[a,b]はコンパクトである。

 


ハイネ・ボレルの被覆定理
R
の有界閉集合が開被覆を有するならば、Uから有限のを選んで有界閉集合の有限被覆を作ることができる。

文言は違うけれど、これは同じことを言っているんだケロ。


ということで、


これをこれから証明するにゃ。


 


この証明には、ずっと前にやった、

  

で、かつ、

  

ならば、

  

という定理を使いますにゃ。



と前置きして、いよいよ、この大定理の証明に取り掛かるにゃ。

[a,b]
という有限閉集合を考える。これは、a≦x≦bのことね。
この定理は正攻法での証明が難しいので、例によって、背理法を使うケロ。


[a,b]を有限被覆で覆えないとすると、

  

のうちのすくなくとも一方はUの有限個の開集合で被覆できない。その被覆できない閉区間をとする。
同様に、

  

を考えて、有限個で被覆できないやつをとする。


そして、これをさらに繰り返す。の次はと言った具合に。


そうすると、次の閉区間の列ができる。

  

すると、

  

になる。

すると、

  

となり、

  

となる。

そして、この実数cは、すべてのに共通の要素だケロ。
U
[a,b]の開被覆だから、このcを含むUの開集合Oが存在する。
c
は開集合Oの内点なのだから、
  

となる正の数εが存在する。

で、

  

だから、十分大きなnをとると、

  

となる。


このことから、Uに属する一つの開集合Oで被覆され、有限個で被覆できないとした仮定に反する。


よって、有界閉区間は有限個の開集合で被覆できる。


 

何を書いているか、わからないだろ。

心配するな、これを書いているオレもわからないんだから(^^



この定理はヒトの理解を寄せ付けない。なんたって、この定理は、実数の連続性とほとんど同値だから、ヒトに理解できないんだケロ。そういうものですかと、ありがたがって頂くしか無いんだケロ。

このハイネ・ボレルの被覆定理が成り立つのは、有界な閉集合の場合。例えば、[0,1]と言ったような閉集合、閉区間。


これを例えば、(0,1)というような開集合にしたら、成り立たない。


たとえば、

  

としたとき、これは開被覆になるのだけれど、有限個で(0,1)を被覆することはできない。



なんで、このハイネ・ボレルの被覆定理なんて難しい定理を引っ張り出してきたかというと、微分・積分で証明しなかった

 関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続であるならば、f(x)[a,b]で一様連続である

という定理の証明に必要だから。

まっ、そういうことだケロ。


タグ:数学基礎

第14回 ド・モルガンの法則 [数学基礎]

第14回 ド・モルガンの法則

論理のド・モルガンの法則
  

この証明は、

真偽表を書けばいい。
(1)は
















となり、

¬(p∧q)¬p∨¬qの真偽表は一致する。よって、
  

となる。

(2)は

















となり、真偽表が一致するので、

  

となる。

kiso-001.png

kiso-002.png

¬
は命題の否定をあらわし、∧は「かつ」で命題の連言、∨は「または」で命題の選言を表す記号だ。
そして、T英語の「True」の略で「真」を意味し、Fは英語の「False」の略で「偽」を表すにゃ。


で、この論理のド・モルガンの法則を使うと、集合のド・モルガンの法則が簡単に証明できる。
集合Aの補集合は

  

のこと。

だから、
  

そして、

  

よって、

  

となる。


で、前回、ABが開集合ならば、その共通部分A∩Bと和集合A∪Bも開集合となるというのをやった。
そして、閉集合は開集合の補集合だというのもずっと前にやった。
だから、ABが開集合ならば、その共通部分A∩Bと和集合A∪Bも開集合なので、

  
は閉集合になり、ド・モルガンの法則から

  

となり、閉集合の共通部分、和集合も閉集合となる。

さらに一般的に書くと、
  

となり、

前回やった定理とこの結果を用いると、


定理

(1) 空集合∅、実数Rは閉集合である。
(2) 任意の有限個の閉集合の和集合は閉集合である。

(3) 任意の閉集合の共通部分は閉集合である。

となる。

 

この定理は、開集合の方から導いたんだけれど、この定理と閉集合をもとにして導くこともできる。

  

の右辺から左辺の流れにするだけなんで。

第13回 実数の位相的性質 [数学基礎]

第13回 実数の位相的性質

f
を実数Rで連続な関数とする。y>f(x)を満たす点(x,y)の集まりAは開集合である。


これを証明してみよう。

【証明】

kiso-13-01.png

2ε=y–f(a)>0
とする。

fは連続なので、
  

となるδが存在する。

  

とすると、

  

ここで、

  

(証明終わり)

(※) このように開球の半径ε’をとれば、図に示すように、Aの中に収まる。

図の場合、ε<δであるが、ε≧δの場合もあるので、このように開球の半径ε'を取らないといけない。


同様に、fが連続であれば、y<f(x)の満たす点(x,y)の集まりも開集合になる。

開集合と開集合の和集合は開集合なので、y≠f(x)を満たす点(x,y)の集まりも開集合。
そして、y=f(x)を満たす点の集まりはこの補集合なので、閉集合になる。


開集合と開集合の和集合が開集合になることの証明は、

とする。すると、となるλ∈{1,2}が存在し、

  

ε>0が存在することになり、開集合となる。


さらに一般化し、という集合族の和集合の時は

  

として、これは和集合の定義よりとなるλ∈Λが存在し、

  

となるε>0が存在するので、開集合となる。

何が書かれているかわからないと思うけれども、開集合と集合族の和集合の定義から、こうなるんだ。


また、開集合と開集合の共通部分が開集合になることは、

  

とすると、は開集合なので

  

となる正の数が存在する。
で、例のお決まりの

  
とすると、

  

になるので、

 

より、aの内点となり、は開集合である。

では、これを一般化してが開集合のときは開集合になるかというと、これはならない。


たとえば、

  

として、

  

を求めると、これは前にやったと思うけれど、

  

という一点集合になって、閉集合になってしまう。

だから、これは一般に成立しない。


だけれども、Λ={1,2,3,・・・,n}で、Λが有限集合の場合、

  

は開集合になる。


全体の集合(普遍集合)を実数Rとする
x∈R
とすると、これは開球(x–1,x+1)⊂Rとなるから、
実数Rは開集合になる。


さらに空集合∅を開集合と定義すると、次の定理が成り立つ。

定理

(1) 空集合、実数Rは開集合である。
(2) 任意の有限個の開集合の共通部分は開集合である。

(3) 開集合の族の和集合は開集合である。


これは実数のみならず、たとえば、n次元のユークリッド空間でも成り立つ性質だ。


そして、これをさらに一般化して、開集合系というもの、まぁ公理だね、を展開することもできるのであった。

大切なのは上の定理だから、上の定理だけ覚えていただければ十分。


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第12回 集合の分配法則 [数学基礎]

第12回 集合の分配法則


高校の数学で習った集合演算の分配法則

  

などの証明を与えようじゃないかという企てだにゃ。
ハッキリ言って、ネムネコの自己満足のための記事だケロ。

論理法則を使っていいならば、

  

で証明が終わり。


論理の分配法則

  

というのを使っているんだけれど、これはいくら何でも手抜きだろう。
この論理の分配法則を証明しないといけないので。



ということで、泥臭い方法で証明してみるケロ。
まず、
  
を証明する。

x∈A∩(B∪C
)であるとする。すると、定義より、x∈Aでかつ(x∈Bまたはx∈C)になる。

で、x∈Aかつx∈B、つまり、x∈A∩Bのとき、

  

同様に、x∈Aかつx∈C、つまり、x∈A∩Cのとき、

  

になる。

よって、x∈Bであろうがx∈Cであろうが、

  

 

次に、

  

を証明するにゃ。

  

同様に

  

よって、

  

①と②より
  


何やっているかわからないでしょう(^^
わからなくて当たり前なんだから。これを読んでわかる奴のほうがどうかしている。

で、(2)の
  

の証明ですが、これは(1)をつ使って

  
とやるといいんだケロ。
ここで、

  

という吸収法則を使っています。


吸収法則の最初のやつを証明すると、

  

は共通部分の定義より明らか。そして、

  
だから、

  

になる。


そして、後ろのやつを証明すると、和集合の定義より

  

は明らか。

で、

  

となり、

  

になる。
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