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秘密の定理 [数列と級数]

秘密の定理

 

定理

閉区間[a,b]で定義された連続関数からなる関数列が一様有界で、連続関数f(x)が収束するならば、

  himitu-001.png

が成立する。

 

一様有界とは、

  

となる定数Kが存在すること。

 

この定理がどれほど強力かというと、次の問題が簡単に解けてしまう。

 

問 次の値を求めよ。

【解】

(1) 

よって、は一様有界。

また、

  

となるので、上の定理から

  

 

(2) 

よって、は一様有界。

また、

  

したがって、

  

 

(3) 

したがって、は一様有界。

また、

  

よって、

  

(解答終)

 

(1)くらいならば、0≦x≦1のとき、

  

したがって、

  

ここで、

  

となるので、ハサミ打ちの定理より

  

と解くことができるけれど、(2)、(3)はこのように簡単に解くことはできない。

 

しかも、[a,b]で連続な関数からなる関数列が一様収束ならば一様有界なので、一様収束の関数列に対してもそのままこの定理を使うことができる。

 

 

宿題 次の値を求めよ。

  

 

(ヒント)

この問題は、

  hm-002.png

に気づけば解けるが・・・。そして、ロピタルの定理を使えば・・・。

  hm-003.png

とすると、

したがって、・・・。

 

 


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一様収束の復習 [数列と級数]

一様収束の復習

 

区間Iで定義された関数からなる関数列x∈Iの各点で関数f(x)に収束するとき、すなわち、

  iy-001.png

であるとき、関数列I上でf(x)に各点収束するという。

 

例1

  iy-002.png

この関数列は、

  iy-003.png

に収束する。

そこで、

  iy-004.png

と定義すれば、

  

となる。

 

ところで、0<x<10に収束するので、任意のε>0に対して

  iy-005.png

したがって、任意のε>0に対して、正の整数を選ぶと、x∈[0,1]

  iy-006.png

となる。

ここで[x]はガウス記号で、xを越さない最大の整数である。

 

一般に、区間Iで定義された関数列f(x)に収束するとき、例1のように、(1)式の正の整数Nεだけでは定まらず、点xで異なる。しかし、点xに無関係にNεだけで定まるとき、つまり、であるとき、f(x)に一様収束するという。すなわち、

任意のε>0に対し、N(ε)を十分に大きく選べば、∀n>N(ε)と∀x∈Iに対し

  iy-000.png

であるとき、関数列は関数f(x)に一様収束するという。

 

例2

  

0に一様収束する。

  iy-009.png

よって、任意のε>0に対して、にとれば、∀n>Nと∀x>1に対して

  

となり、0に一様収束する。

一様収束する関数列に関しては、次の定理が成立する。

 

定理

[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でf(x)に一様収束するならば、

  iy-007.png

 

例3 a>1とすると、

  

は、[1,a]上で0に一様収束する。

したがって、定理より

  iy-010.png

実際、左辺を計算してみると、

  iy-008.png

 

問題 

  

のとき、次の問に答えよ。

(1) が一様収束することを示せ。

(2) iy-014.pngの値を求めよ。

【解】

(1)を微分すると、

  iy-011.png

したがって、x=1/nのときに極大、かつ、最大になり、

  

したがって、任意のx≧0に対して

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

である。

ε>0、さらに、とすると、

  iy-012.png

したがって、任意のεに対して、にとると、∀n>Nに対して

  

となるので、0に一様収束する。

 

(2) 定理より、

  

(解答終)

 

ところで、例1の

  iy-002.png

は、0に各点収束するけれど、一様収束ではない。

しかし、

  iy-003.png

また、の極限関数

  iy-004.png

の定積分

  

となり、

  iy-013.png

が成り立つ。

 

つまり、[a,b]で連続な関数で、関数列が一様収束しなくても、

  iy-007.png

が成り立つ場合がある。


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「次の極限値を求めるケロ!!」の答えだにゃ [数列と級数]

「次の極限値を求めるケロ!!」の答えだにゃ

積分を使うならば、次のように解くことができる。


x∈[k,k+1]k=1,2,3,・・・)で、

  

よって、

  

また、n≧2のとき

  

したがって、

  

この結果を踏まえて、次のように解けばよいだろう。



問題 次のことを証明せよ。

  

【証明】
n≧2のとき、

  

また

  

ハサミ打ちの定理より

  

である。

(証明終)



これまでに何度も

  

の証明をしているから、このことは既知として使ったにゃ。

 

なお、

このことは、とおき、両辺の対数をとると

  

したがって、

  

になることから理解してもらえるのではないか。

 

³を使わずに、⑨を証明するのは結構、大変で、証明も長くなるので⑨³を使った。

 

したがって、

  

とおくと、

  

となり、

公式

  

より、

  

である。




さらに、高飛車のこの曲を♪


何と心地よい曲、響き♪ 気持ちいいケロ!!


次の極限値を求めるケロ!! [数列と級数]

数列の極限をやっているので、数列の極限絡みの問題を一つ!!

 

問題1 次のことを示せ。

  

 

次の公式

  

を使えば簡単に証明できるが・・・。

 

公式⑨を使って証明したヒトは、公式⑨使用のペナルティとして次の極限を証明するように!!



問題2 次のことを示せ。

  




この動画に出ているけれど、
ちゃんとやれ!!
よな。自分で解かないと力にならないけろよ。


数列の問題 [数列と級数]

数列の問題


問題 nを2より大きな自然数とする。

(1) が成り立つことを用いて、

   

であることを証明せよ。

(2) さらに

  

であることを証明せよ。

この問題は、実際に大学入試の問題として出題されたもの。

この問題の(1)はともかく、(2)はしびれてしまう。

入試問題としては適切だとは思わないが、この問題は非常に興味深い問題だと思う。


というわけで、解いてみることにする。


【解】

(1) nが2より大きな自然数だから

  

よって

  

上の式の右辺は初項1、公比1/2の等比数列の1〜n項までの和だから

  

したがって、

  


(2) nが2より大きい自然数だから

  

よって、

  

また、

  

①に代入すると

  

(解答終わり)

 


この問題を真似すると、

  

したがって、

  

よって、

  

である。

  

とすると、この数列(級数)はnの単調増加で、かつ、任意のnについて

  

が成立し、有界で、この数列は収束する。この極限をSとおく、つまり、

  

とおく。

ところで、マクローリン展開のところで

  

をやった。

x=1を⑨に代入すると

  

となり、

  

である。
だから、

  

という近似値は、結構、いい近似であることがわかる。


さらに、nが4以上のとき

  

を利用すると、

  

となり、Sと小数第4位まで一致する。

参考として、ねこ騙し数学の微分・積分の第14回ネイピア数の記事をあげておく。


http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-03-05

級数の収束の番外編 [数列と級数]

級数の収束の番外編


この級数の収束はどう証明したらいいんだろう?

  


ふっと、そんなことが頭に浮かんだ。


定理

α>1ならば

  

は収束し、α≦1ならば発散する。


この定理(?)を使えば、この級数の収束の判定はすぐにできる。


しかし、こんな定理を知らなくても、

k≧2のとき、k–1≦x≦k

  

だから

  

よって、

  

これだと1/1²が足りないので、両辺に1を足して

  

は単調増加数列で有界だから収束する。

と証明すればよい。

そして、この証明は、αに変えれば、定理(?)の証明にそのまま流用できる。


しかし、それじゃ〜つまらない。

それで、少し――数秒――考えた。

  

だから、n>1のとき

  

よって、

  

は収束する。

あるいは、k≧2のとき

  

を利用して

  

で、この両辺に1を足して

  

とすればいい。

この結果は、積分を使った証明と同じ結果じ。

これは、

  

だから。

かつて、大学入試で次のような問題が出たことがあるらしい。


問題 が収束する。このことを用いてが収束することを示せ。

また、

  

とするとき、STの間の関係を求めよ。

証明では何をどこまで使っていいのかがわからないので困ってしまうのだが・・・。


【解】

  

とする。

  

だから、

  

このn→∞極限をとると、

  

だから、

  

は収束する。

また、

  

という関係がある。

 


番外編 循環小数 [数列と級数]

番外編 循環小数



循環小数については数列と級数の第19回で少しだけ触れておいただけなので、その続編です。


たとえば、0.333・・・という循環小数があるとする。

これは実は

  

という無限級数の和のことで、

  

n→∞の極限値を意味する。

a1≦a≦9の自然数とする。

そして、

  

と定義することにする。

この極限値は簡単に求められて、

  

となる。

ここでは、

  

を使っているよ。

ということで、最初の例として出した0.3・・・は、a=3のときなので

  

となる。同様に、

  

となる。

そして、

  

だケロ。0.999・・・というのは、1を循環小数の形式で表したものに過ぎない。だから、「0.999・・・と1は同じか違うのか」という問は、実は、まったくナンセンスというわけ。

もっとも、こんな難しい計算をしなくても、

  

と安直に求めることもできるのだが・・・。

で、もっと拡張して、

  

という循環小数を考える。

これは、

  

となる。

だから、たとえば、0.517517517・・・という循環少数は

  

ということになる。
ちなみに、a₁a₂a₃は数の並びで、a₁a₂a₃の掛け算ではないので、この点は注意してほしいニャ。

では、問題。


問題1 次の連立方程式を解け。

  

【解】

  

よって、

  

また、

  

となる。

  

これを解くと、

  

となる。

 


問題2
abc1<a<b<c<9となる整数で、

  

は等比数列をなしている。

(1) abcの値を求めよ。

(2) この等比数列の第四項を循環小数であらわせ。

【解】

(1)

  

これが等比数列をなしているので、

  

これを満たすabca=2b=4c=8

(2)

   

よって、第四項は

  



ちなみに、(1)αβγが等比数列であるとき、公比をrとすると、

  

になるということを使っている。


第7回 番外編 お絵描きの練習2 [数列と級数]

第7回 番外編 お絵描きの練習2


中点連結定理

三角形ABCの辺ABACの中点をそれぞれMNとするとき、

   

である。

bangai-oekaki-04.jpg

記号「||」は平行の意味。


証明は、ベクトルを使うと、次のようになるにゃ。

【証明】

  

(証明終わり)

ちなみに、三角形AMNと三角形ABCは相似で相似比は1/2である。だから、面積は

  

になる。

ここまではイントロ。

では、問題を解いてみることにするにゃ。

問題

図のように△ABCの確変の中点を結び、△A₁B₁C₁をつくり、次々にこの操作を行って△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃、……を作るとき、その面積をS₁S₂S₃、……とすれば、

(1) △ABCの面積がSのとき、無限級数

  

を求めよ。

(2) △ABCの週をl、△A₁B₁C₁の周をl₁、△A₂B₂C₂の周をl₂、……とするとき、

  

lであらわせ。


bangai-oekaki-03.png

【解】

(1) △A₁B₁C₁の面積は△ABC1/4だから

  


(2) △A₁B₁C₁は辺の長さがそれぞれ△ABCの各辺の長さの半分になっているのだから、△ABCとの周の長さには

  

という関係がある。

よって、

  


ここでは、等比数列の無限級数の公式

  bangai-oekaki2-siki01.png

を使っている。

(1)のときa=S/4r=1/4で、(2)のときa=l/2r=1/2


この級数は一様収束するか? [数列と級数]

この級数は一様収束するか?


昨日の夜、「重積分のいい問題はないか」と、数学の演習書をちらっと覗いて、こんな問題を見つけた。

問題 次の関数列級数が一様収束することを示せ。

  

【解】

  

とする。

  

だから、f(x)x=−1/√nで極小(最小)、x=1/√nで極大(最大)となる。

よって、

  

ということで、

  

で、

  

となり、ワイエルシュトラスのM判定法より一様収束する。
(問題終わり)

上の解答では、ワイエルシュトラスのM判定以外にも
α>1
ならば

  

は収束する、ということも使っている。

ちなみに、f(x)という関数はf(−x)=−f(x)が成り立つので奇関数。ということで、0≦xだけを調べてもいいにゃ。
n=1
の時のグラフは、次のようになる。このグラフを見れば、奇関数であることがよく分かるんじゃないだろうか。

graph_0001.jpg


また、問題の関数列級数がx∈Rで収束するのだから、

  

0に収束する。
何故ならば、xを一つの値に固定すると、

  

と置くことができるにゃ。そして、

  

となることから分かるケロ。

もっとも、

  

だから、ハサミ打ちの定理よりn→∞のときに極限値が0になることからも分かる。
そして、このことから、この関数列も0に一様収束することが分かるケロ。

nを1〜10まで変化させた時のグラフが次のようになることから、このことがわかってもらえるんじゃないだろうか。

graph_f_n(x).GIF

この問題一つでこれまで勉強してきたことを色々と復習できるので、この問題はいい問題だと思うにゃ。
ただ、これだけポンと出されると、どうやって問いたらいいのか、途方に暮れることになるかもしれない。


そして、この関数の場合、

  

が成り立つのであった。

何故、成り立つのかは、過去の記事を読んで欲しいにゃ。



第33回 関数項級数の一様収束の判定
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-06-29-5

ここにほとんど同じ問題が出ていて、ここでも解いているようだが・・・。




ねこ騙し数学? ウサギさんと数学 [数列と級数]

ねこ騙し数学? ウサギさんと数学

ブラゲロのところで、フィボナッチ数列(Fibonacci Sequenceが出ているようなので、この話を少し。
ブラゲロはこのことにまったく気づいていなかったと思うけれど(^^ゞ

ねこ騙し数学でも少しだけ取り上げたけれど、
フィボナッチ数列というのは、

  

という漸化式で与えられる数列のことにゃ。


これは、

  

となり発散してしまうんだけれど、

  

となりまして、

  

と置きますと、
  

と、フィボナッチ数列を書き換えることができるだケロ。

で、オレはこの数列の収束についてどっかでやったと思うんだけれど、


これを表計算ソフトで計算させると、


 




























グラフにすると、こんな感じ。

  suuretsu.png

で、
この数列の極限値をαとすると、

  

になるんだけれど、

これは美の比率といわれる黄金比といわれるものだにゃ。


この値は8/5=1.6で近似できる。

この5:8という数字、5と8という数字は、たぶん、音楽の音階の方で重要な数だと思う。
 ―――オレは音楽の専門家じゃない。この部分はTastenkastenさんの領域だ!!―――



で、このフィボナッチ数列は、ウサギさんと深い関係があるんだケロ。

http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/fibona.html



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