So-net無料ブログ作成
検索選択

今日のお休みソング、「みつどもえ」のキャラソンから『大人になったら』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、「みつどもえ」のキャラソンから『大人になったら』です。



ネムネコのように童心を失わないことは大切だと思うにゃ♪

さらに、丸井ふたばのキャラソンを紹介。



ネムネコは、オッパイ星人じゃないから女性の胸の大きさなんか気にしないにゃ。
顔こそ全てだにゃ(^^ゞ

nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

今日のアニソン、ななひらの『ラリリレル、リリロ、リラロ』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、ななひらの『ラリリレル、リリロ、リラロ』です。



ななひらの歌をさらにご紹介♪




nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

関数の連続の定義 [微分積分]

関数の連続の定義


関数の連続の定義は、

定義Ⅰ関数f(x)の定義域Iに属する任意のaに対して

  

であるとき、関数f(x)x=aで連続であるという。

定義Ⅰは、高校で習い、それ以降も使い続けている連続の定義だからおなじみだと思う。


ε-δ論法ならば、次のようになる。


定義Ⅱ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

任意の正数ε>0に対して、

  

となる正数δ>0が存在するとき、関数fx=aで連続であるという。

定義Ⅱは、難解(?)で有名な、悪名高いε-δ論法を用いた関数の連続の定義で、高校時代に数学が得意中の得意であった学生の圧倒的大多数がここでドロップアウトしてしまう。そして、多数の(大学の)数学嫌いを排出してしまう(^^)

このためだろうか、解析学の名著(?)とされる高木貞治の『解析概論』は、基本的に、この悪名高いε-δ論法を採用しておらず、(1)と(2)の中間的な手法が使われているようだ。

この2つの定義の他に、収束する数列(点列)を用いた関数の連続の定義が存在する。


定義Ⅲ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

aに収束するすべての点列に対して

  

であるとき、関数fx=aで連続であるという。

(大学の)微分積分、解析などの教科書のなかには、(2)の定義はあまりに難解(?)ということで、定義Ⅲを関数の連続として採用しているものもある。

定義Ⅱと定義Ⅲは同値の命題なので、どちらを関数の連続の定義として採用しても構わない。

【証明】

定義Ⅱ⇒定義Ⅲ

(2)から定まるδ>0をとると、関数fx=aで連続なので、任意の正数ε>0に対して

  

点列aに収束するので、任意の正数ε’>0に対して

  

となる正の整数Nが存在する。

ε'は任意の正数だからε'=δとおくと

  

となるNが存在し、①と②より

  


定義Ⅲ⇒定義Ⅱ

(2)を否定すると

あるε>0があって、任意のδ>0に対して、

  

となるxが存在する、である。

このとき、δ=1/nとすると

  

となるが存在する。

このようにして得られたを一つ選び、新たにというを作ると、この数列は

  

になるけれど、

  

である。

よって、証明された。

(証明終)

定義Ⅲ⇒定義Ⅱの証明では、対偶法を使っているのでわかりにくいと思うけれど・・・。


ちなみに、対偶法は、「p⇒q」という命題と「¬q⇒¬p」という命題が同値であることを利用して、「p⇒q」という命題を証明する代わりに「¬q⇒¬p」という命題を証明する証明法のことである。


ε-δ論法の代わりに、定義Ⅲでは数列の極限でε-δ論法の仲間であるε-N論法を使っているので、定義Ⅱ、定義Ⅲの分かりにくさは五十歩百歩で変わらないと思うのだが、定義Ⅲの方が学生への負担は少ないと言われているようだ。



問題

関数fRで連続とする。∀x,∀y∈Rに対して

  

であるとき、ff(x)=f(1)xで表されることを証明せよ。

【証明】

  

したがって、任意のxについて

  

また、

  

同様に

  

したがって、n≠0の整数nに対して

  

よって、すべてのmn以外のすべての整数に対して

  

x=m/nとおけば

  


ここで終わりにしてはいけない。

なぜならば、x=m/nの形で表される点、つまり、有理数の点でのみ、f(x)=f(1)xになることを示しただけで、無理数の点でもf(x)=f(1)xが成立することを証明していない。

それに、問題中にある実数Rの全域でfが連続という条件をまだ使っていない!!


ここで、今回、紹介した定義Ⅲが威力を発揮する!!

無理数xに収束する有理数の数列となるものを選ぶと、fが連続であることより

  

よって、無理数の点xに対しても

  

である。

よって、証明された。

(証明終)

ネムネコは、

定義Ⅲを用いたこの証明は、奥歯に物が挟まっているようで、大嫌いだ!!

今日のお休みソング、『勉強したくない』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、『勉強したくない』です。



ネムネコも、数学の勉強なんてしたくないにゃ(^^ゞ
と、問題発言をしてみる。


nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

ヒトの知性や感性の限界に挑む問題(笑) [ひとこと言わねば]

ヒトの知性や感性の限界に挑む問題(笑)


問 閉区間[0,1]0≦x≦1)で定義される次の関数fに関して、次の問に答えよ

  

(1) この関数のグラフをかけ。

(2) この関数は連続か。

【解答(?)】

(1) 関数fのグラフ(?)


chisei-kansei-01.png


(2) 0≦x≦1の全ての点で不連続。

0≦a≦1とする。

aが無理数のとき、aの近傍|x−aには、δ>0をどんなに小さくしても、その近傍に有理数xが存在する。

したがって、δをどんなに小さくしても

  

となるxが存在する。したがって、連続ではない。

aが有理数の時も同様。

(解答(?)終)

なになに、「上のグラフは、点(0,1)と点(1,1)を直線で結んだもののように見える」って。

それは目の錯覚というものだケロ(^^)

[0,1]に含まれる有理数の数は高々可算無限個。(有限個、または、自然数程度の無限の個数)

対して、[0,1]に含まれる無理数の個数は不可算無限個で比較にならないほど多い。

どれくらい多いかというと、有理数の個数をアレフ・ゼロとすると、これをアレフ・ゼロℵ₀回かけたものよりもさらに多い――実は、これもアレフ・ゼロℵ₀だケロ!!――

桁外れという言葉で形容することもできないほど無理数の個数は多い。

ということで、この関数は確かに不連続だけれど、不連続点は高々可算無限個だから、

この関数は、ほとんど至るところでalmost everywhere)、ほとんど全てのxalmost all x)でf(x)=1である
と言えるのかもしれない。
そして、
ほとんどすべてのxf(x)=1だから、この関数の積分は

  

なのかもしれない(^^)

記号、アレフ・ゼロ。
aleph-zero.png
アレフが出たので、当然、この曲を。





そして、ネムネコは、「てゐ」を決め込む。






今日のアニソン、「プラスティックメモリーズ」から『again & again』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「プラスティックメモリーズ」から『again & again』です。



さらにもう一曲、「プラスティックメモリーズ」から




nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

オイラーの連続の方程式、運動方程式、そして、ベルヌーイの定理 [ベクトル解析]

オイラーの連続の方程式、運動方程式、そして、ベルヌーイの定理


§1 オイラーの連続方程式と運動方程式


流体の密度をρ、流体の速度場をvとし、空間内の任意の閉曲面Sとこの閉曲面で囲まれた領域Vについて考える。

また、速度ベクトルvx成分、y成分、z成分を、uvwとする。

この閉曲面から単位時間あたりに流出する流体の質量は、閉曲面の単位法線ベクトルをnとすれば

  

である。

これは、閉曲面で囲まれた質量の減少分

  

と等しいので、
  Euler-01.png

上式の左辺第1項については微分と積分の順序の交換が可能であると仮定すると

  

そして、左辺第2項にガウスの発散定理を用いると

  

となり、(1)式より
  Euler-02.png

となる。

任意の閉曲面で囲まれた領域で(1’)が成立するので

  

(2)式をデカルト直交座標で書き換えると
  Euler-03.png

となる。

この(2)、(3)式をオイラーの連続方程式連続の式という。この式の意味するところは質量保存の法則である。

特に、密度が一定の場合

  

である。

また

  

とおくと、(2)は

  

となる。

ρを空間の電荷密度jを電流密度ベクトルとすれば、そのまま、電磁気学の電荷の保存則になる。


次に、閉曲面Sに囲まれた領域の運動方程式を考える。

閉曲面の表面では圧力pのみが働き、この他に閉曲面Sで囲まれた領域に単位質量あたりにKという力が作用しているとすると、ニュートンの運動方程式は

  Euler-04.png

これが任意の閉曲面で囲まれた領域で成立するので、

  Euler-05.png

である。

というベクトル関数であるとすると、

  

となり、Kx成分、y成分、z成分をそれぞれXYZとすると、運動方程式は

  Euler-07.png  

となる。

(5)式をオイラーの運動方程式という。

(※) これはデカルト直交座標でしか成立しない、あくまで形式的な表現!!

そして、ここで使っているベクトル解析(?)は、いわゆるベクトル解析とされるものの範囲を逸脱しており、もう既にテンソルに片足を突っ込んでいる!!

また、このオイラーの運動方程式の導出には多大の胡散臭さがある。

これは数学の話ではなく、物理の話だから胡散臭いのはしょうがない、と諦めてもらうことにする(^^

 


§2 ベルヌーイの定理


  

とすると、オイラーの運動方程式(5)は、
  Euler-08.png

とあらわすことができる。

このままでは、(6)式はデカルト直交座標でしか成立しない。

そこで、

  Euler-09.png

と書き換えると、

  Euler-10.png

この(7)式は円柱座標や極座標などの曲線座標でも成立する。


渦なし場の場合

縮まない流体(密度ρが一定)であるとし、渦なし、つまり、rot v=0の場合を考える。

このとき、速度ポテンシャルが存在し

  

である。

これを(7)式に代入すると、

  

となり、Kにもポテンシャルが存在することになる。

そこで、

  

とすると、

  

となり、これを積分すると

  

となる。ここで、F(t)は任意の関数である。

これを拡張されたベルヌーイの定理という。



保存力場の定常な流れの場合

縮まない流体とする。

この場合

  

だから、運動方程式は

  

v×rot vvに直角だから、流線の方向の成分を取ると

  

ここで、sは流線に沿ってはかった距離である。

これを流線に沿って積分すると、

  

特に、外力として重力だけが働くとき、

  

だから

  

この(9)式をベルヌーイの定理という。


今日のお休みソング、「モスラ」より『モスラの歌』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、「モスラ」より『モスラの歌』です。

まずは、オリジナルのピーナッツの歌による『モスラの歌』。



1992年のコスモスによる『モスラの歌』♪



どちらがお好み?



nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

クラシック入門 伊福部昭作曲 『土俗の乱声』 [ひとこと言わねば]

今日のクラシック入門は、伊福部昭作曲 『土俗の乱声』です。

伊福部と言えば、この曲、『ゴジラのテーマ』で有名ですが、



この作曲家はれっきとしたクラシック音楽の作曲家だケロ。
たとえ、怪獣音楽を多数作曲しようとも、伊福部がクラシックの作曲家であるという事実は変わらない。

そして、今回紹介する伊福部の『土俗の乱声』という曲は、同名の映画で使用された音楽。
芸術的な作品というよりも映画音楽という実用的な目的で作曲された曲なので、『ゴジラのテーマ』がそうであるように通俗的な曲なのだろうと思ってこの曲を聞き始めたのだけれど、どうしてどうして、音楽的にかなり充実した一曲。
伊福部の音楽は、メロディアスと言うよりも、リズム主体の曲が多いのだけれど、この曲は非常にメロディアスで聴きやすい上に、日本的な旋律などが多数使用されているので、クラシック、特にクラシックの現代音楽は苦手という人でも抵抗なく楽しめる一曲だと思う。
だから、
是非、聞いて欲しいにゃ。





nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

今日のアニソン、ななひらの『オムライスのうた』 [今日のアニソン]

今日のアニソン、ななひらの『オムライスのうた』です。



まるで、「ねこ騙し数学」(の記事)について歌われているようだにゃ♪

さらに、この一曲を。




nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽