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関数の連続の問題Part2 [微分積分]

関数の連続の問題Part


問題1 [0,1]上の関数f

  

は、[0,1]の全ての点で不連続であることを示せ。

【証明】

a∈[0,1]とする。

aが有理数のとき、|x−aとなる正数δ>0にどのような小さい値をとっても、この近傍内に無理数がある。この近傍内の無理数xを一つ取り出すと

   

よって、有理数の点では不連続。

aが無理数のとき、aの近傍内の有理数xを1つ取り出すと

  

となるので、無理数の点でも不連続。

したがって、f[0,1]の全ての点で不連続である。

(証明終)

関数の連続の定義は

  

だから、関数の不連続の定義は、上の定義を否定すればよい。

  

これをヒトの言葉に翻訳すると、

ある正数ε>0があって、任意の正数δ>0に対して、「|x−a」で「|f(x)−f(a)|≧ε」であるxが(少なくとも1つ)存在する

くらいか。

上の問題1の解答の場合、任意の正数δ>0に対して、ε=1という正数εがあるので、関数fは点aで不連続ということになる。


うるさいことを言うと、a=0のとき、aの近傍を0≦x<δa=1の近傍を1−δ<x≦1とするなどと明言しないといけないのだろうが、このあたりは了解事項ということで省略した。



問題2 f[0,1]上の関数で、f(0)=1

  

である。

このとき、fxが無理数の点で連続、xが有理数の点で不連続であることを証明せよ。

【証明】

有理数c=p/qの点の近くには、無理数xが存在し、

  

だから、fは有理点cで連続でない。

つぎに、cが無理数の場合を考える。

任意の正数ε>0に対して

  

となる自然数nが存在する。

このnを固定し、

  

とすると、この集合の要素(元)は有限個、つまり、有限集合。

このと点cとの最短距離をδとする。

数学の記号が好きなヒトは

  

などと書く。

x−c<δ/2のとき、

xが無理数の場合

  

xが有理数の場合、x=p/qとすると、だからq>n

よって、

  

となり、無理数の点cで連続である。

(証明終)


たとえば、ε=1/3のとき、n=4とすると、

  

である。

  

となる。

たとえば、無理数の点x=1/√2の場合、xと集合E₃の最短距離はx=2/3のときで、最短距離δ

  

1/√2≒0.7071だから、たとえば、q=10p=7とすると、

  

となるので、q>nqの値として10をえらび、p=7とすると

  

となり、条件を満たしている。

これはあくまで一例に過ぎず、q=1000p=707としてもよい。

このときは、

  

となる。

自然数に最大数はないから、どんな小さなεに対しても

  

となる自然数nが存在し、このnに対する集合をつくり、無理数の点cとの最短距離δを求めて同様の操作を施せば、

  

にすることができる。

こういった話だにゃ。



関数の連続の問題 [微分積分]

関数の連続の問題


問題1

   

とするとき、関数の連続性を調べよ。

【解】

renzoku-mondai-01.pnga∈Rとし、fが点aで連続であると仮定する。

aに収束する有理数の点列(数列)を考えると、

  

aに収束する無理数の点列を考えると

  

関数fは点aで連続なのだからaに収束するすべての点列に対して

  

にならなければならないので、

  

つまり、この関数が連続になりうる点はa=1/2のみである。

そこで、点1/2の近傍、つまり、|x−1/2δ>0)を考えると、xが有理数のとき

  

xが無理数のとき

  

いずれにせよ

  

したがって、δ→0のとき

  

となり連続になる。

fが点1/2で連続であることをε-δ論法で証明したいならば、

任意の正数ε>0に対してδ=εとすると

  

となるから、関数fx=1/2で連続である。

以上のことより、x=1/2で連続、それ以外では不連続。

(解答終)



問題2 RからRへの関数がいたるところで連続で、xが有理数のときつねにf(x)=0ならば、fは恒等的に0であることを証明せよ。

【証明】

fは恒等的に0でない、つまり、f(a)≠0である無理数aが存在すると仮定する。

f(a)≠0だから、f(a)>0またはf(a)<0

f(a)>0の場合、関数fx=aで連続だから任意の正数ε>0に対して

  

となる正数δ>0が存在する。

  

εは任意の正数だからε=f(a)/2とおくと

  

つまり、f(a)>0のとき、aの近傍ではf(x)>0である。

同様に、f(a)<0のとき、aの近傍ではf(x)<0である。


無理数aの近傍には有理数xが存在し、f(x)>0またはf(x)<0、つまり、f(x)≠0にならなければならないけれど、これはxが有理数であるとき常にf(x)=0であるということに矛盾する。

この矛盾はxが無理数のとき恒等的にf(x)=0でないと仮定したためである。
よって、xが無理数のときも恒等的にf(x)=0となり、証明された。

(証明終)



ちなみに、f(a)<0のときは、とし

  

の不等式の右辺を使って

  

とするとよい。

 


【別の証明(?)】

無理数xに収束する有理数の点列をとると、関数fは点xで連続だから

  

したがって、xが無理数のときもfは恒等的に0である。

よって、証明された。

(証明(?)終)

 


問題3 閉区間[a,b]で連続な関数f(x)のとる値がつねに有理数だけならば、f(x)[a,b]で定数関数であることを証明せよ。

【証明】

f(x)[a,b]で定数関数でないとする。

つまり、c∈[a,b]f(c)≠f(a)とする。

f(c)>f(a)とすると、問題の条件より、a≦x≦cで関数f(x)は連続だから、中間値の定理より

  

のすべてのβに対してβ=f(γ)となるγa<γ<cに存在する。

f(a)<β<f(c)を満たす無理数βを1つ取り出すと、β=f(γ)を満たすγa<γ<cに存在することになり、f(x)が常に有理数の値をとることと矛盾する。

この矛盾はf(x)[a,b]で定数関数でないと仮定したことに起因する。

よって、f(x)[a,b]で常に有理数の値だけをとるならば、f(x)[a,b]で定数関数である。

(証明終)


関数の連続の定義 [微分積分]

関数の連続の定義


関数の連続の定義は、

定義Ⅰ関数f(x)の定義域Iに属する任意のaに対して

  

であるとき、関数f(x)x=aで連続であるという。

定義Ⅰは、高校で習い、それ以降も使い続けている連続の定義だからおなじみだと思う。


ε-δ論法ならば、次のようになる。


定義Ⅱ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

任意の正数ε>0に対して、

  

となる正数δ>0が存在するとき、関数fx=aで連続であるという。

定義Ⅱは、難解(?)で有名な、悪名高いε-δ論法を用いた関数の連続の定義で、高校時代に数学が得意中の得意であった学生の圧倒的大多数がここでドロップアウトしてしまう。そして、多数の(大学の)数学嫌いを排出してしまう(^^)

このためだろうか、解析学の名著(?)とされる高木貞治の『解析概論』は、基本的に、この悪名高いε-δ論法を採用しておらず、(1)と(2)の中間的な手法が使われているようだ。

この2つの定義の他に、収束する数列(点列)を用いた関数の連続の定義が存在する。


定義Ⅲ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

aに収束するすべての点列に対して

  

であるとき、関数fx=aで連続であるという。

(大学の)微分積分、解析などの教科書のなかには、(2)の定義はあまりに難解(?)ということで、定義Ⅲを関数の連続として採用しているものもある。

定義Ⅱと定義Ⅲは同値の命題なので、どちらを関数の連続の定義として採用しても構わない。

【証明】

定義Ⅱ⇒定義Ⅲ

(2)から定まるδ>0をとると、関数fx=aで連続なので、任意の正数ε>0に対して

  

点列aに収束するので、任意の正数ε’>0に対して

  

となる正の整数Nが存在する。

ε'は任意の正数だからε'=δとおくと

  

となるNが存在し、①と②より

  


定義Ⅲ⇒定義Ⅱ

(2)を否定すると

あるε>0があって、任意のδ>0に対して、

  

となるxが存在する、である。

このとき、δ=1/nとすると

  

となるが存在する。

このようにして得られたを一つ選び、新たにというを作ると、この数列は

  

になるけれど、

  

である。

よって、証明された。

(証明終)

定義Ⅲ⇒定義Ⅱの証明では、対偶法を使っているのでわかりにくいと思うけれど・・・。


ちなみに、対偶法は、「p⇒q」という命題と「¬q⇒¬p」という命題が同値であることを利用して、「p⇒q」という命題を証明する代わりに「¬q⇒¬p」という命題を証明する証明法のことである。


ε-δ論法の代わりに、定義Ⅲでは数列の極限でε-δ論法の仲間であるε-N論法を使っているので、定義Ⅱ、定義Ⅲの分かりにくさは五十歩百歩で変わらないと思うのだが、定義Ⅲの方が学生への負担は少ないと言われているようだ。



問題

関数fRで連続とする。∀x,∀y∈Rに対して

  

であるとき、ff(x)=f(1)xで表されることを証明せよ。

【証明】

  

したがって、任意のxについて

  

また、

  

同様に

  

したがって、n≠0の整数nに対して

  

よって、すべてのmn以外のすべての整数に対して

  

x=m/nとおけば

  


ここで終わりにしてはいけない。

なぜならば、x=m/nの形で表される点、つまり、有理数の点でのみ、f(x)=f(1)xになることを示しただけで、無理数の点でもf(x)=f(1)xが成立することを証明していない。

それに、問題中にある実数Rの全域でfが連続という条件をまだ使っていない!!


ここで、今回、紹介した定義Ⅲが威力を発揮する!!

無理数xに収束する有理数の数列となるものを選ぶと、fが連続であることより

  

よって、無理数の点xに対しても

  

である。

よって、証明された。

(証明終)

ネムネコは、

定義Ⅲを用いたこの証明は、奥歯に物が挟まっているようで、大嫌いだ!!

極限計算の補足説明2 [微分積分]

極限計算の補足説明2


これまでに何度も証明しているけれど、前回の「無限大、無限小の問題」中に出ていた次の極限を

  

証明することにする。

 

muge-hosoku-graph-05.png

【証明1】

  

とする。

  

だから、f(x)0<x<1で減少、x>1で増加し、x=1で極小。

よって、

  

x>1とすると

  

また、

  

だから、

  

(証明終了)


【証明2】

t=logxとおくと、x→∞のときt→∞だから

  

(証明終了)


が既知でないというのであれば、マクローリンの定理より

  

したがって、

  

x>0のとき

  

よって、

  


また、mが正の整数、x>0のとき

  

だから、

  mugen-hosoku-siki-10.png

 


また、

  

は、t=1/xとおくと、x→0+0のときt→+∞だから

  

である。


無限大、無限小の極限計算の補足 [微分積分]

無限大、無限小の極限計算の補足


先に

  mugen-h-siki-01.png

と書いた。


しかし、(2)のsinxの場合、偶数次の項が出てこなず、(3)のcosxの場合、奇数次の項が出てこないので、
を強めて、とすることができる。

このように考えると、
  mugen-h-siki-02.png

となる。


(2)と(3)はマクローリン展開の項をそれぞれ2n+1次、2n次までとった。
(2’)、(3’)はそれぞれ2n+2次、2n+1次までとり、2n+2次、2n+1次の係数が0だから書かなかったという立場の違いが出ていると考えればよい。

たど、どちらの公式(?)を使うかによって、極限の計算法がすこし異なってくる。

例えば、(2)に従えば

  

(2’)に従えば

  

となる。

そこで、次の極限を①、②を使って求めてみることにする。

  

①を使うならば

  

②を使うならば

  

と計算することになり、当然、この極限値は一致する。
ここで、
  
であるmugen-hatena.png

また、②式を使うならば、

  

という極限を、次のように求めることができる。

  


mugen-hosoku-graph-01.png右ののグラフを見ると、

  

でもあることがわかると思う。

また、

  

である。

このことは、下の図を見るとわかると思う。



mugen-hosoku-graph-02.png


無限大、無限小などの問題 [微分積分]

無限大、無限小などの問題



問題1 x→0+0のとき、次の無限小を小さい方から順に並べよ。

  

mugen-mon-graph01.png【解】

  

だから、sinxxと同位の無限小。

  

よって、x²logxxより高位の無限小。

x=0のごく近くでは

  

だから

  

t=1/xとすると、x→0+0のときt→+∞だから

  

したがって、x²logxよりも高位の無限小である。

以上のことより

  

の順である。

(解答終了)


定数倍の違いを無視したとき、高位の無限小は低位の無限小よりも早く0に収束する。

このことは、右のグラフをよくわかると思う。

ちなみに、y=xy=sinxx=0における接線である。

 


問題2 x→∞のとき、次の無限大を小さい順から並べよ。

  

mugendai-mon-graph02.png【解】

  

よって、√xx/logxよりも低位の無限大。

  

だから、log(logx)は√xよりも低位の無限大。

したがって、

  

(解答終了)

感覚的に言うと、これはどちらが早く、勢い良く±∞に発散するかを考えればよい。

微妙ですが、グラフを見ると、このことがわかるのではないか。

ちなみに、ロピタルの定理を使うと

  mugen-mon-01.png

ロピタルの定理を使わないのならば、t>0とし

  

また、x>eのとき、log(logx)>0logx<xだから

  

したがって、ハサミ打ちの定理より

  

になる。

 


問題3 次の関数のx→0のときのxに対する無限小を求めよ。

  

【解】

  

よって、2位の無限小である。

(解答終了)


ランダウ記号(Landauo)を用いて解くと次のようになる。

【別解】

マクローリン展開より

  

したがって

  

よって、xに対する2位の無限小である。

(別解終了)


上の計算では次のランダウ記号の演算規則を使用している。


  mugen-mon-02.png

問題4 マクローリンの定理を使って次の極限を求めよ。

  

【解答】

(1) マクローリンの定理より

  

したがって、

   mugen-mon-03.png


(2) マクローリンの定理より

  mugen-mon-04.png

よって、

  mugen-mon-05.png

(解答終了)


ランダウの記号を用いた極限の計算 [微分積分]

ランダウの記号を用いた極限の計算


前回の復習をかねてランダウ記号(ランダウのo)の定義を示す

  

のとき

  

とあらわす。

たとえば、

  

だから

  

である。

さらに、前回、紹介した定理を再掲する。


定理 f(x)0を含む開区間I級関数であるとき

  

である。

指数関数をマクローリン展開すると

  
となるから、

  

である。

したがって

  

同様に、

  

と、ランダウの記号を用いて極限の計算をすることができる。

 


問1 ランダウの記号を用いて次の極限値を求めよ。

  

【解】

(1) マクローリン展開より

  

したがって

  


(2) マクローリン展開より

  

したがって

  

(解答終了)


問2 ランダウの記号を用いて次の極限を計算せよ。

  



ランダウ記号を用いてより複雑な極限を求めるために必要になるので、ランダウ記号(ランダウのoの)演算規則に関する定理を紹介しておく。


定理

  

【略証】
  

(証明終了)


ワンポイントゼミ 無限大、無限小の極限の補足 [微分積分]

ワンポイントゼミ 無限大、無限小の極限の補足

 


無限大、無限小に出てきた極限の求め方について補足説明することにする。

  

 

x→0のとき、1−cosx→0、また、x²→0だから、これは不定形。

したがって、ロピタルの定理より

  

と求めることができる。

 

また、半角公式から

  

となるので、

  

ここで、θ=x/2とおくと、x→0のときθ→0となるから

  

 


すこし大袈裟だが、x=0の近傍でマクローリン展開を利用すると、

  mugen-hosoku-01.png

となるから、

  

x≠0のとき

  

x→0のとき

  

したがって、ハサミ打ちの定理より

  

 






無限大、無限小 [微分積分]

無限大、無限小


§1 高位、同位、低位の無限大、無限小


aを実数または±∞とする。

ならば、x→aのときf(x)は無限小であり、(または)ならばx→aのときfは無限大という。


fgが無限小のとき

  mugen-01.png

であるという。


f同位の無限小であるとき、fgに対してα位の無限小であるといい、α位数という


例1

   

だから、sinxxと同位の無限小。

  

だから、1−cosxと同位でxに対して2位の無限小である。

 


fgが無限大のとき

  mugen-02.png

であるという。

fが同位の無限大であるとき、fgに対してα位の無限大であるといい、α位数という。



例2

  

だから、√xxより低位の無限大で、

  

になるので、√xxに対し1/2位の無限大。

また、
  mugen-0.png

だから、xは√xより高位の無限大で、xは√xに対して2位の無限大である。
n
が任意の正の正数であるとき
  mugen-03.png

が成立するので、指数関数は任意の高位の無限大である。



§2 ランダウ(Landau)のスモールオーo、ビッグオーO


  

であるとき、

  

で表し、oランダウ(Landau)のスモールオーという。

また、

  

であるとき、

  

で表し、Oランダウのビッグオーという。


例3

  

だから、

  

また、

  

だから

  


 


問1 次が成立することを示せ。

  

【解】

(1)

  

だから、
  

よって、

  


(2)

  mugen-05.png

よって、

  

(解答終了)

 


定理 f(x)x=0を含む開区間I級関数であるとき

  mugen-06.png
である。

【証明】

マクローリンの定理より
  mugen-07.png

をみたすθが存在する。

したがって、
  mugen-08.png

は、f(x)I級だから、Iで連続。

かつ、

  

だから、
  

よって、証明された。

(証明終了)

 


以上のことから、次のことが成り立つ。

  

任意の正の自然数に対して

  mugen-09.png

ここで、

  

である。

(2)では偶数次の項の係数が0、(3)では奇数次の項の係数が0で、(2)では偶数次の項、(3)では奇数次の項が出ないので、強めると、次のようになる。

  


曲率と曲率半径 [微分積分]

曲率と曲率半径



曲線上の点P(x,y)における接線とx軸のなす角をθ、曲線上でPに近い点Qにおける接線'x軸となす角をθ+Δθとし、弧PQの長さをΔsとするとき、

   


を2点PQ間の平均曲率といい、

  

曲率、この逆数を曲率半径という。

kyokuritsu.png


半径rの円があり、円周上の2点PQとこの円の中心のなす角、すなわち中心角をΔθとすると、弧PQの長さΔs=rΔθだから、

  

となるので、何故、曲率の逆数が曲率半径になるのかが分かるのではないか。

  

この両辺をxで微分すると、左辺は

  

だから、

  

また、

  

だから、

  

したがって、曲率半径をκとすると、曲率と曲率半径は

   siki-xxx-ky.png


Pにおいて曲線に接し、接線に関して曲線と同じ側にあって、|κ|に等しい円を曲率円といい、その中心(ξ,η)曲率円の中心という。

曲率円の中心は、

  

である。

①式から明らかなように曲率半径κは同符号であり、したがって、曲率円の中心は凹なる側にある。



kyokuritsu-006.png  kyokuritsu-007.png



これを使って、y=x²の原点における曲率、曲率半径を求めると、
  



kyokuritsu-02.png

上の図を見ると、y=x²の原点近くの曲線が、(0,1/2)を中心とする半径1/2の円でよく近似されていることが分かる。


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