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分数方程式、無理方程式の解法 [数学基礎]

分数方程式、無理方程式の解法

 

意外に間違いやすいのが分数方程式、無理方程式を解くことということで、分数方程式、無理方程式を取り上げることにするにゃ。

 

§1 分数方程式の解法

 

例題1 次の分数方程式と解け。

  

【解】

  

分母の最小公倍数(x–1)(x+2)(x–2)を両辺に掛けると、

  

x=−2は①の(右辺の)分母を0にするので、x=−2は解として不適。

よって、x=3

(解答終)

 

上の例題1のx=−2のような解を無縁解という。

分数方程式①と、①に最小公倍数(x–1)(x+2)(x–2)を両辺に掛け分母を払った2次方程式②は同値ではないので注意が必要!!

だから、解の吟味を忘れずに。

 

 

問題1 次の分数方程式を解け。

  bu-siki-001.png

【解】

(1)

  

①の両辺に2(x+1)(x+2)を掛けると、

  

 

(2)

  

両辺に(x–5)(x–8 )を掛けると

  

 

(3) 式の形に注目し、

  

とおくと、

  bu-siki-002.png

u=1のとき、

  bu-siki-003.png

u=2のとき

  bu-siki-004.png

(解答終)

 

 

問題2 連立方程式

  

を解け。

【解】

対称性に注目し、u=x+yv=xyとおき、①を書き換えると、

  bu-siki-005.png

u=2,v=1のとき、

  

u=−1v=−1/2のとき

  bu-siki-006.png

(解答終)

 

 

§2 無理方程式の解法

 

例題2 次の無理方程式を解け。

  

【解】

  

両辺を平方すると、

  

さらに、両辺を平方すると、

  

x=2のとき

  

よって、x=2は解として不適(無縁解)。

x=7のとき

  

よって、解はx=7である。

(解答終)

 

問題3 次の方程式を解け。

  bu-siki-011.png

【解】

(1)

  

両辺を平方すると、

  

x=4のとき

  

x=15のとき

  

よって、x=4が解である。

 

(2)

  

両辺を平方すると、

  bu-siki-007.png

x=2のとき

  

x=3のとき

  

よって、解はx=23である。

 

(3)

  bu-siki-008.png

両辺を2乗すると、

   bu-siki-009.png

両辺を2乗すると

  bu-siki-010.png

x=47は解として不適なので、解はx=7

(解答終)

 


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問題の答(8月5日) [数学基礎]

問題の答(8月5日)


問題

(1) 閉区間[0,1]で定義される関数fg,hが、f(x)=x²g(x)=xh(x)=x³であるとき、

  

が成立することを確かめよ。


ku-siki-001.png

(2) ④を証明せよ。

  

 

ちなみに、

記号、

  

は、閉区間[a,b]における関数f(x)の最大値を表す。

 

【解】
(1) [0,1]で、

  

である。

したがって、[0,1]

  

8-05-graph-001.pngまた、

  

とすると、

  

したがって、F(x)x=2/3のときに最大で

  

さらに、

  

とおくと、

  

だから、G(x)x=1/√3のときに最大で

  

よって、

  

となり、

  

成立する。

 

(2) fgh[a,b]で連続だから、|f(x)–h(x)|、|h(x)–g(x)|は[a,b]で連続。

したがって、

  

[a,b]で連続で、[a,b]で最大値をもつ。

これがx=cc∈[a,b])のときに最大になるとすると、

  

同様に、|f(x)–h(x)|、|h(x)–g(x)|は[a,b]で最大値を持ち、

  

が成立するので、

  

である。

(解答終)

 

ということで、

  

が成立する。



さらに、



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この問題を解くニャ!!(8月5日) [数学基礎]

考えてみると、

fghを閉区間[a,b]で連続な関数とすると、

  

だから、

  

というのは、それ程、自明なことじゃないんだよな。

  

は、ほとんど自明だけれど、

  

は、それほど、自明なことじゃないんだよな。

 

ということで、

 

問題

(1) 閉区間[0,1]で定義される関数fg,hが、f(x)=x²g(x)=xh(x)=x³であるとき、

  

が成立することを確かめよ。


ku-siki-001.png

(2) ④が成立することを証明せよ。

 

 

ちなみに、

記号、

  

は、閉区間[a,b]における関数f(x)の最大値を表す。


1日、1回、「ぬえせい戦争」ということで、



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関数空間と距離の初歩の初歩 [数学基礎]

関数空間と距離の初歩の初歩

 

Cを有界閉区間[a,b]で連続な関数のすべてを集めた集合とし、記号C[a,b]で表すことにする。

fg[a,b]で連続な関数とすると、

  

だにゃ。

そうすると、[a,b]

  

は連続だから、|f(x)−g(x)|は[a,b]で最大値を必ずもつ。

そこで、

  

と、d(f,g)を定義する。

(1)式のは、[a,b]での関数の最大値のこと。

 

さてさて、(1)のように定義すると、

  

また

  

であることは明らかだろう。

さらに、

  

も明らかだろう。

h∈C[a,b]とするとき、三角不等式から

  

したがって、

  

 

つまり、(1)のように定義すると、次の距離の公理をすべて満たす。

 

 


(1)式で、有界閉区間[a,b]で連続な関数の距離を定義できるというわけ。

 

また、距離の公理の条件(ⅰ)〜(ⅲ)を満たすものならば、どれを距離に選択してもよい。

 

オレは(1)式の距離の定義は嫌いだ。だから、f,g∈C[a,b]の距離を

  

と定義したい。

 

いいにゃ、いいにゃ、素晴らしいにゃ。

 ――ただし、(2)を使いたいならば、(ⅰ)〜(ⅲ)を満たしていることを証明してから使うこと!!――

 

我々が通常、距離と呼ぶものは、ユークリッド距離と呼ばれるもので、数ある距離の一つにしか過ぎない。

 

ddt³さんが、関数空間、距離(関数)という言葉を記事中に使っていたようなので、補足説明としてこの記事を書いたケロよ。


kankan-graph-01.png問 [0,1]で定義された関数f(x)=x²g(x)=xがあるとする。(1)式で定義された距離d(f,g)を求めよ。

【解】

[0,1]ではx²≦xだから、

  

したがって、x=1/2のとき、最大値は1/4

よって、fgの距離d(f,g)

  

(解答終)

 

この距離は通常の距離ではないので、 定義に従って考える、答える。

 




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お前ら、この問題を解け!!(7月15日) [数学基礎]

ふと思ったのだけれど、お前ら、イプシロン・デルタ論法を使って、次のことを証明できるケロか?

 

問題 関数f(x)=√xとする。イプシロン・デルタ論法を使って、f(x)x=aa>0)で連続であることを示せ。

 

ちなみに、イプシロン・デルタ論法によるx=aにおける関数f(x)の連続の定義は次の通り。

 

任意のε>0に対して、あるδ>0をとると

  

であるとき、関数f(x)x=aで連続である。

 

【解】

  

だ・か・ら、

任意のε>0に対してδ

  

にとると、

  

(解答終)

 

ではあるが、この証明はa=0のときには使えない。

 

では、ここで質問!!

 

宿題 イプシロン・デルタ論法を使って、関数f(x)=√xx=0で連続であることを証明せよ。

 

上の証明を読んでしまった後だと、これは意外に難しいかもしれない(^^)

 

言っておきますが、イプシロン・デルタ論法を使って証明するんだケロよ。

たとえば、次のような証明は不可だケロ!!

 

【証明(?)】

  

よって、x=0で連続である

(証明終)

 

実質、イプシロン・デルタ論法を使って、

  

であることを証明しろと言っているのだから。

 

ちなにみ、関数f(x)の定義域が[a,b)であるとき、関数f(x)x=aで連続あることのイプシロンデルタ論法による定義は次のようになるので注意。

 

任意のε>0に対して、あるδ>0があって、

  

であるとき、f(x)x=aで連続であるという。



ハッタリをかまして、煽ってなんぼだケロ!!


2次曲線の離心率 [数学基礎]

2次曲線の離心率

 

放物線の定義は、「直線(準線)と直線上にない定点(焦点)との距離が等しい点の軌跡」であり、これは「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:1である点の軌跡」と言い換えることができる。

そこで、これをさらに一般化し、

「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:eである点の軌跡」

について考えることにする。

 

準線をy軸とし、焦点Fの座標を(c,0)とすると、点P(x,y)と準線との距離は|x|、焦点Fと点Pとの距離はになるので、

この両辺を2乗すると、

e=1のときは

e≠1のとき

0<e<1のとき、e²–1<0だから

 

e>1のとき

 

したがって、

0<e<1のとき楕円、e=1のとき放物線、e>1のとき双曲線である。

このe離心率という。

2jikyokusen-graph-001.png

楕円、双曲線の中心が原点に一致するよう、x軸方向に平行移動すると、(3)式は

したがって、楕円

の離心率eは、

から

と求められる。

また、このとき、(4)式は

となるので、双曲線の離心率e

から

と求められる。

 

 


2次曲線の極座標表示 [数学基礎]

2次曲線の極座標表示

 

§1 楕円

 

daen-gprah-002.png楕円の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、楕円上の動点をPFP+F'P=2aとする。

FP=rx軸とFPのなす角度をθとする。

FF'Pに対して余弦定理を用いると

  

a≠0だから、右辺の分母、分子をaで割ると、

  

ここで、

  

とおくと、楕円の極座標表示の方程式(※)は

  

 

半直弦とは、θ=π/2のときのFP=rのこと。

このことは、θ=π/2のときcosθ=0になるので、(1)式より

  

となることより明らかだろう。

 

また、楕円(a≧b)の場合、

  

離心率ε

   

である。

a=bのときは円でε=1である。

 

(※) この場合

  

という対応関係にあることに注意!!

 

 

§2 双曲線

 

soukyokusen-graph-002.png双曲線の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、右側の双曲線について考えることにする。

双曲線上の点をPとすると、双曲線の定義から

  

FPx軸のなす角度をθとし、△FF'Pについて余弦定理を用いると、

  

FP=rとすると、
  

  

ここで、aで右辺の分子分母を割ると、

  

ここで、

  

とおくと、

  

 

c>aだから双曲線の離心率ε>1である。

 

 

§3 放物線

 

houbutusen-graph-002.png放物線の焦点F(p,0)p>0)、準線をx=−p、さらに放物線上の点をPとし、準線x=−pPからおろした垂線の足をHとする。

放物線の定義からHP=FP

FP=r、線分FPx軸のなす角度をθとすると、

  

l=2pε=1とすれば、

  

の形になるので、放物線の離心率ε=1

 

ということで、2次曲線は

 0≦ε<1のとき楕円(ε=0のとき円)

  ε=1のとき放物線

  ε>1のとき双曲線

になるという話でした。

 

 


2次曲線 [数学基礎]

2次曲線

 

§1 楕円

2つの定点からの距離の和が一定である動点の軌跡を楕円という。この2つの定点を楕円の焦点という。

 

焦点をF(c,0)F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)とし、距離の和を2aa>c>0)とすると、

  

両辺を2乗すると、

  

両辺を2乗すると、

  

daen-graph-001.pnga²–c²=b²とおくと、楕円の方程式は

  

 

また、このことから、楕円

  

の焦点の座標は

  

 

AA'=2aを長軸の長さ、長径、BB'=2bを短軸の長さ、短径という。

 

例 楕円

  

a=5b=4とすると、

  

よって、焦点は(−3,0)(3,0)

 

a=b>0とすると、(1)は

  

これは原点Oを中心とする半径aの円になる。そして、このとき、焦点は円の中心Oになる。

 

 

§2 双曲線

 

2定点からの距離の差が一定である動点の軌跡を双曲線という。

この2定点を双曲線の焦点という。

 

2定点をF(c,0)F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)、距離の差を2a(c>a)とする。

  

両辺を2乗すると、

  

両辺を2乗すると、

  

soukyokusen-graph-001.pngc²–a²=b²とおくと、

  

 

双曲線

  

の焦点は

  

である。

 

双曲線の漸近線は、

  

 

 

§3 放物線

 

定点と定直線との距離が一定の動点の軌跡を放物線という。

このとき、定点を放物線の焦点、定直線を準線という。

 

y^2=4px-graph-001.png定点Fの座標を(p,0)、定直線(準線)をx=–p、動点Pの座標を(x,y)とし、Pから直線x=–pにおろした垂線の足をHとする。

  

両辺を2乗すると、

  

 

 


2次曲線の標準化の例 [数学基礎]

2次曲線の標準化の例

 

2次曲線の方程式の一般形は

  

×3の対称行列を用いると、

  

となる。

なのだが、座標軸の回転に関係する部分は、(1)の2次の項(の係数)だけなので、それに対応する対称行列

  

について、まず考える。

 

 

問題1 次の2次曲線を標準形にせよ。

  

【解】

  

とすると、固有方程式は

  

5x^2-6xy+ 5y^2-14x+2y - 3=0.pngt=2のとき、

  

t=8のとき

  

だから、大きさが1の固有ベクトルは、

  

これは、基本ベクトル

  

を反時計回りにθ=45°=π/4(rad)回転させたものだから、

  2ji-h-siki-001.png

これをに代入すると、

  

ここで、さらに

  

と座標変換すると、

  

よって、この曲線は楕円である。

(解答終)

 

これは図形や点を原点まわりに45°回転させるのではなく、x軸、y軸を45°回転し、それを新しいx'軸、y'軸とする主軸変換、座標変換!!

そのため、

  2ji-h-siki-002.png

となっている。

①式は

  2ji-h-siki-003.png

と書き換えられるので、高校で習う1次変換とは違うことに注意!!

 

これ以上余計なことを書くと混乱させるだけだから、これ以上は書くまい。

 

 

問題2 次の2次曲線を標準化せよ。

  

x^2-2xy+y^2+2x-6y=0.png【解】
とおくと、

  

よって、行列Aの固有値はt=0,2

t=2のとき

  

t=0のとき

  

したがって、行列Aの大きさ1の固有ベクトルは、

  

これは基本ベクトル

  

を45°時計回りに回展させたものだから、

  

とし、x²–2xy+y²+2x–6 y=0に代入すると、

  

さらに、

  

と変換すると、

  2ji-h-siki-004.png

となり、この曲線は放物線である。

(解答終)

 

 


2次形式の標準化の追加問題!! [数学基礎]

2次形式の標準化の追加問題!!

 

追加問題 akuma-ko-shiki-002.pngはどのような曲線か。

【解】

  

だから、

  akuma-ko-shiki-003.png

とおくと、固有値は

  

7x^2+6√3xy+13y^2=16.pngt=4のとき、

   

t=16のとき

  

したがって、大きさ1のAの固有ベクトルは

  

そこで、

  

とおき、akuma-ko-shiki-002.pngに代入すると、2次曲線の標準形は

  

で、akuma-ko-shiki-002.pngは楕円である。

(解答終)

 

行列の大きさ1の固有ベクトルは

  

は基本ベクトル

  

を原点まわりに時計回りにθ=π/6(rad)=30°回転させたものだから、この曲線30°反時計回りに回転させれば、だ円4x²+16y²=16になる。

1次変換を使うならば

  

これをakuma-ko-shiki-002.pngに代入すれば、になる。

 

なお、

変数xyと実係数abhで定められる関係式

  

のとき、とおき、公式⑨³

  akuma-koshiki.png

を使うならば、a=7b=13h=3√3だから

  akuma-ko-siki-001.png

固有値α=4β=16だから、akuma-ko-shiki-002.pngの標準形は

  

と、簡単に求めることができる。

 


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