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無限級数の収束・発散の判定2 [数列と級数]

無限級数の収束・発散の判定2

 

前回にひき続いて、無限級数の収束・発散の判定について話をする。

 

その下準備として、次の問題を解くことにする。

 

問題1 次のことを示せ。

【解】

(1) 0<tのときであるから、x>0とすると

  

 

has-graph-002.png(2)

  

とすると、

  

よって、f(x)は、0<x<1のとき減少、1<xのとき増加となり、x=1のとき極小(最小)。

したがって、

  

である。

よって、x≧1のとき、

  

また、

  

したがって、ハサミ打ちの定理より

  

(解答終)

 

 

has-graph-003.pngy=xは、y=log(1+x)(0,0)における接線だから、x>0のとき、

   

でも、もちろん、OK!!

(右図参照)

さらに、「log(1+x)は上に凸の関数だから」というオマジナイを唱えれば、申し分なし!!

 

(2)は、ロピタルの定理を使えば、

  

と簡単に求められるが、このブログは、極力、ロピタルの定理を使わないという方針。

 

 

では、本題!!

 

問題2 次のことを示せ。

(1) は収束する。

(2) は収束する。

(3) は発散する。

【解】

(1) 問題1の(1)より

  

である。

したがって、

  hs2-001.png

は単調増加で、は収束するので、は収束する。

 

(2) 問題1の(2)より

  hs2-002.png

また、

  

だから、は単調増加数列で、かつ、

  hs2-003.png

は収束するので、も収束する。

 

 

(3)

  hs2-004.png

である。

  

したがって、

  hs2-006.png

よって、は発散する。

(解答終)

 

has-gprah-004.png(※)

   

 

 


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無限級数の収束・発散 [数列と級数]

無限級数の収束・発散

 

高校のとき、

  

という無限級数が発散することを示す次のような証明を見て、深く感動した。

 

【無限級数(1)が発散することの証明】

 


  

 

ゆえに、(1)は発散する。

(証明終)

 

感動するのと同時に、「こんなうまい証明法は絶対に思いつかない」と、自分の才能のなさを痛いほど思い知らされた。

 

【別証】

0<k<x<k+1とすると、

  

k=1,2,・・・,nとし、(2)を足し合わせると、

  

n→のときlog(n+1)→∞だから、

  

よって、(1)は発散する。

(別証終)

 

 

(3)式の左辺と中辺のnn−1に変え、さらに両辺に1を加えると、

  

したがって、

  

ここで、

  

とおくと

  

となり、は下に有界な単調減少数列だから、(4)は0以上1未満のある数に収束する。この極限値をCとすると、

  

そして、この数CEulerの定数という。

 

問1 次の級数が収束することを示せ。

  

 

別証のように、積分を使ったダサい証明法は嫌だというヒトは、

  

という不等式を利用すると、

  

この両辺に1を加えると・・・。

もう、答を書いたようなものだが。

 

証明できなかったヒトは、数学的帰納法を使って

  

を証明する。

過去に何度も大学入試に出題された問題だケロ。

 

なお、次の関係が成立することは言うまでもないだろう。

  

 

 

ところで、無限級数(6)はいったいどんな数に収束するのだろうか。

1より大きく2以下であることは確かであるけれど謎である(^^)

 

 

問2 次の級数は、a≦1のときは発散し、a>1のとき収束することを示せ。

  

 

問3 次の級数の収束・発散を判定せよ。

  

【解】

(1)

  kyu-su-002.png

よって、発散する。

 

(2)

  

よって、発散する。

(解答終)

 

 

別証のように積分を使って解くこともできるだろうが・・・。

 

 

オマケ


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お前らに質問(5月12日) 数列の極限 [数列と級数]

お前らに質問!!

 

問題

  

で与えられる実数の数列があるとする。

この数列が収束するような初項x₁の範囲を求めよ。

 

 

ノーヒントじゃ辛いかもしれないので、ヒントを幾つか与えることにする。

 

(1)式で与えられる数列が極限値αをもつならば、

  

したがって、極限値の候補は−3,1,2

 

x₁=−3のとき

  

x₁=1のとき、

  

x₂=2のとき

  

 

さらに、おまけとして、グラフを。

 

 

Rを実数全体の集合とし、

  

で定義されるとすると、このグラフから

  

で与えられる数列の極限値は、どれも、方程式

  

の解、すなわち、RからRへの写像fの不動点になっていることがわかる。

 

ここまでヒントを与えたのだから、それぞれの極限値、すなわち、−312に収束する、x₁の範囲を求めろよな。

3に収束するx₁の範囲、1に収束するx₁の範囲、2に収束するx₁の範囲を求めろって言ってんだ。

  ――表計算ソフトなどで、初期値の値x₁を変えて20項くらいまで計算すれば、この答はすぐにわかる!!――

そして、できることならば、その条件のとき、その極限値に収束することを証明する。

できた奴は、コメント欄に解答を書いて、ネムネコのところまで送るケロ!!

 

のとき

hassan-tab.png

 

のとき

shuusoku-tab.png

答を教えたようなものだ。

 





画像元:YouTubeの上の動画


追加問題

  

とすると、−3<f(x)<2となり、関数fは開区間(−3,2)から(−3,2)への写像となる。

さて、この写像fは縮小写像だろうか。

ちなみに、

とする。

0<c<1であるcが存在し、すべてのx,y∈Xに対し、

  

が成立するとき、fを縮小写像という。

 



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無限乗積2 収束の条件 [数列と級数]

無限乗積2 収束の条件

 

定理1 無限乗積mj2-001.pngが収束するための必要十分条件は、任意の正数ε>0に対して適当なを定めることができて、であるすべての整数nkに対して

  mj2-002.png 

である。

【証明】

必要性:もしmj2-001.pngが収束すれば、0に等しいは有限個しかないので、ある番号から先ではである。そこで、すべてのnに対してと仮定する。

  

とおくと、仮定より

  

であるPが存在する。よって、n=0,1,2,・・・に対して

  

となる正数Cが存在する。

また、Cauchyの定理より、任意のCε>0に対して、適当なが存在して、のすべてのnkに対して

  

が成立する。

だから上式をで割ると、

  

十分性:仮定より、ε=1/2に対して適当なmを選べば、n>mであるすべてのnに対して

  

ここで、

  

とおけば、

  mj2-003.png

したがって、が存在すればその極限値は0ではない。

次に任意のε>0に対して、であるを定めれば、であるすべてのnkに対して


よって、Cauchyの定理から収束し、その極限値は0ではない。ゆえに、は収束する。

(証明終)

 

定理1でk=1とすれば、

  

となり、

  

したがって、無限乗積が収束するとき、

  

でなければならない。

無限乗積mj2-001.pngが収束するときの極限値は1なので、無限乗積を

  mj2-004.png

と書くことにすると、次の定理が成り立つ。

 

定理2 mj2-005.pngが収束するならば、である。

 

定理3 のとき、mj2-005.pngmj2-006.pngは同時に収束、発散する。

【証明】

mj2-006.pngが収束するとする。

  

とおくと、

  mj2-007.png

が存在するので、上式の右辺の極限値も存在し、

  

となる。

逆にmj2-005.pngが存在するとする。

定理1より適当なを選べば、であるすべてのn,k0<ε<1に対して

  mj2-009.png

のとき、Log z1の近傍で展開すれば

  mj2-010.png

 

問 mj2-013.pngは収束することを示せ。

【解】


  

は収束するから、mj2-012.pngは(絶対)収束する。したがって、mj2-013.pngは収束する。

(解答終)

 

 

定理4 のとき、無限級数mj2-015.pngと無限乗積mj2-014.pngは同時に収束または発散する。

【証明】

mj2-016.pngが収束するための必要条件はであるから、ある番号から先はと仮定してよい。

ならば


  

この不等式はのときも成立するから、は同時に収束または発散する。

またの代わりにを置き換えれば

  mj2-020.png

となるから定理3よりは同時に収束または発散する。

(証明終)

 

無限乗積が収束するとき、は絶対収束するという。

 

定理5 絶対収束する無限乗積は収束する。

 

 

 


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無限乗積1 [数列と級数]

無限乗積1

 

無限乗積の定義

 

三角関数の半角公式

  

を繰り返して用いると、

  

0<x<πならば、

  

だから

 

  

したがって、

  

ゆえに

  

特に、x=π/2のとき

  

このように無限個の数を掛けあわせたものを無限乗積という。

 

数列が与えられたとき

  

を無限乗積といい、をその第n項、

  

をその第n項までの部分積という。

 

いま仮にであるとすると、

  

となり、

  

また、

  

とすると、

  

となり、各項が0でないのに無限乗積が

  

となってしまう。

そこで、次のように無限乗積の収束と発散を定義することにする。

 

[Ⅰ] すべてのが0でなく、

  

となるPが存在するとき、無限乗積Pに収束するといい

  

と書く。

また、のとき、無限乗積は零に発散するという。

が存在しないとき、は発散するという。

 

[Ⅱ] の中に0に等しい物が有限個あり、それらの項を取り除いた残りの無限乗積が[Ⅰ]の意味で収束するとき、もとの無限乗積は零に収束するといい、

  

と書く。除外した残りが(0に)発散するときは、は零に発散するという。

 

[Ⅲ] の中に無限個の0に等しい物があるときは、は発散するという。

 

 

問1 次のことを示せ。

  

【解】

  

よって、

  

 

問2 はともに発散することを示せ。

【解】

  

したがって、は発散する。

  

したがって、は0に発散する。

(解答終)

 

問3 次の関係を示せ。

  

ただし、

  

【解】

  

したがって、

  

(解答終)

 

 


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秘密の定理 [数列と級数]

秘密の定理

 

定理

閉区間[a,b]で定義された連続関数からなる関数列が一様有界で、連続関数f(x)が収束するならば、

  himitu-001.png

が成立する。

 

一様有界とは、

  

となる定数Kが存在すること。

 

この定理がどれほど強力かというと、次の問題が簡単に解けてしまう。

 

問 次の値を求めよ。

【解】

(1) 

よって、は一様有界。

また、

  

となるので、上の定理から

  

 

(2) 

よって、は一様有界。

また、

  

したがって、

  

 

(3) 

したがって、は一様有界。

また、

  

よって、

  

(解答終)

 

(1)くらいならば、0≦x≦1のとき、

  

したがって、

  

ここで、

  

となるので、ハサミ打ちの定理より

  

と解くことができるけれど、(2)、(3)はこのように簡単に解くことはできない。

 

しかも、[a,b]で連続な関数からなる関数列が一様収束ならば一様有界なので、一様収束の関数列に対してもそのままこの定理を使うことができる。

 

 

宿題 次の値を求めよ。

  

 

(ヒント)

この問題は、

  hm-002.png

に気づけば解けるが・・・。そして、ロピタルの定理を使えば・・・。

  hm-003.png

とすると、

したがって、・・・。

 

 


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一様収束の復習 [数列と級数]

一様収束の復習

 

区間Iで定義された関数からなる関数列x∈Iの各点で関数f(x)に収束するとき、すなわち、

  iy-001.png

であるとき、関数列I上でf(x)に各点収束するという。

 

例1

  iy-002.png

この関数列は、

  iy-003.png

に収束する。

そこで、

  iy-004.png

と定義すれば、

  

となる。

 

ところで、0<x<10に収束するので、任意のε>0に対して

  iy-005.png

したがって、任意のε>0に対して、正の整数を選ぶと、x∈[0,1]

  iy-006.png

となる。

ここで[x]はガウス記号で、xを越さない最大の整数である。

 

一般に、区間Iで定義された関数列f(x)に収束するとき、例1のように、(1)式の正の整数Nεだけでは定まらず、点xで異なる。しかし、点xに無関係にNεだけで定まるとき、つまり、であるとき、f(x)に一様収束するという。すなわち、

任意のε>0に対し、N(ε)を十分に大きく選べば、∀n>N(ε)と∀x∈Iに対し

  iy-000.png

であるとき、関数列は関数f(x)に一様収束するという。

 

例2

  

0に一様収束する。

  iy-009.png

よって、任意のε>0に対して、にとれば、∀n>Nと∀x>1に対して

  

となり、0に一様収束する。

一様収束する関数列に関しては、次の定理が成立する。

 

定理

[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でf(x)に一様収束するならば、

  iy-007.png

 

例3 a>1とすると、

  

は、[1,a]上で0に一様収束する。

したがって、定理より

  iy-010.png

実際、左辺を計算してみると、

  iy-008.png

 

問題 

  

のとき、次の問に答えよ。

(1) が一様収束することを示せ。

(2) iy-014.pngの値を求めよ。

【解】

(1)を微分すると、

  iy-011.png

したがって、x=1/nのときに極大、かつ、最大になり、

  

したがって、任意のx≧0に対して

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

である。

ε>0、さらに、とすると、

  iy-012.png

したがって、任意のεに対して、にとると、∀n>Nに対して

  

となるので、0に一様収束する。

 

(2) 定理より、

  

(解答終)

 

ところで、例1の

  iy-002.png

は、0に各点収束するけれど、一様収束ではない。

しかし、

  iy-003.png

また、の極限関数

  iy-004.png

の定積分

  

となり、

  iy-013.png

が成り立つ。

 

つまり、[a,b]で連続な関数で、関数列が一様収束しなくても、

  iy-007.png

が成り立つ場合がある。


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「次の極限値を求めるケロ!!」の答えだにゃ [数列と級数]

「次の極限値を求めるケロ!!」の答えだにゃ

積分を使うならば、次のように解くことができる。


x∈[k,k+1]k=1,2,3,・・・)で、

  

よって、

  

また、n≧2のとき

  

したがって、

  

この結果を踏まえて、次のように解けばよいだろう。



問題 次のことを証明せよ。

  

【証明】
n≧2のとき、

  

また

  

ハサミ打ちの定理より

  

である。

(証明終)



これまでに何度も

  

の証明をしているから、このことは既知として使ったにゃ。

 

なお、

このことは、とおき、両辺の対数をとると

  

したがって、

  

になることから理解してもらえるのではないか。

 

³を使わずに、⑨を証明するのは結構、大変で、証明も長くなるので⑨³を使った。

 

したがって、

  

とおくと、

  

となり、

公式

  

より、

  

である。




さらに、高飛車のこの曲を♪


何と心地よい曲、響き♪ 気持ちいいケロ!!


次の極限値を求めるケロ!! [数列と級数]

数列の極限をやっているので、数列の極限絡みの問題を一つ!!

 

問題1 次のことを示せ。

  

 

次の公式

  

を使えば簡単に証明できるが・・・。

 

公式⑨を使って証明したヒトは、公式⑨使用のペナルティとして次の極限を証明するように!!



問題2 次のことを示せ。

  




この動画に出ているけれど、
ちゃんとやれ!!
よな。自分で解かないと力にならないけろよ。


数列の問題 [数列と級数]

数列の問題


問題 nを2より大きな自然数とする。

(1) が成り立つことを用いて、

   

であることを証明せよ。

(2) さらに

  

であることを証明せよ。

この問題は、実際に大学入試の問題として出題されたもの。

この問題の(1)はともかく、(2)はしびれてしまう。

入試問題としては適切だとは思わないが、この問題は非常に興味深い問題だと思う。


というわけで、解いてみることにする。


【解】

(1) nが2より大きな自然数だから

  

よって

  

上の式の右辺は初項1、公比1/2の等比数列の1〜n項までの和だから

  

したがって、

  


(2) nが2より大きい自然数だから

  

よって、

  

また、

  

①に代入すると

  

(解答終わり)

 


この問題を真似すると、

  

したがって、

  

よって、

  

である。

  

とすると、この数列(級数)はnの単調増加で、かつ、任意のnについて

  

が成立し、有界で、この数列は収束する。この極限をSとおく、つまり、

  

とおく。

ところで、マクローリン展開のところで

  

をやった。

x=1を⑨に代入すると

  

となり、

  

である。
だから、

  

という近似値は、結構、いい近似であることがわかる。


さらに、nが4以上のとき

  

を利用すると、

  

となり、Sと小数第4位まで一致する。

参考として、ねこ騙し数学の微分・積分の第14回ネイピア数の記事をあげておく。


http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-03-05

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