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漸近展開2 漸近展開の性質 [微分積分]

漸近展開2 漸近展開の性質

 

関数f(x)g(x)が漸近展開

をもつとき、次の公式が成り立つ。

 

漸近べき級数の項別積分、項別微分に関して、次の2つの定理が成り立つ。

 

定理1 (項別積分)

f(x)が連続で、漸近べき級数

をもつとき、

【証明】

仮定から、n≧2のとき、与えられたε>0に対して、xが十分に大きいとき

したがって、


よって、

(証明終)

 

定理2 (項別微分)

f(x)が連続微分可能で、f(x)f'(x)が漸近べき級数を持てば、f'(x)の漸近べき級数はf(x)の前金べき級数を項別微分して得られる。

【証明】

f(x)f'(x)の漸近べき級数が

であるとする。

f'(x)の漸近べき級数に定理1を用いると

ここで、

と書くことができる。

よって、

漸近展開の一意性より

(証明終)

 

そして、漸近べき級数を求めるときに便利な次の定理を。

 

定理3

f(x)x=0級ならば、マクローリン展開

において、x1/xに置き換えた

は漸近べき級数である。

()の収束半径がR>0であれば、()は|x<1/Rで収束する。

 

log(1+x)のマクローリン展開は

だから、log(1+1/x)の漸近べき級数は

である。この右辺は|x>1で収束するので、

と等号に置き換えることができる。

 

 


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漸近展開の初歩 [微分積分]

漸近展開の初歩

 

§1 ランダウのO記号

 

aを実数または∞(−∞)とする。

実関数f(x)g(x)に関して

であるとき、

で表し、OをランダウのO(ビッグ・オー)という。

また、

であるとき、

で表す。

文脈上x→aが明らかなとき、(x→a)は省略されることがある。

 

例1

だから、

また、

だから、

 

 

例2 |x<1のとき

zenkin01-001.png

だから、

zenkin01-002.png

同様に

 

 

§2 漸近展開

 

関数列が、k=0,1,2,・・・に対して

を満たすとき、を漸近列という。

f(x)を関数、を漸近列とする。数列があって、ν=0,1,2,・・・に対して

であるとき、f(x)は漸近展開可能であると言い

で表す。

漸近展開(2)の係数は

zenkin01-003.png

と一意的に定めることができる。

ただし、漸近展開が一致しても関数が一致するとは限らない。(例3を参照)

 

 

§3 漸近べき級数

漸近列に関する漸近展開を漸近べき級数という。

関数f(x)が漸近べき級数

をもつ必要十分な条件は、ν=0,1,2,・・・に対して

とおいたとき、

 

すなわち

であることである。

漸近べき級数(3)の係数は

zenkin01-004.png

と一意的に定めることができる。

 

例3

と漸近べき級数に展開できるとする。

(5)より

ゆえに、

同様に、

したがって、は同一の漸近べき級数を有する。つまり、異なる関数であっても同一の漸近べき級数を持ちうる!!

 

 


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極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積 [微分積分]

極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積

 

曲線が極座標rθを用いて

  

で表されているとき、この方程式を曲線C極方程式という。

 

kyoku-(x-a)^2+y^2=a^2.png例えば、半径aa>0)で点(a,0)を中心とする円

  

は、

  

と、極方程式で表すことができる。

 

また、デカルト直交座標における動点Pの座標を(x,y)とすると、

  

であり、

  

という関係がある。

 

 

定理

曲線Cで表されていて、f(θ)が連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=αθ=βで囲まれた部分の面積は

  

である。

【略証】

  

(証明終)

 

 

Cardiod.png問題1 次の曲線(カージオイド)に囲まれている部分の面積を求めよ。

  

【解】

この曲線はx軸に関して対称なので、上半分の面積S₁を求め、それを2倍すればよい(右図参照)。

したがって、

  kyoku-men-001.png

したがって、この曲線によって囲まれる面積S

  

(解答終)

 

Lemniscate.png問題2 次の曲線(レムニスケート)に囲まれている部分の面積を求めよ。

    

【解】

この曲線はx軸、y軸に関して対称。だから、第1象限の面積を4倍すればよい。

  

とおくと、

  

は、

  

rが恒等的に0のときは曲線ではなく、原点になるので、

  

第1象限だけを考えればよいので、このとき、0≦θ≦π/2であり、また、(2)を満たさなければならないので、

  

よって、

  

したがって、

  

(解答終)

 

 

Clover3.png問題3 次の曲線(3葉線)に囲まれる部分の面積を求めよ。

  

【解】

とおくと、

求める面積は、第1象限でこの曲線によって囲まれる部分の面積S₁を3倍したもの。

ところで、0≦θ≦π/2

  

になるのは、

  

したがって、

  kyoku-men-002.png

よって、

  

(解答終)

 

 


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重積分を使うと、2つの直交する円柱の共通部分の体積は・・・ [微分積分]

問題 a>0とするとき、2つの円柱x²+y²≦a²z²+x²≦a²の共通部分の体積を求めよ。

【解】

z²+x²≦a²より

  

積分領域D

  

つまり、

  

 

D.png

 

したがって、求める体積V

  

(解答終)

 

マイクロソフトの「Microsoft Mathematics」という数学学習用の「ただソフト」でこの2つの円柱の3Dの図をかかせてみたのだけれど、これじゃ、2つの円柱の共通部分がサッパリわからない。

 

2-cylinder.png

 

ネムネコの手持ちのお絵かきソフトに、3次元の図を描く能力は皆無に等しいので、3次元の図形の問題は扱えないにゃ。

 

ということで、次のサイトを紹介するにゃ。

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/enchuu2ko.pdf

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/enchuu3ko.pdf

 

重積分を使えば、まぁ、こう言ったふうに解けるという話だにゃ。そして、ネムネコは、3次元の図形の絵をかかせるお絵かきソフトを持っていないので、ねこ騙し数学では、3次元の絵が必要になるような問題は扱わないという話だにゃ。

 

 


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9月26日出題の宿題の解答例 [微分積分]

宿題

0<α<1のとき、次の極限は存在するか。

存在するならば、その極限を求めよ。

 ――極限値を求められないヒトは、この極限が存在することを示せ――

極限が存在しないならば、存在しないことを示せ。

 

【解答例】

  

と変形すると、0<α<1のとき、

  

だから、

  

は、∞/∞の、不定形の極限になる。

また、0<α<1のとき、

  

となるので、ロピタルの定理より、

  

(解答終)

 

 

を利用するならば、たとえば、次のようにすればよいだろう。

 

【解答例2】

x>0だから、とおくことができる。

この両辺の対数をとると、

  

したがって、

  

0<α<1だから、(1)より、x→0+0のとき、t→∞になるので、

  

(解答終)

 

解答例1、2を見れば分かる通り、使っているのは、α>0という条件のみ。

したがって、

  

の証明になっているのであった。




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お前らに問題(9月26日) [微分積分]

お前らに問おう!!

 

α>1のとき、

  

となるから、

  

である。

また、α≦0のとき、

  

となり、この極限は存在しない。

 

ということで、宿題を。

 

y=x^α log x.png宿題

0<α<1のとき、次の極限は存在するか。

  

存在するならば、その極限を求めよ。

 ――極限値を求められないヒトは、この極限が存在することを示せ――

極限が存在しないならば、存在しないことを示せ。




ネムネコは、答えを
わからないんだ
何が正しくて 何がいけないのか


ウソうさ!!


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ネムネコ、訪問者を奈落、混迷の淵へと突き落とす!! [微分積分]

ネムネコ、訪問者を奈落、混迷の淵へと突き落とす!!

 

合成関数の微分というものがある。

例えば、

  

より一般的なものは、

  

だ。

 

では、訊くケロ!!

(1)のとき、

  

の(A)、(B)のどちらだにゃ?

それとも、(A)、(B)とは違う何かか(^^)

 

では、さらに進んで、

  

の3つは同じものか?

それとも、3つとも異なるものか。

 






問題(6月15日)の答え [微分積分]

問題 a>0b>0a+b=1のとき、

  

の最小値を求めよ。

hehehe!!.png【解答】

相乗平均≦相加平均より

  

ab=tとおき、

とすると、

  

よって、f(t)は単調減少関数。

したがって、

  

よって、t=ab=1/4のときに最小。

a+b=1ab=1/4よりa=b=1/2となり(※)、

  

(解答終了)

 

t=ab=1/4になるのはa=b=1/2の時だから、(※)の部分は不要かもしれない。

 

a+b=1だから、b=1–a

よって、

  

とし、

  

として解いてもいいが、

  

の因数分解はなかなかできないだろう。

できたとしても、a=1/2の前後のg'(a)の正負の判定に困ってしまう。まして、g''(a)を使って極値の判定を行おうなど、愚の骨頂!!

 

ちなみに、a²–a–1=0の正の解

  

は黄金比!!

この問題には、なんと、黄金比が隠されていたのであった。

書いただけだケロ(^^

 

なお、

  

として、ラグランジュの未定乗数法を用いて解こうなど狂気の沙汰!!

こうして解こうとしたヒトがいるとしたら、ネムネコはそのヒトの数学的センスを疑ってしまうにゃ。

 




問題だケロ!! お前ら、解くにゃ!!!! [微分積分]

ふと、頭の中に次の問題が浮かんだ。

 

問題 a>0b>0a+b=1のとき、

  

の最小値を求めよ。

 

「わ〜い、相加平均≧相乗平均の問題だ!!」と大喜びし、

条件よりab>0

相加平均≧相乗平均より

  

よって、最小値は2と答えると地獄を見る(^^)

何故だろうか?

 

簡単だろう、この問題。

では、解いてもらおうじゃないか!!





関数の連続の問題Part2 [微分積分]

関数の連続の問題Part


問題1 [0,1]上の関数f

  

は、[0,1]の全ての点で不連続であることを示せ。

【証明】

a∈[0,1]とする。

aが有理数のとき、|x−aとなる正数δ>0にどのような小さい値をとっても、この近傍内に無理数がある。この近傍内の無理数xを一つ取り出すと

   

よって、有理数の点では不連続。

aが無理数のとき、aの近傍内の有理数xを1つ取り出すと

  

となるので、無理数の点でも不連続。

したがって、f[0,1]の全ての点で不連続である。

(証明終)

関数の連続の定義は

  

だから、関数の不連続の定義は、上の定義を否定すればよい。

  

これをヒトの言葉に翻訳すると、

ある正数ε>0があって、任意の正数δ>0に対して、「|x−a」で「|f(x)−f(a)|≧ε」であるxが(少なくとも1つ)存在する

くらいか。

上の問題1の解答の場合、任意の正数δ>0に対して、ε=1という正数εがあるので、関数fは点aで不連続ということになる。


うるさいことを言うと、a=0のとき、aの近傍を0≦x<δa=1の近傍を1−δ<x≦1とするなどと明言しないといけないのだろうが、このあたりは了解事項ということで省略した。



問題2 f[0,1]上の関数で、f(0)=1

  

である。

このとき、fxが無理数の点で連続、xが有理数の点で不連続であることを証明せよ。

【証明】

有理数c=p/qの点の近くには、無理数xが存在し、

  

だから、fは有理点cで連続でない。

つぎに、cが無理数の場合を考える。

任意の正数ε>0に対して

  

となる自然数nが存在する。

このnを固定し、

  

とすると、この集合の要素(元)は有限個、つまり、有限集合。

このと点cとの最短距離をδとする。

数学の記号が好きなヒトは

  

などと書く。

x−c<δ/2のとき、

xが無理数の場合

  

xが有理数の場合、x=p/qとすると、だからq>n

よって、

  

となり、無理数の点cで連続である。

(証明終)


たとえば、ε=1/3のとき、n=4とすると、

  

である。

  

となる。

たとえば、無理数の点x=1/√2の場合、xと集合E₃の最短距離はx=2/3のときで、最短距離δ

  

1/√2≒0.7071だから、たとえば、q=10p=7とすると、

  

となるので、q>nqの値として10をえらび、p=7とすると

  

となり、条件を満たしている。

これはあくまで一例に過ぎず、q=1000p=707としてもよい。

このときは、

  

となる。

自然数に最大数はないから、どんな小さなεに対しても

  

となる自然数nが存在し、このnに対する集合をつくり、無理数の点cとの最短距離δを求めて同様の操作を施せば、

  

にすることができる。

こういった話だにゃ。



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