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数列の問題 [数列と極限]

数列の問題


問題 nを2より大きな自然数とする。

(1) が成り立つことを用いて、

   

であることを証明せよ。

(2) さらに

  

であることを証明せよ。

この問題は、実際に大学入試の問題として出題されたもの。

この問題の(1)はともかく、(2)はしびれてしまう。

入試問題としては適切だとは思わないが、この問題は非常に興味深い問題だと思う。


というわけで、解いてみることにする。


【解】

(1) nが2より大きな自然数だから

  

よって

  

上の式の右辺は初項1、公比1/2の等比数列の1〜n項までの和だから

  

したがって、

  


(2) nが2より大きい自然数だから

  

よって、

  

また、

  

①に代入すると

  

(解答終わり)

 


この問題を真似すると、

  

したがって、

  

よって、

  

である。

  

とすると、この数列(級数)はnの単調増加で、かつ、任意のnについて

  

が成立し、有界で、この数列は収束する。この極限をSとおく、つまり、

  

とおく。

ところで、マクローリン展開のところで

  

をやった。

x=1を⑨に代入すると

  

となり、

  

である。
だから、

  

という近似値は、結構、いい近似であることがわかる。


さらに、nが4以上のとき

  

を利用すると、

  

となり、Sと小数第4位まで一致する。

参考として、ねこ騙し数学の微分・積分の第14回ネイピア数の記事をあげておく。


http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-03-05

級数の収束の番外編 [数列と極限]

級数の収束の番外編


この級数の収束はどう証明したらいいんだろう?

  


ふっと、そんなことが頭に浮かんだ。


定理

α>1ならば

  

は収束し、α≦1ならば発散する。


この定理(?)を使えば、この級数の収束の判定はすぐにできる。


しかし、こんな定理を知らなくても、

k≧2のとき、k–1≦x≦k

  

だから

  

よって、

  

これだと1/1²が足りないので、両辺に1を足して

  

は単調増加数列で有界だから収束する。

と証明すればよい。

そして、この証明は、αに変えれば、定理(?)の証明にそのまま流用できる。


しかし、それじゃ〜つまらない。

それで、少し――数秒――考えた。

  

だから、n>1のとき

  

よって、

  

は収束する。

あるいは、k≧2のとき

  

を利用して

  

で、この両辺に1を足して

  

とすればいい。

この結果は、積分を使った証明と同じ結果じ。

これは、

  

だから。

かつて、大学入試で次のような問題が出たことがあるらしい。


問題 が収束する。このことを用いてが収束することを示せ。

また、

  

とするとき、STの間の関係を求めよ。

証明では何をどこまで使っていいのかがわからないので困ってしまうのだが・・・。


【解】

  

とする。

  

だから、

  

このn→∞極限をとると、

  

だから、

  

は収束する。

また、

  

という関係がある。

 


番外編 循環小数 [数列と極限]

番外編 循環小数



循環小数については数列と級数の第19回で少しだけ触れておいただけなので、その続編です。


たとえば、0.333・・・という循環小数があるとする。

これは実は

  

という無限級数の和のことで、

  

n→∞の極限値を意味する。

a1≦a≦9の自然数とする。

そして、

  

と定義することにする。

この極限値は簡単に求められて、

  

となる。

ここでは、

  

を使っているよ。

ということで、最初の例として出した0.3・・・は、a=3のときなので

  

となる。同様に、

  

となる。

そして、

  

だケロ。0.999・・・というのは、1を循環小数の形式で表したものに過ぎない。だから、「0.999・・・と1は同じか違うのか」という問は、実は、まったくナンセンスというわけ。

もっとも、こんな難しい計算をしなくても、

  

と安直に求めることもできるのだが・・・。

で、もっと拡張して、

  

という循環小数を考える。

これは、

  

となる。

だから、たとえば、0.517517517・・・という循環少数は

  

ということになる。
ちなみに、a₁a₂a₃は数の並びで、a₁a₂a₃の掛け算ではないので、この点は注意してほしいニャ。

では、問題。


問題1 次の連立方程式を解け。

  

【解】

  

よって、

  

また、

  

となる。

  

これを解くと、

  

となる。

 


問題2
abc1<a<b<c<9となる整数で、

  

は等比数列をなしている。

(1) abcの値を求めよ。

(2) この等比数列の第四項を循環小数であらわせ。

【解】

(1)

  

これが等比数列をなしているので、

  

これを満たすabca=2b=4c=8

(2)

   

よって、第四項は

  



ちなみに、(1)αβγが等比数列であるとき、公比をrとすると、

  

になるということを使っている。


第7回 番外編 お絵描きの練習2 [数列と極限]

第7回 番外編 お絵描きの練習2


中点連結定理

三角形ABCの辺ABACの中点をそれぞれMNとするとき、

   

である。

bangai-oekaki-04.jpg

記号「||」は平行の意味。


証明は、ベクトルを使うと、次のようになるにゃ。

【証明】

  

(証明終わり)

ちなみに、三角形AMNと三角形ABCは相似で相似比は1/2である。だから、面積は

  

になる。

ここまではイントロ。

では、問題を解いてみることにするにゃ。

問題

図のように△ABCの確変の中点を結び、△A₁B₁C₁をつくり、次々にこの操作を行って△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃、……を作るとき、その面積をS₁S₂S₃、……とすれば、

(1) △ABCの面積がSのとき、無限級数

  

を求めよ。

(2) △ABCの週をl、△A₁B₁C₁の周をl₁、△A₂B₂C₂の周をl₂、……とするとき、

  

lであらわせ。


bangai-oekaki-03.png

【解】

(1) △A₁B₁C₁の面積は△ABC1/4だから

  


(2) △A₁B₁C₁は辺の長さがそれぞれ△ABCの各辺の長さの半分になっているのだから、△ABCとの周の長さには

  

という関係がある。

よって、

  


ここでは、等比数列の無限級数の公式

  bangai-oekaki2-siki01.png

を使っている。

(1)のときa=S/4r=1/4で、(2)のときa=l/2r=1/2


この級数は一様収束するか? [数列と極限]

この級数は一様収束するか?


昨日の夜、「重積分のいい問題はないか」と、数学の演習書をちらっと覗いて、こんな問題を見つけた。

問題 次の関数列級数が一様収束することを示せ。

  

【解】

  

とする。

  

だから、f(x)x=−1/√nで極小(最小)、x=1/√nで極大(最大)となる。

よって、

  

ということで、

  

で、

  

となり、ワイエルシュトラスのM判定法より一様収束する。
(問題終わり)

上の解答では、ワイエルシュトラスのM判定以外にも
α>1
ならば

  

は収束する、ということも使っている。

ちなみに、f(x)という関数はf(−x)=−f(x)が成り立つので奇関数。ということで、0≦xだけを調べてもいいにゃ。
n=1
の時のグラフは、次のようになる。このグラフを見れば、奇関数であることがよく分かるんじゃないだろうか。

graph_0001.jpg


また、問題の関数列級数がx∈Rで収束するのだから、

  

0に収束する。
何故ならば、xを一つの値に固定すると、

  

と置くことができるにゃ。そして、

  

となることから分かるケロ。

もっとも、

  

だから、ハサミ打ちの定理よりn→∞のときに極限値が0になることからも分かる。
そして、このことから、この関数列も0に一様収束することが分かるケロ。

nを1〜10まで変化させた時のグラフが次のようになることから、このことがわかってもらえるんじゃないだろうか。

graph_f_n(x).GIF

この問題一つでこれまで勉強してきたことを色々と復習できるので、この問題はいい問題だと思うにゃ。
ただ、これだけポンと出されると、どうやって問いたらいいのか、途方に暮れることになるかもしれない。


そして、この関数の場合、

  

が成り立つのであった。

何故、成り立つのかは、過去の記事を読んで欲しいにゃ。



第33回 関数項級数の一様収束の判定
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-06-29-5

ここにほとんど同じ問題が出ていて、ここでも解いているようだが・・・。




ねこ騙し数学? ウサギさんと数学 [数列と極限]

ねこ騙し数学? ウサギさんと数学

ブラゲロのところで、フィボナッチ数列(Fibonacci Sequenceが出ているようなので、この話を少し。
ブラゲロはこのことにまったく気づいていなかったと思うけれど(^^ゞ

ねこ騙し数学でも少しだけ取り上げたけれど、
フィボナッチ数列というのは、

  

という漸化式で与えられる数列のことにゃ。


これは、

  

となり発散してしまうんだけれど、

  

となりまして、

  

と置きますと、
  

と、フィボナッチ数列を書き換えることができるだケロ。

で、オレはこの数列の収束についてどっかでやったと思うんだけれど、


これを表計算ソフトで計算させると、


 




























グラフにすると、こんな感じ。

  suuretsu.png

で、
この数列の極限値をαとすると、

  

になるんだけれど、

これは美の比率といわれる黄金比といわれるものだにゃ。


この値は8/5=1.6で近似できる。

この5:8という数字、5と8という数字は、たぶん、音楽の音階の方で重要な数だと思う。
 ―――オレは音楽の専門家じゃない。この部分はTastenkastenさんの領域だ!!―――



で、このフィボナッチ数列は、ウサギさんと深い関係があるんだケロ。

http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/fibona.html



ねこ騙し数学 不等式を証明したくなる [数列と極限]

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなる

ネムネコ、突然、不等式を証明したくなる。

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_m49640303.gif


この不等式の証明自体は簡単にゃ。
ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_5c84f19a.gif

となるので、

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_2154755.gif

だケロ。

うしろの不等式

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_m785cc5ac.gif

などは証明の必要すらないだろうけれど、

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_68773034.gif

等号が成立するのは a = b = 0のときだにゃ。 

 

こんなことを突然書き出したのは、ちょっと、理由があるんだケロ。
ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_445358be.gif
に収束する数列ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_44cf3ce.gifねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_117d0cd6.gifがあって、これをx座標、y座標の成分に持つ点列ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_m793b7a7f.gifがあるとするにゃ。

このとき、この点列の収束は、

任意の正の数εに対して

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_19263274.gif

となる自然数Nが存在する
と書くことができるんだケロ。

このとき、

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_a9b6405.gif

と書くんだケロ。Ax成分がay成分がの点ね。

で、この点列の収束ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_a9b6405.gifと、ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_445358be.gifは同値、同じ意味なんだケロ。

証明は、次のようにやればいい。
ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_7b326245.gif

は、
ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_7873a788.gif

になるんで、

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_m2b1c7c5f.gif

となるケロ。
で、

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_4d7dd8fa.gif

の証明は、

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_m3b39c2f3.gif

これから、

ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_535f37ab.gif

となり、証明終わり。

前回、数列の諸性質は、1次元であろうが、2次元であろうが、それよりも高い次元であろうが、変わらないといったケロ。

さらに、複素数の数列ねこ騙し数学 不等式を証明したくなった_htm_4b7265b5.gifにしても変わらないんだ。



第38回 指数関数と三角関数 [数列と極限]

第38回 指数関数と三角関数

前回、正弦関数sinx

  

になるという話をしたにゃ。そして、これは収束半径が∞だから、実数全域で項別微分ができて、
  

となるケロ。

 

で、指数関数のべき級数は

  

になるんだけれども、これを実数から複素数(虚数)まで拡大すると、

  
となるんだ。iは虚数単位で、√(−1)にゃ。

つまり、

関数の定義域を複素数まで拡大すれば、指数関数と三角関数には深い結びつきがあるんだケロ。
この両者は、無関係じゃないんだにゃ。

  

になるので、

正弦関数、余弦関数は、

  

と、指数関数で表すことができるんだケロ。

 

愛(i)によって、全く別物と考えられたものが結びつくんだから、すごいと思わないケロか?


なお、y=πを①式に代入すると、

  

というとっても美しい式が出てくるにゃ。
数学で最も基本的な数字、0、1、そして、円周率πと自然底eが結びつくんだ。

ちなみに、数学にはド・マーブルの定理

  

というものがあるけれど、

これは簡単に証明できるんだにゃ。
  

となるだろう。

そして、

  

となるけろ。

よって、

  

が証明された。


三角関数の倍角公式は、このド・マーブルの定理を使うと、

  

と出てくるケロ。

  

の定義域を実数から複素数z
= x + iy
に拡張すると
  

と三角関数を拡張することができる。


この世界では、
三角関数の有名な関係

  

は、もはや成立しない!!

今すぐに、定義域を実数から複素数まで拡大した微分積分の話をするのはさすがに無理なのですが、年内にはやりたいと思います。
ネムネコが突然死んだりしない限り、やると思います。

それから、数列、級数、関数項級数、そして、べき級数などの諸定理は、一次元であろうが、二次元、三次元、それどころか、複素数を対象としたものでも、基本的に成り立つんだケロ。


ということで、

数列と極限の話は、これでおしまいだにゃ。


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第37回 べき級数の微分方程式への応用 [数列と極限]

第37回 べき級数の微分方程式への応用



例題 次の微分方程式を解くケロ。

  

この解が

  

なのは、これまでに何度も出てきているので知っていると思うケロ。


なんだけれども、

  

とべき級数として表せて、この収束半径が∞だとすれば、項別微分が可能になるので、

  

になる。

よって、
  

になる。


このことより、

  

になる。


で、初期条件より

 

となるので、

①を使って

  

と順に計算できるね。

であるから、

  

なのであろう。


でも、ここでやめてはいけないケロ。

②の収束半径が∞であることを確かめないといけない。②を見ると、

  

となるので、この収束半径を求めると、

  

となり、②が解であることがわかるケロ。

つまり、

  

こういうふうにして求めた微分方程式の解を級数解というんだケロ。



問題 次の微分方程式の解を級数を用いて求めるケロ。

  

【解】

  

となるとすれば、


初期条件から、

  

になる。

で、この結果を使うと、

  

となって、右辺と左辺の係数を比較すると、

  

で、だから、

  

だよね。

そして、

  

よって、


この級数解は

  

で、これは何かといえば、sinxのマクローリン級数なんだケロ。


微分・積分の第15回のマクローリン展開(級数)は

  

になっていたと思うけれども、これはn=0から始めるかn=1から始めるかの違いで、同じ式だケロ。

ちなみに、このべき級数の収束半径は∞。そして、このべき級数は実数全域で一様収束するので、何度でも微分できるし、積分もできる。

sinxを三角形という図形から切り離し、

  

と定義しても構わないんだケロ。


そして、sinxの連続性や、微分可能性、積分可能性の根拠には、一様収束性があるということになる。



第36回 項別微分・項別積分の級数の和への応用 [数列と極限]

第36回 項別微分・項別積分の級数の和への応用

前回、べき級数(整級数)は、その収束半径をRとすると、-R<x<R

  

になるという話をしたにゃ。


で、これを使って、無限級数の和を求めてみようって話だにゃ。

問題1 次の級数の和を求めるケロ。

  

【解】

  

それで、

  
の収束半径は1だから、-1<x<1では項別微分ができて、上の式の両辺をxで微分すると、

  
となるケロ。


で、x=1/2とすると

  

で、この両辺に1/2をかけると、

  

となる。

あるいは、①式の両辺にxをかけると、

 

となるので、これにx=1/2を代入してもいいケロ。


こうした方法を使うと、無限級数の和だけではなく、
-1<x<1のとき、①や②のような公式(?)を簡単に導くこともできるんだケロ。



では、もう少し難しい問題を。

問題2 次の級数の和を求めるケロ。

  

【解】

  
の両辺をxで微分すると、

  

この両辺にxをかけると

  

で、これにx=1/2を代入すると、

  

 


問題3 次の級数の和を求めるケロ。

  

【解】
  
という級数を考えると、

  

になるので、この収束半径は

  

となる。

-2<x<2に対しては、項別微分が許されるので、

を微分すると、

  

となるケロ。
で、この両辺を積分すると、[0,1]で積分すると、

左辺は、項別積分ができるので
  
となり、

右辺は
  

よって、

  

まっ、こんなところだケロ。



なんだかわからない関数列や関数項級数の一様収束を長々とやってきた甲斐があったろう。
こうしたことができるのは、一様収束だからなんだケロ。

こうした計算をするときには、収束半径に気をつけて欲しいにゃ。
収束半径外では、基本的にこんな計算は許されない!!


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