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今日のお休みソング、「花咲くいろは」から『夢路』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、アニメ「花咲くいろは」から『夢路』です。



もう一曲いくにゃ♪




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定積分の第2回のおまけの補足 [定積分]

定積分の第2回のおまけの補足


「定積分の第2回のおまけ」の一様連続で取り上げて不等式

  

を平均値の定理を用いて導出することにする。

平均値の定理

f(x)[a,b]で連続、(a,b)で微分可能のとき、

  

が成立するcが少なくとも1つ存在する。

この平均値の定理を用いると、上記の2つの不等式は次のように証明される。


x₂>x₁
とすると、f(x)=sinx[x₁,x₂]で連続、(x₁,x₂)で微分可能だから、平均値の定理より

  

となるcが存在する。f'(x)=cosxだから、

  

x₁>x₂のときは、⑨のx₁x₂を入れ替えて

  

x₁=x₂のとき、sinx₁=sinx₂だから、

  

となり、不等式は成立する。

よって、

  


もう一つの不等式の証明は、

0≦x₁<x₂≦1のとき、f(x)=x²[x₁,x₂]で連続、(x₁,x₂)で微分可能だから、平均値の定理より

  

であるcが存在する。

f'(x)=2xだから、

  

0≦x₂<x₁≦1のときは、上の不等式のx₁x₂を入れ替えて

  

x₁=x₂のときは

  

以上のことより、

  


この不等式は、次のようにさらに一般化できる。


f(x)
[a,b]で連続、(a,b)で微分可能で、

  

である定数Mが存在するとき、

  


何故ならば、

x₁≠x₂のとき、平均値の定理から

  

x₁=x₂のときは

  

したがって、

  

だから。

そして、このとき、任意のε>0に対して、

  

とおくと、

  

となるので、f(x)[a,b]上で一様連続である!!

今は[a,b]と有界な閉区間、そして、f(x)(a,b)で微分可能なものに対して証明したけれど、関数の定義域を実数Rに拡張し、

ある正の定数が存在し

  

であるならば、f(x)は実数Rで一様連続である

ということになる。

(1)式が成り立つたつとき、リプシッツ連続といい、定数Mリプシッツ定数という。


今日のアニソン、「ゆるゆり」から『100%ちゅ〜学生』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「ゆるゆり」から『100%ちゅ〜学生』です。



「ゆるゆり」で使用されているアニソンのFull Ver.はYouTubeになくて、この曲↑を探し出すのに少し苦労したにゃ。探すの大変だったんだから、心して聞くように!!

Full Ver.ではないけれど、第2期のOPの曲も紹介するにゃ。



音質が悪くても良ければ、





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定積分の第2回のおまけ [定積分]

定積分の第2回のおまけ


問題 b>aのとき、定積分の定義にしたがって

  

であることを示せ。

【解】

有界閉区間I=[a,b]Iの任意の分割をとし、

  

に対して・において平均値の定理を適用すると

  

このを選んで、リーマン和を求めると

  

次に、任意のをとり

  

I上で単調増加で、かつ、だから

  

また、だから、

  

(解答終了)


上記の解答では

I上で単調増加で、かつ、だから

  

と関数f(x)の単調増加性を使っているが、f(x)の一様連続性を用いた証明も可能だろう。

f(x)は有界閉区間I上で連続だからI上で一様連続である

つまり、任意の正数εである任意のx₁x₂について

  

であるδ>0が存在する。

そこで、|Δである任意の分割Δについて考えると、f(x)I上で一様連続だから、任意のε>0に対して

  

したがって、である任意のについて

  
 

一様連続

fを区間Iで定義された関数とする。任意の正数ε>0に対して

  

が成立する正数δ>0が存在するとき、fI一様連続であるという。

たとえば、実数Rで定義されたf(x)=sin xという関数について考えると、

  

したがって、δ=ε>0とすると

  

が成立し、f(x)=sin xは実数Rで一様連続ということになる。


例 有界閉区間I=[0,1]で定義された関数f(x)=x²Iで一様連続。しかし、I=[0,∞)で定義された関数g(x)=x²Iで一様連続ではない。

f(x)が一様連続であることは、次のように示せばよい。

任意の正数εに対して

  

となるので、δ=ε/2とすれば、

  

g(x)[0,∞)で一様連続でないことは、たとえば、次のように示せばよい。

  

のようにx₁x₂をとると、

  

また、

  

だから、正数δをどんなに小さくとっても

  

で、2より小さくならない。

よって、g(x)は一様連続ではない。


一様連続の定義は

  

だから、一様連続でないことの定義は、上の否定をとり

  

これを人間の言葉に訳すと

「ある正数ε>0と、あるx₁,x₂∈Iがあって、どんなにδ>0を小さくしても、

  

である。

 


定理

fが有界閉区間Iで連続ならば、fIで一様連続である。

上の定理の証明にはハイネ・ボレルの被覆定理などを必要とするので、ここでは証明はしない。


例2

  

は、(0,1]で一様連続でない。

  

とすると、x₁∈(0,1]x₂∈[0,1]

  

しかし、

  

だから、

  

にならない。

つまり、f(x)=1/xは有界な半閉区間(0,1]で一様連続でない。


上の定理で、有界な閉区間という条件が重要であることがわかってもらえたのではないか。