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お前ら、この問題を解け!!(7月15日) [数学基礎]

ふと思ったのだけれど、お前ら、イプシロン・デルタ論法を使って、次のことを証明できるケロか?

 

問題 関数f(x)=√xとする。イプシロン・デルタ論法を使って、f(x)x=aa>0)で連続であることを示せ。

 

ちなみに、イプシロン・デルタ論法によるx=aにおける関数f(x)の連続の定義は次の通り。

 

任意のε>0に対して、あるδ>0をとると

  

であるとき、関数f(x)x=aで連続である。

 

【解】

  

だ・か・ら、

任意のε>0に対してδ

  

にとると、

  

(解答終)

 

ではあるが、この証明はa=0のときには使えない。

 

では、ここで質問!!

 

宿題 イプシロン・デルタ論法を使って、関数f(x)=√xx=0で連続であることを証明せよ。

 

上の証明を読んでしまった後だと、これは意外に難しいかもしれない(^^)

 

言っておきますが、イプシロン・デルタ論法を使って証明するんだケロよ。

たとえば、次のような証明は不可だケロ!!

 

【証明(?)】

  

よって、x=0で連続である

(証明終)

 

実質、イプシロン・デルタ論法を使って、

  

であることを証明しろと言っているのだから。

 

ちなにみ、関数f(x)の定義域が[a,b)であるとき、関数f(x)x=aで連続あることのイプシロンデルタ論法による定義は次のようになるので注意。

 

任意のε>0に対して、あるδ>0があって、

  

であるとき、f(x)x=aで連続であるという。



ハッタリをかまして、煽ってなんぼだケロ!!


2次曲線の離心率 [数学基礎]

2次曲線の離心率

 

放物線の定義は、「直線(準線)と直線上にない定点(焦点)との距離が等しい点の軌跡」であり、これは「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:1である点の軌跡」と言い換えることができる。

そこで、これをさらに一般化し、

「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:eである点の軌跡」

について考えることにする。

 

準線をy軸とし、焦点Fの座標を(c,0)とすると、点P(x,y)と準線との距離は|x|、焦点Fと点Pとの距離はになるので、

この両辺を2乗すると、

e=1のときは

e≠1のとき

0<e<1のとき、e²–1<0だから

 

e>1のとき

 

したがって、

0<e<1のとき楕円、e=1のとき放物線、e>1のとき双曲線である。

このe離心率という。

2jikyokusen-graph-001.png

楕円、双曲線の中心が原点に一致するよう、x軸方向に平行移動すると、(3)式は

したがって、楕円

の離心率eは、

から

と求められる。

また、このとき、(4)式は

となるので、双曲線の離心率e

から

と求められる。

 

 


2次曲線の極座標表示 [数学基礎]

2次曲線の極座標表示

 

§1 楕円

 

daen-gprah-002.png楕円の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、楕円上の動点をPFP+F'P=2aとする。

FP=rx軸とFPのなす角度をθとする。

FF'Pに対して余弦定理を用いると

  

a≠0だから、右辺の分母、分子をaで割ると、

  

ここで、

  

とおくと、楕円の極座標表示の方程式(※)は

  

 

半直弦とは、θ=π/2のときのFP=rのこと。

このことは、θ=π/2のときcosθ=0になるので、(1)式より

  

となることより明らかだろう。

 

また、楕円(a≧b)の場合、

  

離心率ε

   

である。

a=bのときは円でε=1である。

 

(※) この場合

  

という対応関係にあることに注意!!

 

 

§2 双曲線

 

soukyokusen-graph-002.png双曲線の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、右側の双曲線について考えることにする。

双曲線上の点をPとすると、双曲線の定義から

  

FPx軸のなす角度をθとし、△FF'Pについて余弦定理を用いると、

  

FP=rとすると、
  

  

ここで、aで右辺の分子分母を割ると、

  

ここで、

  

とおくと、

  

 

c>aだから双曲線の離心率ε>1である。

 

 

§3 放物線

 

houbutusen-graph-002.png放物線の焦点F(p,0)p>0)、準線をx=−p、さらに放物線上の点をPとし、準線x=−pPからおろした垂線の足をHとする。

放物線の定義からHP=FP

FP=r、線分FPx軸のなす角度をθとすると、

  

l=2pε=1とすれば、

  

の形になるので、放物線の離心率ε=1

 

ということで、2次曲線は

 0≦ε<1のとき楕円(ε=0のとき円)

  ε=1のとき放物線

  ε>1のとき双曲線

になるという話でした。

 

 


2次曲線 [数学基礎]

2次曲線

 

§1 楕円

2つの定点からの距離の和が一定である動点の軌跡を楕円という。この2つの定点を楕円の焦点という。

 

焦点をF(c,0)F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)とし、距離の和を2aa>c>0)とすると、

  

両辺を2乗すると、

  

両辺を2乗すると、

  

daen-graph-001.pnga²–c²=b²とおくと、楕円の方程式は

  

 

また、このことから、楕円

  

の焦点の座標は

  

 

AA'=2aを長軸の長さ、長径、BB'=2bを短軸の長さ、短径という。

 

例 楕円

  

a=5b=4とすると、

  

よって、焦点は(−3,0)(3,0)

 

a=b>0とすると、(1)は

  

これは原点Oを中心とする半径aの円になる。そして、このとき、焦点は円の中心Oになる。

 

 

§2 双曲線

 

2定点からの距離の差が一定である動点の軌跡を双曲線という。

この2定点を双曲線の焦点という。

 

2定点をF(c,0)F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)、距離の差を2a(c>a)とする。

  

両辺を2乗すると、

  

両辺を2乗すると、

  

soukyokusen-graph-001.pngc²–a²=b²とおくと、

  

 

双曲線

  

の焦点は

  

である。

 

双曲線の漸近線は、

  

 

 

§3 放物線

 

定点と定直線との距離が一定の動点の軌跡を放物線という。

このとき、定点を放物線の焦点、定直線を準線という。

 

y^2=4px-graph-001.png定点Fの座標を(p,0)、定直線(準線)をx=–p、動点Pの座標を(x,y)とし、Pから直線x=–pにおろした垂線の足をHとする。

  

両辺を2乗すると、

  

 

 


2次曲線の標準化の例 [数学基礎]

2次曲線の標準化の例

 

2次曲線の方程式の一般形は

  

×3の対称行列を用いると、

  

となる。

なのだが、座標軸の回転に関係する部分は、(1)の2次の項(の係数)だけなので、それに対応する対称行列

  

について、まず考える。

 

 

問題1 次の2次曲線を標準形にせよ。

  

【解】

  

とすると、固有方程式は

  

5x^2-6xy+ 5y^2-14x+2y - 3=0.pngt=2のとき、

  

t=8のとき

  

だから、大きさが1の固有ベクトルは、

  

これは、基本ベクトル

  

を反時計回りにθ=45°=π/4(rad)回転させたものだから、

  2ji-h-siki-001.png

これをに代入すると、

  

ここで、さらに

  

と座標変換すると、

  

よって、この曲線は楕円である。

(解答終)

 

これは図形や点を原点まわりに45°回転させるのではなく、x軸、y軸を45°回転し、それを新しいx'軸、y'軸とする主軸変換、座標変換!!

そのため、

  2ji-h-siki-002.png

となっている。

①式は

  2ji-h-siki-003.png

と書き換えられるので、高校で習う1次変換とは違うことに注意!!

 

これ以上余計なことを書くと混乱させるだけだから、これ以上は書くまい。

 

 

問題2 次の2次曲線を標準化せよ。

  

x^2-2xy+y^2+2x-6y=0.png【解】
とおくと、

  

よって、行列Aの固有値はt=0,2

t=2のとき

  

t=0のとき

  

したがって、行列Aの大きさ1の固有ベクトルは、

  

これは基本ベクトル

  

を45°時計回りに回展させたものだから、

  

とし、x²–2xy+y²+2x–6 y=0に代入すると、

  

さらに、

  

と変換すると、

  2ji-h-siki-004.png

となり、この曲線は放物線である。

(解答終)

 

 


2次形式の標準化の追加問題!! [数学基礎]

2次形式の標準化の追加問題!!

 

追加問題 akuma-ko-shiki-002.pngはどのような曲線か。

【解】

  

だから、

  akuma-ko-shiki-003.png

とおくと、固有値は

  

7x^2+6√3xy+13y^2=16.pngt=4のとき、

   

t=16のとき

  

したがって、大きさ1のAの固有ベクトルは

  

そこで、

  

とおき、akuma-ko-shiki-002.pngに代入すると、2次曲線の標準形は

  

で、akuma-ko-shiki-002.pngは楕円である。

(解答終)

 

行列の大きさ1の固有ベクトルは

  

は基本ベクトル

  

を原点まわりに時計回りにθ=π/6(rad)=30°回転させたものだから、この曲線30°反時計回りに回転させれば、だ円4x²+16y²=16になる。

1次変換を使うならば

  

これをakuma-ko-shiki-002.pngに代入すれば、になる。

 

なお、

変数xyと実係数abhで定められる関係式

  

のとき、とおき、公式⑨³

  akuma-koshiki.png

を使うならば、a=7b=13h=3√3だから

  akuma-ko-siki-001.png

固有値α=4β=16だから、akuma-ko-shiki-002.pngの標準形は

  

と、簡単に求めることができる。

 


2次形式の標準化 [数学基礎]

2次形式の標準化

 

2次形式

変数xyと実係数abhで定められる関係式

  2ji-siki-001.png

2次形式という。

これは行列を使うと

  2ji-siki-002.png

で表される。

列ベクトルを転置した行ベクトル、さらに対称行列2ji-siki-003.pngとすると、

  2ji-000.png

 

  2ji-siki-004.png

 

ところで、対称行列は適当な直交行列P)を用いて

  2ji-siki-005.png

と対角化することができる。

そこで、

  

とすると、

  

と、2次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²を2次形式の標準形

  

にすることができる。

ここで、αβは行列Aの固有値である。


 

問題1 次の2次系式を標準化せよ。

【解】

(1) 2ji-siki-007.pngの固有方程式は

  

よって、行列Aの固有値はt=2、8。

t=2のとき

  

t=8のとき

  

したがって、t=28のときの固有ベクトルは、

  

したがって、この固有ベクトルの単位ベクトルは

  

よって、

  2ji-siki-008.png

で、

  2ji-siki-009.png

したがって、とすると、

  

 

(2) 2ji-siki-010.pngの固有方程式は

  

t=3に対する単位固有ベクトルは

  

t=−2に対する単位固有ベクトルは

  

したがって、直交行列P

  2ji-siki-011.png

となり、

  

したがって、とおくと、

  

(解答終)

 

x軸とy軸をθだけ回転した新しい座標軸をuvとする。

このとき、xy座標系での点Pの成分(x,y)と、新しいuv座標系での点Pの成分(u,v)との間には

  2ji-siki012.png

という関係がある。

行列を用いて表すと、

  2ji-siki-013.png

ここで、

  iyada-siki-000.png

とおくと、行列Pの行と列の成分を入れ替えた行列(転置行列)

  2ji-siki-014.png

となり、

  2ji-siki-015.png

したがって、iyada-siki-000.pngは直交行列。

 

⑨を2次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²に代入すると、

    

uvの項の係数を0にするには、θ

  

にとればよく、このようなθをとれば2次形式の標準形になる。

 

 

問題2 2次曲線2x²–2xy+2y²=9 を標準形にせよ。

【答】

  2ji-siki-019.png

だから、の対角化を図る。

行列Aの固有方程式は

  

t=1のときの固有ベクトルは

  2ji-siki-020.png

t=3のときの固有ベクトルは

  2ji-siki-021.png

固有ベクトルの正規化――大きさ1の単位ベクトルにすること――をすると、

  2ji-siki-022.png

したがって、

  2ji-siki-019.png

このようにPを選ぶと

  2ji-siki-23.png

なるケロ(実際に計算して、こうなることを確かめよ)。

だから、2ji-siki-025.pngとして、2x²–2xy+2y²=9を標準化すると、u²+3v²=9になる。

(解答終)


 

2x^2-2xy+2y^2=9.pngu²+3v²=9だから、

  2ji-siki-024.png  

したがって、この曲線はu軸を長軸、v軸を短軸とする楕円。

 

対称行列2ji-siki-003.pngの固有値をαβとすると、2次曲線ax²+2hxy+by²=cは標準形αu²+βv²=cに変換できるので、上のような面倒な計算をせずとも、問題2の場合、α=1β=3だから、u²+3v²=9とすぐに求められる。

また、軸の回転角は、⑨³を用いると、この場合、a=bh=−1の場合なので、θ=π/4と求めることができる。




行列の固有値と固有ベクトル [数学基礎]

行列の固有値と固有ベクトル

 

1次変換(行列)に対して

  

を満たすλA固有値固有ベクトルという。

単位行列とすると、(1)式は

  

と変形できるので、が存在するための必要十分条件は、行列A–λ Eが逆行列を持たないこと、すなわち、

  

で、(2)式をA固有方程式という。

2次方程式(2)の解をαβとすると、解と係数の関係より、

  

が成り立つ。

 

ここで、

  

のことで、これは行列の行列式である。

 

問題1 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。

【解】

固有ベクトルを、固有値をkとする。

(1)

  ko-siki-001.png

x=y=0以外の解をもつためには、

  ko-siki-002.png

k=1のとき、①式より

  ko-siki-003.png

ここで、x=tとおくと、y=−t

よって、固有ベクトルは

  

 

k=2のとき①より

  ko-siki-004.png

y=sとおくと、x=−2s

よって、固有ベクトルは

  

 

(2)

  ko-siki-005.png

②式より

  

よって、固有ベクトルは

  

である。

(解答終)

 

 

問題2 次の問に答えよ。

(1) 行列の固有値と固有ベクトルを求めなさい。

(2) となる行列Pを求めよ。

(3) nが自然数のときを求めよ。

【解】

(1) Aの固有値をk、固有ベクトルをとすると、

  ko-siki-006.png

以外の解をもつためには、

  ko-siki-007.png

k=2のとき、①式より

  ko-siki-008.png

k=5のとき、①式より

  ko-siki-009.png

 

(2)

  ko-siki-010.png

ここで、とおくと、

  

したがって、αβは行列Aの固有値で、はその固有ベクトル。

よって、α=2β=5とすると、

  

 

(3) a=1,b=1とおく。

α=2のとき

  ko-siki-011.png

β=5のとき

  ko-siki-012.png

よって、

  ko-siki-013.png

後の計算はヨロシク!!

(解答終)

 

  

が成立するので、これを利用して

  

と計算してもよい。

 

 


2次曲線プチ [数学基礎]

2次曲線プチ

 

問題1 次の曲線を原点の周りに45°回転してえられる曲線の方程式を求めよ。

【解】

(x,y)を原点まわりに角度θ回転して得られる点を(x',y')とすると、次の関係が成立する。

  

逆に、(x',y')を原点まわりに角度−θ回転すれば(x,y)に戻るので、次の関係が成立する。

  2jikyokusen-siki.png

したがって、θ=45°のとき、

  

になる。

 

(1) x²–y²=a²を代入すると、

  


kaiten-graph-001.png

(2) x²+xy+y²=6を代入すると、

  

だから、

  


kaiten-graph-002.png

(3) x²–2xy+y²–2x–2y+1=0を代入すると、

  

よって、

  

kaiten-graph-003.png

(解答終)

 

図形を回転させても図形の形は変わらないので、(1)のx²–y²=a²a>0)は直角双曲線であり、(2)のx²+xy+y²=6は楕円。そして、(3)の曲線x²–2xy+y²–2x–2y+1=0は放物線である。

 

実は、2次曲線

  

には、曲線の種類を判別できる、判別式D=ac–b²という判別式があり、

  D>0のとき楕円

  D=0のとき放物線

  D<0のとき双曲線

になる。

 

こうなっていることを、問題の(1)、(2)、(3)の場合で確かめて欲しい。

 

 

kaiten-graph-005.png問題2 曲線(x+y)²=4xx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解】

(x+y)²=4xだから

  

y≧0の部分は、y=2√x–xだから、

  

(解答終)

 

問題2を解くのに2次曲線の知識は必要としないけれど、

  

となるので、a=b=c=1となり、2次曲線の判別式を使うと、

  

となり、この曲線が放物線であることが分かる。

このことは、この曲線を原点まわりに−45°回転すると、変換式は

  

となるので、これを(x+y)²=4x代入すると、

  2jikyokusen-siki-002.png

ここで、さらに

  

とすると、

  

となることからも確かめられる。


tan⁻¹{tan(9π/4)}の答え [数学基礎]

問題 次の値を求めよ

  

【答】 π/4(=45°)

皆さん、正しく答えられたでしょうか(^^)

ウソじゃないケロよ、電卓で計算してもこうなるケロ。

dentaku-kotae-01.png

dentaku-kotae-02.png


9π/4と答えたヒトは間違いですから注意するにゃ。

sin⁻¹cos⁻¹tan⁻¹などには逆三角関数という名称がついているけれど、これらの関数は厳密に(写像的な観点から)言うと逆関数じゃないので注意。似て非なるものです。

参考までに、三角関数のグラフ。




たとえば、y=tan xの場合、定義域を−π/2<x<π/2といった制限を加えないと、1対1対応にならず、y=tanxの逆関数としてのtan⁻¹y=x定義できないのであった。

この表現は誤解を招くかもしれないので、こう言い換えるべきだ。

tan⁻¹y=x (−∞<y<∞,−π/2<x<π/2)は、y=tan x (−π/2<x<π/2, −∞<y<∞)の逆関数ではあるが、
y=tan x (−∞<x<∞,−∞<y<∞の逆関数ではないと。


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