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極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積 [微分積分]

極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積

 

曲線が極座標rθを用いて

  

で表されているとき、この方程式を曲線C極方程式という。

 

kyoku-(x-a)^2+y^2=a^2.png例えば、半径aa>0)で点(a,0)を中心とする円

  

は、

  

と、極方程式で表すことができる。

 

また、デカルト直交座標における動点Pの座標を(x,y)とすると、

  

であり、

  

という関係がある。

 

 

定理

曲線Cで表されていて、f(θ)が連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=αθ=βで囲まれた部分の面積は

  

である。

【略証】

  

(証明終)

 

 

Cardiod.png問題1 次の曲線(カージオイド)に囲まれている部分の面積を求めよ。

  

【解】

この曲線はx軸に関して対称なので、上半分の面積S₁を求め、それを2倍すればよい(右図参照)。

したがって、

  kyoku-men-001.png

したがって、この曲線によって囲まれる面積S

  

(解答終)

 

Lemniscate.png問題2 次の曲線(レムニスケート)に囲まれている部分の面積を求めよ。

    

【解】

この曲線はx軸、y軸に関して対称。だから、第1象限の面積を4倍すればよい。

  

とおくと、

  

は、

  

rが恒等的に0のときは曲線ではなく、原点になるので、

  

第1象限だけを考えればよいので、このとき、0≦θ≦π/2であり、また、(2)を満たさなければならないので、

  

よって、

  

したがって、

  

(解答終)

 

 

Clover3.png問題3 次の曲線(3葉線)に囲まれる部分の面積を求めよ。

  

【解】

とおくと、

求める面積は、第1象限でこの曲線によって囲まれる部分の面積S₁を3倍したもの。

ところで、0≦θ≦π/2

  

になるのは、

  

したがって、

  kyoku-men-002.png

よって、

  

(解答終)

 

 


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重積分を使うと、2つの直交する円柱の共通部分の体積は・・・ [微分積分]

問題 a>0とするとき、2つの円柱x²+y²≦a²z²+x²≦a²の共通部分の体積を求めよ。

【解】

z²+x²≦a²より

  

積分領域D

  

つまり、

  

 

D.png

 

したがって、求める体積V

  

(解答終)

 

マイクロソフトの「Microsoft Mathematics」という数学学習用の「ただソフト」でこの2つの円柱の3Dの図をかかせてみたのだけれど、これじゃ、2つの円柱の共通部分がサッパリわからない。

 

2-cylinder.png

 

ネムネコの手持ちのお絵かきソフトに、3次元の図を描く能力は皆無に等しいので、3次元の図形の問題は扱えないにゃ。

 

ということで、次のサイトを紹介するにゃ。

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/enchuu2ko.pdf

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/enchuu3ko.pdf

 

重積分を使えば、まぁ、こう言ったふうに解けるという話だにゃ。そして、ネムネコは、3次元の図形の絵をかかせるお絵かきソフトを持っていないので、ねこ騙し数学では、3次元の絵が必要になるような問題は扱わないという話だにゃ。

 

 


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9月26日出題の宿題の解答例 [微分積分]

宿題

0<α<1のとき、次の極限は存在するか。

存在するならば、その極限を求めよ。

 ――極限値を求められないヒトは、この極限が存在することを示せ――

極限が存在しないならば、存在しないことを示せ。

 

【解答例】

  

と変形すると、0<α<1のとき、

  

だから、

  

は、∞/∞の、不定形の極限になる。

また、0<α<1のとき、

  

となるので、ロピタルの定理より、

  

(解答終)

 

 

を利用するならば、たとえば、次のようにすればよいだろう。

 

【解答例2】

x>0だから、とおくことができる。

この両辺の対数をとると、

  

したがって、

  

0<α<1だから、(1)より、x→0+0のとき、t→∞になるので、

  

(解答終)

 

解答例1、2を見れば分かる通り、使っているのは、α>0という条件のみ。

したがって、

  

の証明になっているのであった。




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お前らに問題(9月26日) [微分積分]

お前らに問おう!!

 

α>1のとき、

  

となるから、

  

である。

また、α≦0のとき、

  

となり、この極限は存在しない。

 

ということで、宿題を。

 

y=x^α log x.png宿題

0<α<1のとき、次の極限は存在するか。

  

存在するならば、その極限を求めよ。

 ――極限値を求められないヒトは、この極限が存在することを示せ――

極限が存在しないならば、存在しないことを示せ。




ネムネコは、答えを
わからないんだ
何が正しくて 何がいけないのか


ウソうさ!!


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ネムネコ、訪問者を奈落、混迷の淵へと突き落とす!! [微分積分]

ネムネコ、訪問者を奈落、混迷の淵へと突き落とす!!

 

合成関数の微分というものがある。

例えば、

  

より一般的なものは、

  

だ。

 

では、訊くケロ!!

(1)のとき、

  

の(A)、(B)のどちらだにゃ?

それとも、(A)、(B)とは違う何かか(^^)

 

では、さらに進んで、

  

の3つは同じものか?

それとも、3つとも異なるものか。

 






問題(6月15日)の答え [微分積分]

問題 a>0b>0a+b=1のとき、

  

の最小値を求めよ。

hehehe!!.png【解答】

相乗平均≦相加平均より

  

ab=tとおき、

とすると、

  

よって、f(t)は単調減少関数。

したがって、

  

よって、t=ab=1/4のときに最小。

a+b=1ab=1/4よりa=b=1/2となり(※)、

  

(解答終了)

 

t=ab=1/4になるのはa=b=1/2の時だから、(※)の部分は不要かもしれない。

 

a+b=1だから、b=1–a

よって、

  

とし、

  

として解いてもいいが、

  

の因数分解はなかなかできないだろう。

できたとしても、a=1/2の前後のg'(a)の正負の判定に困ってしまう。まして、g''(a)を使って極値の判定を行おうなど、愚の骨頂!!

 

ちなみに、a²–a–1=0の正の解

  

は黄金比!!

この問題には、なんと、黄金比が隠されていたのであった。

書いただけだケロ(^^

 

なお、

  

として、ラグランジュの未定乗数法を用いて解こうなど狂気の沙汰!!

こうして解こうとしたヒトがいるとしたら、ネムネコはそのヒトの数学的センスを疑ってしまうにゃ。

 




問題だケロ!! お前ら、解くにゃ!!!! [微分積分]

ふと、頭の中に次の問題が浮かんだ。

 

問題 a>0b>0a+b=1のとき、

  

の最小値を求めよ。

 

「わ〜い、相加平均≧相乗平均の問題だ!!」と大喜びし、

条件よりab>0

相加平均≧相乗平均より

  

よって、最小値は2と答えると地獄を見る(^^)

何故だろうか?

 

簡単だろう、この問題。

では、解いてもらおうじゃないか!!





関数の連続の問題Part2 [微分積分]

関数の連続の問題Part


問題1 [0,1]上の関数f

  

は、[0,1]の全ての点で不連続であることを示せ。

【証明】

a∈[0,1]とする。

aが有理数のとき、|x−aとなる正数δ>0にどのような小さい値をとっても、この近傍内に無理数がある。この近傍内の無理数xを一つ取り出すと

   

よって、有理数の点では不連続。

aが無理数のとき、aの近傍内の有理数xを1つ取り出すと

  

となるので、無理数の点でも不連続。

したがって、f[0,1]の全ての点で不連続である。

(証明終)

関数の連続の定義は

  

だから、関数の不連続の定義は、上の定義を否定すればよい。

  

これをヒトの言葉に翻訳すると、

ある正数ε>0があって、任意の正数δ>0に対して、「|x−a」で「|f(x)−f(a)|≧ε」であるxが(少なくとも1つ)存在する

くらいか。

上の問題1の解答の場合、任意の正数δ>0に対して、ε=1という正数εがあるので、関数fは点aで不連続ということになる。


うるさいことを言うと、a=0のとき、aの近傍を0≦x<δa=1の近傍を1−δ<x≦1とするなどと明言しないといけないのだろうが、このあたりは了解事項ということで省略した。



問題2 f[0,1]上の関数で、f(0)=1

  

である。

このとき、fxが無理数の点で連続、xが有理数の点で不連続であることを証明せよ。

【証明】

有理数c=p/qの点の近くには、無理数xが存在し、

  

だから、fは有理点cで連続でない。

つぎに、cが無理数の場合を考える。

任意の正数ε>0に対して

  

となる自然数nが存在する。

このnを固定し、

  

とすると、この集合の要素(元)は有限個、つまり、有限集合。

このと点cとの最短距離をδとする。

数学の記号が好きなヒトは

  

などと書く。

x−c<δ/2のとき、

xが無理数の場合

  

xが有理数の場合、x=p/qとすると、だからq>n

よって、

  

となり、無理数の点cで連続である。

(証明終)


たとえば、ε=1/3のとき、n=4とすると、

  

である。

  

となる。

たとえば、無理数の点x=1/√2の場合、xと集合E₃の最短距離はx=2/3のときで、最短距離δ

  

1/√2≒0.7071だから、たとえば、q=10p=7とすると、

  

となるので、q>nqの値として10をえらび、p=7とすると

  

となり、条件を満たしている。

これはあくまで一例に過ぎず、q=1000p=707としてもよい。

このときは、

  

となる。

自然数に最大数はないから、どんな小さなεに対しても

  

となる自然数nが存在し、このnに対する集合をつくり、無理数の点cとの最短距離δを求めて同様の操作を施せば、

  

にすることができる。

こういった話だにゃ。



関数の連続の問題 [微分積分]

関数の連続の問題


問題1

   

とするとき、関数の連続性を調べよ。

【解】

renzoku-mondai-01.pnga∈Rとし、fが点aで連続であると仮定する。

aに収束する有理数の点列(数列)を考えると、

  

aに収束する無理数の点列を考えると

  

関数fは点aで連続なのだからaに収束するすべての点列に対して

  

にならなければならないので、

  

つまり、この関数が連続になりうる点はa=1/2のみである。

そこで、点1/2の近傍、つまり、|x−1/2δ>0)を考えると、xが有理数のとき

  

xが無理数のとき

  

いずれにせよ

  

したがって、δ→0のとき

  

となり連続になる。

fが点1/2で連続であることをε-δ論法で証明したいならば、

任意の正数ε>0に対してδ=εとすると

  

となるから、関数fx=1/2で連続である。

以上のことより、x=1/2で連続、それ以外では不連続。

(解答終)



問題2 RからRへの関数がいたるところで連続で、xが有理数のときつねにf(x)=0ならば、fは恒等的に0であることを証明せよ。

【証明】

fは恒等的に0でない、つまり、f(a)≠0である無理数aが存在すると仮定する。

f(a)≠0だから、f(a)>0またはf(a)<0

f(a)>0の場合、関数fx=aで連続だから任意の正数ε>0に対して

  

となる正数δ>0が存在する。

  

εは任意の正数だからε=f(a)/2とおくと

  

つまり、f(a)>0のとき、aの近傍ではf(x)>0である。

同様に、f(a)<0のとき、aの近傍ではf(x)<0である。


無理数aの近傍には有理数xが存在し、f(x)>0またはf(x)<0、つまり、f(x)≠0にならなければならないけれど、これはxが有理数であるとき常にf(x)=0であるということに矛盾する。

この矛盾はxが無理数のとき恒等的にf(x)=0でないと仮定したためである。
よって、xが無理数のときも恒等的にf(x)=0となり、証明された。

(証明終)



ちなみに、f(a)<0のときは、とし

  

の不等式の右辺を使って

  

とするとよい。

 


【別の証明(?)】

無理数xに収束する有理数の点列をとると、関数fは点xで連続だから

  

したがって、xが無理数のときもfは恒等的に0である。

よって、証明された。

(証明(?)終)

 


問題3 閉区間[a,b]で連続な関数f(x)のとる値がつねに有理数だけならば、f(x)[a,b]で定数関数であることを証明せよ。

【証明】

f(x)[a,b]で定数関数でないとする。

つまり、c∈[a,b]f(c)≠f(a)とする。

f(c)>f(a)とすると、問題の条件より、a≦x≦cで関数f(x)は連続だから、中間値の定理より

  

のすべてのβに対してβ=f(γ)となるγa<γ<cに存在する。

f(a)<β<f(c)を満たす無理数βを1つ取り出すと、β=f(γ)を満たすγa<γ<cに存在することになり、f(x)が常に有理数の値をとることと矛盾する。

この矛盾はf(x)[a,b]で定数関数でないと仮定したことに起因する。

よって、f(x)[a,b]で常に有理数の値だけをとるならば、f(x)[a,b]で定数関数である。

(証明終)


関数の連続の定義 [微分積分]

関数の連続の定義


関数の連続の定義は、

定義Ⅰ関数f(x)の定義域Iに属する任意のaに対して

  

であるとき、関数f(x)x=aで連続であるという。

定義Ⅰは、高校で習い、それ以降も使い続けている連続の定義だからおなじみだと思う。


ε-δ論法ならば、次のようになる。


定義Ⅱ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

任意の正数ε>0に対して、

  

となる正数δ>0が存在するとき、関数fx=aで連続であるという。

定義Ⅱは、難解(?)で有名な、悪名高いε-δ論法を用いた関数の連続の定義で、高校時代に数学が得意中の得意であった学生の圧倒的大多数がここでドロップアウトしてしまう。そして、多数の(大学の)数学嫌いを排出してしまう(^^)

このためだろうか、解析学の名著(?)とされる高木貞治の『解析概論』は、基本的に、この悪名高いε-δ論法を採用しておらず、(1)と(2)の中間的な手法が使われているようだ。

この2つの定義の他に、収束する数列(点列)を用いた関数の連続の定義が存在する。


定義Ⅲ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

aに収束するすべての点列に対して

  

であるとき、関数fx=aで連続であるという。

(大学の)微分積分、解析などの教科書のなかには、(2)の定義はあまりに難解(?)ということで、定義Ⅲを関数の連続として採用しているものもある。

定義Ⅱと定義Ⅲは同値の命題なので、どちらを関数の連続の定義として採用しても構わない。

【証明】

定義Ⅱ⇒定義Ⅲ

(2)から定まるδ>0をとると、関数fx=aで連続なので、任意の正数ε>0に対して

  

点列aに収束するので、任意の正数ε’>0に対して

  

となる正の整数Nが存在する。

ε'は任意の正数だからε'=δとおくと

  

となるNが存在し、①と②より

  


定義Ⅲ⇒定義Ⅱ

(2)を否定すると

あるε>0があって、任意のδ>0に対して、

  

となるxが存在する、である。

このとき、δ=1/nとすると

  

となるが存在する。

このようにして得られたを一つ選び、新たにというを作ると、この数列は

  

になるけれど、

  

である。

よって、証明された。

(証明終)

定義Ⅲ⇒定義Ⅱの証明では、対偶法を使っているのでわかりにくいと思うけれど・・・。


ちなみに、対偶法は、「p⇒q」という命題と「¬q⇒¬p」という命題が同値であることを利用して、「p⇒q」という命題を証明する代わりに「¬q⇒¬p」という命題を証明する証明法のことである。


ε-δ論法の代わりに、定義Ⅲでは数列の極限でε-δ論法の仲間であるε-N論法を使っているので、定義Ⅱ、定義Ⅲの分かりにくさは五十歩百歩で変わらないと思うのだが、定義Ⅲの方が学生への負担は少ないと言われているようだ。



問題

関数fRで連続とする。∀x,∀y∈Rに対して

  

であるとき、ff(x)=f(1)xで表されることを証明せよ。

【証明】

  

したがって、任意のxについて

  

また、

  

同様に

  

したがって、n≠0の整数nに対して

  

よって、すべてのmn以外のすべての整数に対して

  

x=m/nとおけば

  


ここで終わりにしてはいけない。

なぜならば、x=m/nの形で表される点、つまり、有理数の点でのみ、f(x)=f(1)xになることを示しただけで、無理数の点でもf(x)=f(1)xが成立することを証明していない。

それに、問題中にある実数Rの全域でfが連続という条件をまだ使っていない!!


ここで、今回、紹介した定義Ⅲが威力を発揮する!!

無理数xに収束する有理数の数列となるものを選ぶと、fが連続であることより

  

よって、無理数の点xに対しても

  

である。

よって、証明された。

(証明終)

ネムネコは、

定義Ⅲを用いたこの証明は、奥歯に物が挟まっているようで、大嫌いだ!!
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