So-net無料ブログ作成
検索選択

ねこ騙し数学の10月のアクセス状況 [ひとこと言わねば]

ねこ騙し数学恒例のアクセス状況の定期報告です。



1日、2日ほど特異なデータがありますが、
ねこ騙し数学の10月、1ヶ月間の
1日あたりの訪問者数 約130人
1日あたりのページビュー数 約450
であった。

9月に訪問者、ページビュー数とも大きく落ち込んだから、これからどうなるかと少し心配したのですが、
ブログテーマ学問で過去最高位の20位を記録するなど、10月は、ねこ騙し数学にとって記念すべき1ヶ月になった。

これも、ひとえに「ネムネコの頑張りがあればこそだ」にゃ。




今日のお休みソング、東方から『童遊』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、東方から『童遊』です。




nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

今日のアニソン、『Happy Halloween』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、『Happy Halloween』です。




nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

定積分の応用 面積1 [高校の微分積分]

定積分の応用 面積1


§1 平面図形の面積

(1) 曲線と座標軸との間の面積

曲線y=f(x)a≦x≦b)とx軸との間の面積をSとすると

  

特に、

  fm01-00.png


曲線x=g(y)α≦x≦β)とy軸との間の面積をSとすると

  


(2) 2曲線間で囲まれた部分の面積

区間a≦x≦bにおける2つの曲線y=f(x)y=g(x)の間の面積をSとすると

  

特に、

  



§2 平面図形の面積についての基本問題


復習をかねて、y=f(x)x=g(y)が整関数である場合についての基本問題を解くことにする。


問題1 次の図形の面積を求めよ。

(1) 曲線y=x³−6x²+9x−4と直線y=x−4で囲まれた部分

(2) 放物線y²=2x+5と直線y=x+1で囲まれた部分

【解】

(1) y=x³−6x²+9x−4y=x−4との交点のx座標は

  


graph-281.png

したがって、面積は
  

graph-282.png(2) y²=2x+5y=x+1xについて解くと

  

よって、放物線と直線の交点のy座標は
  fm01-02.png

したがって、面積は

  

(解答終了)


(2)は、前回証明した公式

  fm01-09.png

に対して、a=−1/2α=−1β=3とおくことによって、

  fm01-10.png

と計算することもできる。




graph-283.png


また、放物線y²=2x+5
  
と考えるならば(上図参照)、次のように計算することができる。

  

xの関数と考えて面積を求めようとすると、計算が大変になる。



問題2 次の図形の面積を求めよ。

(1) 曲線x軸、および直線x=3で囲まれた部分

(2) 双曲線x軸、y軸の正の部分によって囲まれた部分
(3) 2つの曲線y=x²と√x+√y=2y軸とで囲まれた部分

【解】

(1)

  


graph-284.png(2)

  

したがって、
  fm01-03.png


(3)

  fm01-04.png


graph-285.png

この曲線とy=x²の交点のx座標を求めると

  

よって、求める面積は

  

(解答終了)

 


問題3 次の不等式を同時に満足する領域の面積を求めよ。

【解】

(1) x²+y²=2x=y²の交点のx座標を求めると

  

x=−2は解として不適なのでx=1

graph-286.png

したがって、面積S

  

ここで、
  

よって、

  


graph-287.png2) y=xに関して対称。

したがって求める面積Sは、

  S=□OABC−2×斜線部の部分の面積

曲線

  fm01-06.png

斜線部の面積は

  

したがって、S
  

(解答終了)


ねこ騙し数学、TOP20入り!! [ひとこと言わねば]

ねこ騙し数学、テーマ学問でTOP20入り!!

Top20!!.png
(イメージです)

10月30日に、とうとう、TOP20入りしたにゃ。
また一つ歴史を作ったにゃ。


(イメージです)

ネムネコの上にいた「猫娘」を、とうとう、抜いたにゃ(^^)
残り19だケロ。

まずは、これを記念して、この曲を。



目指すは下克上だケロ。



1年前は、このような状況であった。


(イメージです)

訪問者の数は、20〜30人程度であった。
閑古鳥が鳴いていた、それはそれは、寂しいブログであった。
この当時、「今日のアニソン」はやっていなかったから、色気のまったくないブログであった。

今年の1月に、「今日のアニソン」をやり始め、それから少しずつ訪問者の数が増えて、今日の隆盛に至っている。
このブログを始めたのは、約2年前の2月くらいだけれど、その時は訪問者1桁とかそんなブログだったからね〜、ここ。
「ねむねこ幻想郷」だって、1日の訪問者数は20とかそんなものだった。
これにめげず、よくここまで続けられたものだと思う。



「ねむねこ幻想郷」で、オレは、かつてこのようなことを言ったことがある。
「(ねむねこ幻想郷の1日あたりの)訪問者数が30人いれば、オレは、この30人のヒトのためだけに、どんなに辛くても、記事を毎日書き続けることができる。」

30だぞ、30。
この数字を憶えておけよ。
この数字を下回る日が常態化すれば、数学の記事、今日のアニソンは、更新しないかもしれない。
この数字を忘れるんじゃねえぞ。

数学の記事をアップするだけならば、ここよりは、Bloggerの方がずっと楽なんだからな。



今日のお休みソング、「ひみつのアッコちゃん」から『ひみつのアッコちゃん』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、「ひみつのアッコちゃん」から『ひみつのアッコちゃん』です。



フルバージョンはこれしかなかったので、リメイク版の主題歌を埋め込んだにゃ。

オリジナルは、



ネコが登場しているから、EDの動画も紹介しないわけにはいかないにゃ。




nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

2次関数の面積の公式 [高校の微分積分]

2次関数の面積の公式



graph-257.png問題1 放物線y=−(x−1)(x−3)x軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

放物線y=−(x−1)(x−3)x軸の交点のx座標はx=1x=3

  

したがって、面積S
  2-s-01.png

(解答終了)


すこし計算に工夫をするならば、次のように計算することもできる。


【別解】

  

したがって、
  2-s-02.png

(別解終了)


大袈裟だけれど、t=x−1とおいて次のように置換積分を用いて計算することもできる。


【別解2】

x−1=tとおくと、x=t+1

x=1t=0x=3t=2に対応し、dx=dtだから
  

(別解2終了)

なのですが、実は、次のような便利な公式が存在する。

  

この公式を使うと、問題1の答えは、α=1β=3とおき、

  

と簡単に求めることができる。

公式(1)の証明は、問題1の解答のように真面目に計算すると、計算が大変なので、別解の手法を用いて証明することにする。


【公式(1)の証明】

  

だから、
  2-s-03.png

(証明終わり)



ということで、

graph-258.png二次方程式ax²+bx+c=0の解をαβとするとき、放物線y=ax²+bx+cx軸とで囲まれる面積Sは、

  

二次方程式ax²+bx+c=0の解がαβだから、

  

になるから、公式(1)より(2)を容易に導ける。

(2)に絶対値がついているのは、α<βとすると、x軸と放物線yとの位置関係より、

a>0のとき、面積は

  
graph-259.pnga<0
のとき

  

になるから。

 


問題2 次の部分の面積を求めよ。

(1) 放物線y=x²と直線y=−x+2とで囲まれた部分

(2) 2つの曲線y=2x²−5xy=−x²+x+12

【解】

(1) 放物線y=x²と直線y=−x+2との交点のx座標を求めると、

graph-263.png  

よって、面積S
  2-s-04.png

(2) 2つの曲線y=2x²−5xy=−x²+x+12の交点を求める。

   

α=1−√5β=1+√5とおくと
  

graph-264.pngβ−α=2√5だから、

  

(解答終了)

 


問題2の(1)は

  

と真面目に計算してもいいけれど、それでも、やはり計算が大変だ。まして、(2)は根号を含む計算だからなおのこと大変。公式(1)の有り難みを理解できるのではないか。
(2)では、実際に、交点のx座標を求めているけれど、2次方程式①の解と係数の関係より、α+β=2αβ=4となるので、α<βとすると、

  

と計算することもできる。


問題3 次の等式が成り立つことを証明せよ。

  

【証明】

  

したがって、
  

graph-265.png


(証明終了)


今日のアニソン、「魔法の妖精ペルシャ」から『見知らぬ国のトリッパー』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「魔法の妖精ペルシャ」から『見知らぬ国のトリッパー』です。



いい曲だね〜。
こんなにいい曲だったのか、と、驚くネムネコであった。

アニメの絵の方はどうかと思うけれど、EDもなかなかの名曲だケロよ。




今日のアニソン、「STEINS; GATE 0」から『ライア』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、ゲーム「STEINS; GATE 0」から『ライア』です。



痺れたケロよ、この曲には♪

OPはこちらの曲↓




nice!(1)  コメント(0)  トラックバック(0) 
共通テーマ:音楽

積分を用いた不等式の証明 [高校の微分積分]

積分を用いた不等式の証明


問題1 x>0のとき、次の不等式が成立することを証明せよ。


微分を使って証明するならば、たとえば、次のような証明になるだろう。


【証明】

  

f(x)x>0で微分可能。

そこで、f(x)の変化を調べるために、f(x)を微分すると

  

したがって、f(x)x≧0で単調増加。

よって、

  

(証明終了)

graph-277.pngまた、とすると、

  

したがって、y''>0で、この関数yは下つに凸。

また、x=0におけるこの曲線の接線の方程式は

  

下に凸の関数の性質(曲線は接線の上側にある)より、x>0ならば

  

である。

(右図参照)


この他にも、微分を用いた証明法はいくつかあるだろう。

なのだけれど、積分を使うと、次のように簡単に証明できてしまう。

【積分を用いた証明】

  

したがって、x>0ならば、

  

(証明終わり)

実は、これだけでなくて、

  

だから、x>0のとき

  

同様に、順次計算することによって

  

を証明することができる。

正確な証明をするならば、数学的帰納法を使って。



問題2 積分を使って次の不等式を証明せよ。

  

【証明】

graph-278.png(1) t>0ならば、

  

したがって、x>0ならば

  

t>0のとき

  

だから、x>0のとき

  

以上のことより、

x>0ならば

  


graph-279.png(2) x>1とすると、t∈(1,x)の任意のtに対して

   

よって、
  tf-01.png

0<x<1とすると、t∈(x,1)の任意のtに対して

  

よって、
  tf-02.png

x=1のとき、

  

となり、等号が成立。

よって、

  

(証明終わり)

graph-274.png問題2の(2)より、x>0のとき

  

この両辺にxをかけると

  

これは、定積分と不等式1の問題3の(1)の不等式であり、積分を使ってこの不等式を証明したことになる。

また、(2)の不等式

  

xをかけると

  

さらに

  

したがって、ハサミ打ちの定理より

  

である。

ワンポイントゼミ22では、ロピタルの定理を使ってこの極限を求めたが、ロピタルの定理を使うことなくこの極限を求めることができた。