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考えるネムネコ3かな ネムネコ、かく解けり!! [微分積分]

考えるネムネコ3かな ネムネコ、かく解けり!!

ddt³さんが次の問題を紹介してくれた。

 

問題:a^22xay0aが任意の実数を動く時、(xy)の範囲を図示せよ。

【略解】

a²+2xa+y=0aの2次方程式と考える。

aは実数でなければならないので、判別式Dより

  

(略解終)

 

オレは、こんな解答を思いつかないケロ。

そして、オレは、たぶん、こう解くんじゃ〜ねぇ。

 

【ネムネコの略解】

  ryakkai-01.png

(ネムネコの略解終)

 

ネムネコは、この問題を見て、aの2次方程式の判別式なんて解法は思いつきもしない。

そして、略解を見て、「なるほどね〜。そういう解き方もあるんですね〜」と感心した素振りを見せつつ、内心、『こんな解き方は自然じゃ〜ねぇよ。あなたは、本当に、骨の髄まで受験数学に侵食されていますね』と、鼻でせせら笑う。

 

こんな問題は実数²≧0であることを知っていればすぐに片が付くと、この問題の略解を一蹴する。判別式など出る幕はまったくない。だって、この変形(平方完成)こそが2次方程式、その判別式などの最も根源的な変形なんだから。

しかも、オレの略解ならば、いまのところ、その数学的な意味は不明ながら、x=−aといったオマケまでついてくるではないか。

 

あるいは、

【ネムネコの略解1】

a(x,y)の変化によってどのように変化するか調べるために、まず、a²+2xa+y=0aについて解く。

  

aは実数でなければならないから、根号(ルート)の中は

  

でなければならない。

 ――この問題は、必要条件を求めよという問なので、ここでやめてよい!!――

 

な〜んだ、これは、2次方程式の判別式じゃ〜ないか。

 

そして、心の中で、

「高校生や受験生を惑わす、こんな問題を出すんじゃねぇよ。これで数学嫌いがまた増えたじゃないか。これはお前らのせいだから、しっかり、責任を取れよな!!」

と憤りをあらわにする。

 

(ネムネコの略解1終)

 

略解1が一番自然なんじゃ〜ないですかね。

こう解けば、なぜ、2次方程式の判別式が出てくるのか、自然とわかる。

さらに、x²−y≧0だから、

  hu-siki-001.png

とし、①に代入すると、

  housiki-002.png

曲線

  housiki-003.png

上でxを動かせば、y≦x²のとき、かならず、−∞<a<∞となることがわかり、aが任意の実数という条件を満たしていることが示せます。

 

 

 

 

【ネムネコの略解2】

  

出題者は、この曲線群の包絡線を求めよってんだよな(^^)

②の両辺をaで偏微分すると、

  

これを②に代入し、aを消去すると

  

 

包絡線、きたぁ〜!!

 

包絡線は高校数学の範囲外だにゃ。

出題者は、どうやら、包絡線が高校数学の範囲外であることを知らないらしい・・・。

だから、こんな問題を出してはダメだにゃ(^^

 

hou-grpah-004.pngしたがって、

aの2次方程式、a²+2ax+y=0が実根(実数解)をもつ条件を求め、この条件を満たす(x,y)を図示しなさい」

とすべきだ。

そして、

「重根(重解)をもつとき、この条件を満たす(x,y)から与えられる曲線は、aの値にかかわらず、直線y=−2ax-a²に接することを示しなさい」

という問題にすべきだにゃ。

 

  

したがって、重根を持つときy=x²

y=−2ax−a²y=x²の共有点を求めるために、この2つの式からyを消去すると、

    

x=−aのとき、

  

したがって、

aの値にかかわらず、つまり、任意の実数aに対して、

(−a,a²)y=−2ax−a²y=x²上にあり、しかも、共有点は(−a,a²)のみなので、y=−2ax−a²(−a,a²)におけるy=x²の接線。

よって、証明された。

 

 

(略解2終了)

 

 受験数学だから何もかもきっちりやれとは言いませんが、実数条件だけでaが任意の実数を動くという事実は、そんなに当然の事なんだろうか?。当然の事とは思わず「わかりにくいけど、こういう状況なんだよねぇ~」と言う奴が、一人くらいいてもいいんじゃないか?。 

 

この問題の背景には曲線群

  

とその包絡線が潜んでいますから、そんなに当然のことじゃ〜ないでしょう。

むしろ、直観的にイメージしにくくて当たり前。だって、(1)で与えられた曲線群が通過することのできるすべての領域を、すぐに、イメージできますか。

だから、

問題の略解を読んでわかった気になれる、この解答に一抹の気持ち悪さを感じないとしたら、このことのほうがはるかに空恐ろしいように、私は思いますがね〜。

私なんか、気持ち悪くてしょうがない。

 

 

このグラフのうすい水色でしめされているy>x²の部分を曲線群(1)は通れないんですよ。そして、y=x²は曲線群(1)の通過可能な領域の限界、境界になるんですね。

 

受験のとき、定期テストの時、こんなことはできませんが、a=0a=±1a=±2、・・・と変えて、(1)の直線を書いてみる。Basicなどのプログラミングができるヒトは、aの値を変化させて、(1)をコンピュータに描かせてみる。すると、(1)が通過できない境界がある曲線上(y=x²)に存在することがわかる。そして、(1)がその曲線の接線になっていることがわかる。

 

 

この曲線をy=g(x)とし、接点のx座標をxとすれば、

  

(2)から

  

これを(3)に代入すれば、

  

すこし、格好が悪いので、

  

とおくと、(4)

  

この微分方程式は何だ?

クレーロー形の常微分方程式じゃないですか。

そこで、(5)をxで微分すると、

  

ここで、p'=0という解を捨てると(^^ゞ、

  

a=0のとき、直線y=−2ax+a²は原点(0,0)を通るので、このことより、c=0となるであろう。

したがって、この曲線の正体は、

  

だ!!

つまり、この曲線y=x²((1)の包絡線)はクレーロー形の微分方程式の特異解になるんだということまで気づく高校生がいるかもしれない(^^

 

へっ、へっ、へっ、へっ!!

 






わかるくらいまで



なお、ここの愚民は、いつもとは違って、お前ら、「ねこ騙し数学」の訪問者じゃないニャ。⑨未満の・・・な人たちのことだにゃ。


そして、この曲で結ぶにゃ。


⑨のあなたに


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ロピタルの定理の誤用の例 [微分積分]

ロピタルの定理の誤用の例

 

ddt³さんがロピタルの定理を使わずに極限を求めたところ、先生に「ロピタルの定理を使え!!」と叱られたことがあるそうだ。

私がその先生だったら、「なるほど、こういう求め方もあるんですね」と褒めたあと、「でも、この方法は万人向けではないので、次からはロピタルの定理を使いましょうね」と優しく微笑みかけたに違い(^^)

嘘です。

「俺の目の前でロピタルの定理を使うような太え野郎は、タコ殴りだ」です。ボコボコにしたあと、簀巻きにして川に流しちゃいます。

ということで、何故、タコ殴りにしたあと、簀巻きにして川に流すのか、その理由ついて、これから説明します。

 

問1 次の極限を求めよ。

  

【うっかり君の解答(?)】

ロピタルの定理より、

  

(解答終)

 

答えは

  

だから、答えだけは正しいです。

このとき、うっかり君は、この新たな発見により、「な〜んだ、ロピタルの定理は、0/0や∞/∞などの不定形の極限以外でも成り立つんじゃないか」と思うに違いありません。

そして、次の問題も同様に解くことは必定です。。

 

 

問2 次の極限を求めよ。

  

【うっかり君の解答(?)】

ロピタルの定理より、

  

(解答終)

 

正解は、

  

 

 

ロピタルの定理

関数f(x)g(x)は点aを除いた点aの近傍で微分可能、かつ、g'(a)≠0とする。

f(a)=g(b)=0で、

  l'hgo-001.png

が存在するとき、

  L'hgo-002.png

である。

 

うっかり君の解答(?)のどこがいけなかったのかというと、問題1、問題2ともに、ロピタルの定理が成立するためのf(0)=g(0)=0という条件を満たしていないにもかかわらず、この問題にロピタルの定理を用いたことです。

そして、問1は、たまたま、答えが一致しただけのことです。

 

問3 次の極限を求めよ。

【お叱りを受ける解答】

(1) ロピタルの定理より

  

 

(2) ロピタルの定理より

  

(解答終)

 

このように解くと、「問3の(1)、(2)の極限は高校で基本公式として出ているので、こんな問題にロピタルの定理を使うな」と、叱る先生がいます。

しかし、このような問題を出す方も出す方だと思ういます。

五十歩百歩、目くそ鼻くそです。

 

とはいえ、次のような問題ならば、大目に見ることにします。何故ならば、私はとても寛大で優しいからです。

 

問3 ロピタルの定理を使って求めた極限値が

に一致することを確かめよ。

 

 

問4 次の極限値は存在するか。存在するならば、その値を求めよ。

【うっかり君の解答(?)】

sinxは微分可能で、かつ、x=0のとき、sinx=x²=0

ロピタルの定理より、

  

さらに、ロピタルの定理より

  

したがって、

  

(解答終)

 

うっかり君も少しは進化しているようですが、

  

は、x=0のとき、cos2x=12x=0なので、ロピタルの定理は使えません。

 

【おじゃま虫氏の問4の名(迷)解説】

  

したがって、は存在しない。

よって、ロピタルの定理より、

  

は存在しない。

(名(迷)解説終)

 

おじゃま虫氏もどうやらロピタルの定理を誤って理解しているようです。

何故ならば、

ロピタルの定理は、

l'hgo-001.pngが存在すれば、

  L'hgo-002.png

であると主張しているのであって、

l'hgo-001.pngが存在しなければは存在しない、と言っているのではないからです。

 

PQを命題とするとき、「P⇒Q」とその裏「¬P⇒¬Q」の真偽は必ずしも一致しない。

 P:直角二等辺三角形である

 Q:二等辺三角形である

とする。

「直角二等辺三角形ならば二等辺三角形である」は正しいが、「直角二等辺三角形でないならば二等辺三角形でない」は一般に成立しない。何故ならば、正三角形は直角二等辺三角形でないが、二等辺三角形!!

P⇒Qの逆はQ⇒P。このQ⇒Pの対偶は¬P⇒¬Qなので、Q⇒P¬P⇒¬Qの真偽は一致する。そして、「逆は必ずしも真ならず」だから、「裏も必ずしも真ならず」というわけなのさ。

 

どうやら、おじゃま虫氏は、ロピタルの定理以前に、こういうことも知らなかったようです。

 

しかし、これはあくまで一般論です。

ひょっとしたら、おじゃま虫氏の主張は正しいかもしれないです。

 

ですから、

おじゃま虫氏の主張の反例として、

  l'Hgo-003.png

とするとき、

  

であることを挙げておきましょう。

 

  L'hg-003.png

g(x)=xとすると、f(x)g(x)は微分可能でかつf(0)=g(0)=0

  

x≠0のとき、

  L'hgo-005.png

であるが、は存在しないので、極限値⑨は存在しない。

おじゃま虫氏の主張が正しければ、は存在しないことになりますが、

ところがどっこい、

x≠0のとき、

  L'hgo-006.png

と、この極限は存在するのさ。

へっ、へっ、へっ、へっ。

 

ロピタルの定理についてたいして知りもしない癖に、ロピタルの定理なんて使うから痛い目にあうのです。

生兵法は大怪我のもとです。

ですから、大怪我を負う前に、ロピタルの定理は簀巻きにして川に流しちゃいましょう。

 


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漸近展開2 漸近展開の性質 [微分積分]

漸近展開2 漸近展開の性質

 

関数f(x)g(x)が漸近展開

をもつとき、次の公式が成り立つ。

 

漸近べき級数の項別積分、項別微分に関して、次の2つの定理が成り立つ。

 

定理1 (項別積分)

f(x)が連続で、漸近べき級数

をもつとき、

【証明】

仮定から、n≧2のとき、与えられたε>0に対して、xが十分に大きいとき

したがって、


よって、

(証明終)

 

定理2 (項別微分)

f(x)が連続微分可能で、f(x)f'(x)が漸近べき級数を持てば、f'(x)の漸近べき級数はf(x)の前金べき級数を項別微分して得られる。

【証明】

f(x)f'(x)の漸近べき級数が

であるとする。

f'(x)の漸近べき級数に定理1を用いると

ここで、

と書くことができる。

よって、

漸近展開の一意性より

(証明終)

 

そして、漸近べき級数を求めるときに便利な次の定理を。

 

定理3

f(x)x=0級ならば、マクローリン展開

において、x1/xに置き換えた

は漸近べき級数である。

()の収束半径がR>0であれば、()は|x<1/Rで収束する。

 

log(1+x)のマクローリン展開は

だから、log(1+1/x)の漸近べき級数は

である。この右辺は|x>1で収束するので、

と等号に置き換えることができる。

 

 


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漸近展開の初歩 [微分積分]

漸近展開の初歩

 

§1 ランダウのO記号

 

aを実数または∞(−∞)とする。

実関数f(x)g(x)に関して

であるとき、

で表し、OをランダウのO(ビッグ・オー)という。

また、

であるとき、

で表す。

文脈上x→aが明らかなとき、(x→a)は省略されることがある。

 

例1

だから、

また、

だから、

 

 

例2 |x<1のとき

zenkin01-001.png

だから、

zenkin01-002.png

同様に

 

 

§2 漸近展開

 

関数列が、k=0,1,2,・・・に対して

を満たすとき、を漸近列という。

f(x)を関数、を漸近列とする。数列があって、ν=0,1,2,・・・に対して

であるとき、f(x)は漸近展開可能であると言い

で表す。

漸近展開(2)の係数は

zenkin01-003.png

と一意的に定めることができる。

ただし、漸近展開が一致しても関数が一致するとは限らない。(例3を参照)

 

 

§3 漸近べき級数

漸近列に関する漸近展開を漸近べき級数という。

関数f(x)が漸近べき級数

をもつ必要十分な条件は、ν=0,1,2,・・・に対して

とおいたとき、

 

すなわち

であることである。

漸近べき級数(3)の係数は

zenkin01-004.png

と一意的に定めることができる。

 

例3

と漸近べき級数に展開できるとする。

(5)より

ゆえに、

同様に、

したがって、は同一の漸近べき級数を有する。つまり、異なる関数であっても同一の漸近べき級数を持ちうる!!

 

 


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極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積 [微分積分]

極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積

 

曲線が極座標rθを用いて

  

で表されているとき、この方程式を曲線C極方程式という。

 

kyoku-(x-a)^2+y^2=a^2.png例えば、半径aa>0)で点(a,0)を中心とする円

  

は、

  

と、極方程式で表すことができる。

 

また、デカルト直交座標における動点Pの座標を(x,y)とすると、

  

であり、

  

という関係がある。

 

 

定理

曲線Cで表されていて、f(θ)が連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=αθ=βで囲まれた部分の面積は

  

である。

【略証】

  

(証明終)

 

 

Cardiod.png問題1 次の曲線(カージオイド)に囲まれている部分の面積を求めよ。

  

【解】

この曲線はx軸に関して対称なので、上半分の面積S₁を求め、それを2倍すればよい(右図参照)。

したがって、

  kyoku-men-001.png

したがって、この曲線によって囲まれる面積S

  

(解答終)

 

Lemniscate.png問題2 次の曲線(レムニスケート)に囲まれている部分の面積を求めよ。

    

【解】

この曲線はx軸、y軸に関して対称。だから、第1象限の面積を4倍すればよい。

  

とおくと、

  

は、

  

rが恒等的に0のときは曲線ではなく、原点になるので、

  

第1象限だけを考えればよいので、このとき、0≦θ≦π/2であり、また、(2)を満たさなければならないので、

  

よって、

  

したがって、

  

(解答終)

 

 

Clover3.png問題3 次の曲線(3葉線)に囲まれる部分の面積を求めよ。

  

【解】

とおくと、

求める面積は、第1象限でこの曲線によって囲まれる部分の面積S₁を3倍したもの。

ところで、0≦θ≦π/2

  

になるのは、

  

したがって、

  kyoku-men-002.png

よって、

  

(解答終)

 

 


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重積分を使うと、2つの直交する円柱の共通部分の体積は・・・ [微分積分]

問題 a>0とするとき、2つの円柱x²+y²≦a²z²+x²≦a²の共通部分の体積を求めよ。

【解】

z²+x²≦a²より

  

積分領域D

  

つまり、

  

 

D.png

 

したがって、求める体積V

  

(解答終)

 

マイクロソフトの「Microsoft Mathematics」という数学学習用の「ただソフト」でこの2つの円柱の3Dの図をかかせてみたのだけれど、これじゃ、2つの円柱の共通部分がサッパリわからない。

 

2-cylinder.png

 

ネムネコの手持ちのお絵かきソフトに、3次元の図を描く能力は皆無に等しいので、3次元の図形の問題は扱えないにゃ。

 

ということで、次のサイトを紹介するにゃ。

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/enchuu2ko.pdf

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/enchuu3ko.pdf

 

重積分を使えば、まぁ、こう言ったふうに解けるという話だにゃ。そして、ネムネコは、3次元の図形の絵をかかせるお絵かきソフトを持っていないので、ねこ騙し数学では、3次元の絵が必要になるような問題は扱わないという話だにゃ。

 

 


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9月26日出題の宿題の解答例 [微分積分]

宿題

0<α<1のとき、次の極限は存在するか。

存在するならば、その極限を求めよ。

 ――極限値を求められないヒトは、この極限が存在することを示せ――

極限が存在しないならば、存在しないことを示せ。

 

【解答例】

  

と変形すると、0<α<1のとき、

  

だから、

  

は、∞/∞の、不定形の極限になる。

また、0<α<1のとき、

  

となるので、ロピタルの定理より、

  

(解答終)

 

 

を利用するならば、たとえば、次のようにすればよいだろう。

 

【解答例2】

x>0だから、とおくことができる。

この両辺の対数をとると、

  

したがって、

  

0<α<1だから、(1)より、x→0+0のとき、t→∞になるので、

  

(解答終)

 

解答例1、2を見れば分かる通り、使っているのは、α>0という条件のみ。

したがって、

  

の証明になっているのであった。




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お前らに問題(9月26日) [微分積分]

お前らに問おう!!

 

α>1のとき、

  

となるから、

  

である。

また、α≦0のとき、

  

となり、この極限は存在しない。

 

ということで、宿題を。

 

y=x^α log x.png宿題

0<α<1のとき、次の極限は存在するか。

  

存在するならば、その極限を求めよ。

 ――極限値を求められないヒトは、この極限が存在することを示せ――

極限が存在しないならば、存在しないことを示せ。




ネムネコは、答えを
わからないんだ
何が正しくて 何がいけないのか


ウソうさ!!


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ネムネコ、訪問者を奈落、混迷の淵へと突き落とす!! [微分積分]

ネムネコ、訪問者を奈落、混迷の淵へと突き落とす!!

 

合成関数の微分というものがある。

例えば、

  

より一般的なものは、

  

だ。

 

では、訊くケロ!!

(1)のとき、

  

の(A)、(B)のどちらだにゃ?

それとも、(A)、(B)とは違う何かか(^^)

 

では、さらに進んで、

  

の3つは同じものか?

それとも、3つとも異なるものか。

 






問題(6月15日)の答え [微分積分]

問題 a>0b>0a+b=1のとき、

  

の最小値を求めよ。

hehehe!!.png【解答】

相乗平均≦相加平均より

  

ab=tとおき、

とすると、

  

よって、f(t)は単調減少関数。

したがって、

  

よって、t=ab=1/4のときに最小。

a+b=1ab=1/4よりa=b=1/2となり(※)、

  

(解答終了)

 

t=ab=1/4になるのはa=b=1/2の時だから、(※)の部分は不要かもしれない。

 

a+b=1だから、b=1–a

よって、

  

とし、

  

として解いてもいいが、

  

の因数分解はなかなかできないだろう。

できたとしても、a=1/2の前後のg'(a)の正負の判定に困ってしまう。まして、g''(a)を使って極値の判定を行おうなど、愚の骨頂!!

 

ちなみに、a²–a–1=0の正の解

  

は黄金比!!

この問題には、なんと、黄金比が隠されていたのであった。

書いただけだケロ(^^

 

なお、

  

として、ラグランジュの未定乗数法を用いて解こうなど狂気の沙汰!!

こうして解こうとしたヒトがいるとしたら、ネムネコはそのヒトの数学的センスを疑ってしまうにゃ。

 




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