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無限乗積2 収束の条件 [数列と級数]

無限乗積2 収束の条件

 

定理1 無限乗積mj2-001.pngが収束するための必要十分条件は、任意の正数ε>0に対して適当なを定めることができて、であるすべての整数nkに対して

  mj2-002.png 

である。

【証明】

必要性:もしmj2-001.pngが収束すれば、0に等しいは有限個しかないので、ある番号から先ではである。そこで、すべてのnに対してと仮定する。

  

とおくと、仮定より

  

であるPが存在する。よって、n=0,1,2,・・・に対して

  

となる正数Cが存在する。

また、Cauchyの定理より、任意のCε>0に対して、適当なが存在して、のすべてのnkに対して

  

が成立する。

だから上式をで割ると、

  

十分性:仮定より、ε=1/2に対して適当なmを選べば、n>mであるすべてのnに対して

  

ここで、

  

とおけば、

  mj2-003.png

したがって、が存在すればその極限値は0ではない。

次に任意のε>0に対して、であるを定めれば、であるすべてのnkに対して


よって、Cauchyの定理から収束し、その極限値は0ではない。ゆえに、は収束する。

(証明終)

 

定理1でk=1とすれば、

  

となり、

  

したがって、無限乗積が収束するとき、

  

でなければならない。

無限乗積mj2-001.pngが収束するときの極限値は1なので、無限乗積を

  mj2-004.png

と書くことにすると、次の定理が成り立つ。

 

定理2 mj2-005.pngが収束するならば、である。

 

定理3 のとき、mj2-005.pngmj2-006.pngは同時に収束、発散する。

【証明】

mj2-006.pngが収束するとする。

  

とおくと、

  mj2-007.png

が存在するので、上式の右辺の極限値も存在し、

  

となる。

逆にmj2-005.pngが存在するとする。

定理1より適当なを選べば、であるすべてのn,k0<ε<1に対して

  mj2-009.png

のとき、Log z1の近傍で展開すれば

  mj2-010.png

 

問 mj2-013.pngは収束することを示せ。

【解】


  

は収束するから、mj2-012.pngは(絶対)収束する。したがって、mj2-013.pngは収束する。

(解答終)

 

 

定理4 のとき、無限級数mj2-015.pngと無限乗積mj2-014.pngは同時に収束または発散する。

【証明】

mj2-016.pngが収束するための必要条件はであるから、ある番号から先はと仮定してよい。

ならば


  

この不等式はのときも成立するから、は同時に収束または発散する。

またの代わりにを置き換えれば

  mj2-020.png

となるから定理3よりは同時に収束または発散する。

(証明終)

 

無限乗積が収束するとき、は絶対収束するという。

 

定理5 絶対収束する無限乗積は収束する。

 

 

 


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無限乗積1 [数列と級数]

無限乗積1

 

無限乗積の定義

 

三角関数の半角公式

  

を繰り返して用いると、

  

0<x<πならば、

  

だから

 

  

したがって、

  

ゆえに

  

特に、x=π/2のとき

  

このように無限個の数を掛けあわせたものを無限乗積という。

 

数列が与えられたとき

  

を無限乗積といい、をその第n項、

  

をその第n項までの部分積という。

 

いま仮にであるとすると、

  

となり、

  

また、

  

とすると、

  

となり、各項が0でないのに無限乗積が

  

となってしまう。

そこで、次のように無限乗積の収束と発散を定義することにする。

 

[Ⅰ] すべてのが0でなく、

  

となるPが存在するとき、無限乗積Pに収束するといい

  

と書く。

また、のとき、無限乗積は零に発散するという。

が存在しないとき、は発散するという。

 

[Ⅱ] の中に0に等しい物が有限個あり、それらの項を取り除いた残りの無限乗積が[Ⅰ]の意味で収束するとき、もとの無限乗積は零に収束するといい、

  

と書く。除外した残りが(0に)発散するときは、は零に発散するという。

 

[Ⅲ] の中に無限個の0に等しい物があるときは、は発散するという。

 

 

問1 次のことを示せ。

  

【解】

  

よって、

  

 

問2 はともに発散することを示せ。

【解】

  

したがって、は発散する。

  

したがって、は0に発散する。

(解答終)

 

問3 次の関係を示せ。

  

ただし、

  

【解】

  

したがって、

  

(解答終)

 

 


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秘密の定理 [数列と級数]

秘密の定理

 

定理

閉区間[a,b]で定義された連続関数からなる関数列が一様有界で、連続関数f(x)が収束するならば、

  himitu-001.png

が成立する。

 

一様有界とは、

  

となる定数Kが存在すること。

 

この定理がどれほど強力かというと、次の問題が簡単に解けてしまう。

 

問 次の値を求めよ。

【解】

(1) 

よって、は一様有界。

また、

  

となるので、上の定理から

  

 

(2) 

よって、は一様有界。

また、

  

したがって、

  

 

(3) 

したがって、は一様有界。

また、

  

よって、

  

(解答終)

 

(1)くらいならば、0≦x≦1のとき、

  

したがって、

  

ここで、

  

となるので、ハサミ打ちの定理より

  

と解くことができるけれど、(2)、(3)はこのように簡単に解くことはできない。

 

しかも、[a,b]で連続な関数からなる関数列が一様収束ならば一様有界なので、一様収束の関数列に対してもそのままこの定理を使うことができる。

 

 

宿題 次の値を求めよ。

  

 

(ヒント)

この問題は、

  hm-002.png

に気づけば解けるが・・・。そして、ロピタルの定理を使えば・・・。

  hm-003.png

とすると、

したがって、・・・。

 

 


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一様収束の復習 [数列と級数]

一様収束の復習

 

区間Iで定義された関数からなる関数列x∈Iの各点で関数f(x)に収束するとき、すなわち、

  iy-001.png

であるとき、関数列I上でf(x)に各点収束するという。

 

例1

  iy-002.png

この関数列は、

  iy-003.png

に収束する。

そこで、

  iy-004.png

と定義すれば、

  

となる。

 

ところで、0<x<10に収束するので、任意のε>0に対して

  iy-005.png

したがって、任意のε>0に対して、正の整数を選ぶと、x∈[0,1]

  iy-006.png

となる。

ここで[x]はガウス記号で、xを越さない最大の整数である。

 

一般に、区間Iで定義された関数列f(x)に収束するとき、例1のように、(1)式の正の整数Nεだけでは定まらず、点xで異なる。しかし、点xに無関係にNεだけで定まるとき、つまり、であるとき、f(x)に一様収束するという。すなわち、

任意のε>0に対し、N(ε)を十分に大きく選べば、∀n>N(ε)と∀x∈Iに対し

  iy-000.png

であるとき、関数列は関数f(x)に一様収束するという。

 

例2

  

0に一様収束する。

  iy-009.png

よって、任意のε>0に対して、にとれば、∀n>Nと∀x>1に対して

  

となり、0に一様収束する。

一様収束する関数列に関しては、次の定理が成立する。

 

定理

[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でf(x)に一様収束するならば、

  iy-007.png

 

例3 a>1とすると、

  

は、[1,a]上で0に一様収束する。

したがって、定理より

  iy-010.png

実際、左辺を計算してみると、

  iy-008.png

 

問題 

  

のとき、次の問に答えよ。

(1) が一様収束することを示せ。

(2) iy-014.pngの値を求めよ。

【解】

(1)を微分すると、

  iy-011.png

したがって、x=1/nのときに極大、かつ、最大になり、

  

したがって、任意のx≧0に対して

  

また、

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  

である。

ε>0、さらに、とすると、

  iy-012.png

したがって、任意のεに対して、にとると、∀n>Nに対して

  

となるので、0に一様収束する。

 

(2) 定理より、

  

(解答終)

 

ところで、例1の

  iy-002.png

は、0に各点収束するけれど、一様収束ではない。

しかし、

  iy-003.png

また、の極限関数

  iy-004.png

の定積分

  

となり、

  iy-013.png

が成り立つ。

 

つまり、[a,b]で連続な関数で、関数列が一様収束しなくても、

  iy-007.png

が成り立つ場合がある。


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「次の極限値を求めるケロ!!」の答えだにゃ [数列と級数]

「次の極限値を求めるケロ!!」の答えだにゃ

積分を使うならば、次のように解くことができる。


x∈[k,k+1]k=1,2,3,・・・)で、

  

よって、

  

また、n≧2のとき

  

したがって、

  

この結果を踏まえて、次のように解けばよいだろう。



問題 次のことを証明せよ。

  

【証明】
n≧2のとき、

  

また

  

ハサミ打ちの定理より

  

である。

(証明終)



これまでに何度も

  

の証明をしているから、このことは既知として使ったにゃ。

 

なお、

このことは、とおき、両辺の対数をとると

  

したがって、

  

になることから理解してもらえるのではないか。

 

³を使わずに、⑨を証明するのは結構、大変で、証明も長くなるので⑨³を使った。

 

したがって、

  

とおくと、

  

となり、

公式

  

より、

  

である。




さらに、高飛車のこの曲を♪


何と心地よい曲、響き♪ 気持ちいいケロ!!


次の極限値を求めるケロ!! [数列と級数]

数列の極限をやっているので、数列の極限絡みの問題を一つ!!

 

問題1 次のことを示せ。

  

 

次の公式

  

を使えば簡単に証明できるが・・・。

 

公式⑨を使って証明したヒトは、公式⑨使用のペナルティとして次の極限を証明するように!!



問題2 次のことを示せ。

  




この動画に出ているけれど、
ちゃんとやれ!!
よな。自分で解かないと力にならないけろよ。


数列の問題 [数列と級数]

数列の問題


問題 nを2より大きな自然数とする。

(1) が成り立つことを用いて、

   

であることを証明せよ。

(2) さらに

  

であることを証明せよ。

この問題は、実際に大学入試の問題として出題されたもの。

この問題の(1)はともかく、(2)はしびれてしまう。

入試問題としては適切だとは思わないが、この問題は非常に興味深い問題だと思う。


というわけで、解いてみることにする。


【解】

(1) nが2より大きな自然数だから

  

よって

  

上の式の右辺は初項1、公比1/2の等比数列の1〜n項までの和だから

  

したがって、

  


(2) nが2より大きい自然数だから

  

よって、

  

また、

  

①に代入すると

  

(解答終わり)

 


この問題を真似すると、

  

したがって、

  

よって、

  

である。

  

とすると、この数列(級数)はnの単調増加で、かつ、任意のnについて

  

が成立し、有界で、この数列は収束する。この極限をSとおく、つまり、

  

とおく。

ところで、マクローリン展開のところで

  

をやった。

x=1を⑨に代入すると

  

となり、

  

である。
だから、

  

という近似値は、結構、いい近似であることがわかる。


さらに、nが4以上のとき

  

を利用すると、

  

となり、Sと小数第4位まで一致する。

参考として、ねこ騙し数学の微分・積分の第14回ネイピア数の記事をあげておく。


http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-03-05

級数の収束の番外編 [数列と級数]

級数の収束の番外編


この級数の収束はどう証明したらいいんだろう?

  


ふっと、そんなことが頭に浮かんだ。


定理

α>1ならば

  

は収束し、α≦1ならば発散する。


この定理(?)を使えば、この級数の収束の判定はすぐにできる。


しかし、こんな定理を知らなくても、

k≧2のとき、k–1≦x≦k

  

だから

  

よって、

  

これだと1/1²が足りないので、両辺に1を足して

  

は単調増加数列で有界だから収束する。

と証明すればよい。

そして、この証明は、αに変えれば、定理(?)の証明にそのまま流用できる。


しかし、それじゃ〜つまらない。

それで、少し――数秒――考えた。

  

だから、n>1のとき

  

よって、

  

は収束する。

あるいは、k≧2のとき

  

を利用して

  

で、この両辺に1を足して

  

とすればいい。

この結果は、積分を使った証明と同じ結果じ。

これは、

  

だから。

かつて、大学入試で次のような問題が出たことがあるらしい。


問題 が収束する。このことを用いてが収束することを示せ。

また、

  

とするとき、STの間の関係を求めよ。

証明では何をどこまで使っていいのかがわからないので困ってしまうのだが・・・。


【解】

  

とする。

  

だから、

  

このn→∞極限をとると、

  

だから、

  

は収束する。

また、

  

という関係がある。

 


番外編 循環小数 [数列と級数]

番外編 循環小数



循環小数については数列と級数の第19回で少しだけ触れておいただけなので、その続編です。


たとえば、0.333・・・という循環小数があるとする。

これは実は

  

という無限級数の和のことで、

  

n→∞の極限値を意味する。

a1≦a≦9の自然数とする。

そして、

  

と定義することにする。

この極限値は簡単に求められて、

  

となる。

ここでは、

  

を使っているよ。

ということで、最初の例として出した0.3・・・は、a=3のときなので

  

となる。同様に、

  

となる。

そして、

  

だケロ。0.999・・・というのは、1を循環小数の形式で表したものに過ぎない。だから、「0.999・・・と1は同じか違うのか」という問は、実は、まったくナンセンスというわけ。

もっとも、こんな難しい計算をしなくても、

  

と安直に求めることもできるのだが・・・。

で、もっと拡張して、

  

という循環小数を考える。

これは、

  

となる。

だから、たとえば、0.517517517・・・という循環少数は

  

ということになる。
ちなみに、a₁a₂a₃は数の並びで、a₁a₂a₃の掛け算ではないので、この点は注意してほしいニャ。

では、問題。


問題1 次の連立方程式を解け。

  

【解】

  

よって、

  

また、

  

となる。

  

これを解くと、

  

となる。

 


問題2
abc1<a<b<c<9となる整数で、

  

は等比数列をなしている。

(1) abcの値を求めよ。

(2) この等比数列の第四項を循環小数であらわせ。

【解】

(1)

  

これが等比数列をなしているので、

  

これを満たすabca=2b=4c=8

(2)

   

よって、第四項は

  



ちなみに、(1)αβγが等比数列であるとき、公比をrとすると、

  

になるということを使っている。


第7回 番外編 お絵描きの練習2 [数列と級数]

第7回 番外編 お絵描きの練習2


中点連結定理

三角形ABCの辺ABACの中点をそれぞれMNとするとき、

   

である。

bangai-oekaki-04.jpg

記号「||」は平行の意味。


証明は、ベクトルを使うと、次のようになるにゃ。

【証明】

  

(証明終わり)

ちなみに、三角形AMNと三角形ABCは相似で相似比は1/2である。だから、面積は

  

になる。

ここまではイントロ。

では、問題を解いてみることにするにゃ。

問題

図のように△ABCの確変の中点を結び、△A₁B₁C₁をつくり、次々にこの操作を行って△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃、……を作るとき、その面積をS₁S₂S₃、……とすれば、

(1) △ABCの面積がSのとき、無限級数

  

を求めよ。

(2) △ABCの週をl、△A₁B₁C₁の周をl₁、△A₂B₂C₂の周をl₂、……とするとき、

  

lであらわせ。


bangai-oekaki-03.png

【解】

(1) △A₁B₁C₁の面積は△ABC1/4だから

  


(2) △A₁B₁C₁は辺の長さがそれぞれ△ABCの各辺の長さの半分になっているのだから、△ABCとの周の長さには

  

という関係がある。

よって、

  


ここでは、等比数列の無限級数の公式

  bangai-oekaki2-siki01.png

を使っている。

(1)のときa=S/4r=1/4で、(2)のときa=l/2r=1/2


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