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今日のお休みソング、東方から「反逆の鐘 -Last Rebellion-」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、東方から「反逆の鐘 -Last Rebellion-」です。




邪魔をするものは全て破壊してしまえ!

この歌詞のごとく、
ネムネコの邪魔をするもの、ネムネコの前に立ちはだかろうとするものは、すべて、ネムネコの手によって排除されるにゃ。

首を欲しがる⑨が踊ってる
ただ生きるために返り討て

⑨³
のネムネコの首を取ろうなんて「六兆年と一夜」早いケロ。
お前らとは⑨のレベルが違うにゃ、ネムネコは。
そんな不遜な輩はすべて血祭りにあげてやるにゃ。

そして、ネムネコの前に広がっているのは、これ↓だにゃ。



手段なんて、選んでいられないにゃ。


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明日は10月1日!! 微分をやめて、積分に入っていいよね? [ひとこと言わねば]

明日は10月1日。
ということで、
9月30日の今日をもって微分を終了させ、明日から数学3の積分に入っていいよね?
で、10月いっぱいをもって、高校の微分積分は終了。
誰が何と言っても、10月で終わらせる。
そして、11月から新しいことを始めるにゃ。

大体、オレは、高校の微分積分をこんなに長くやるつもりはなかった。
当初の予定では、8月いっぱいで終わるはずだった。

この予定を狂わせたのは、どう考えても、この記事だよな。
  剰余の定理と因数定理、そして、解と係数の関係
   http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2016-08-25

いまとなって思えば、
(数学2の)微分の応用として、こんな記事を書き、さらにここからテーラー展開や高次導関数の話をしたしだのが運の尽きだった。
こんな記事を書かずに、当初の予定通り、
速度と加速度、そして、速度と道のりをもって、高校の微分積分をひとまず終わらせるべきであった。
剰余の定理と因数定理、ならびに、3次方程式、云々という記事は、速度と加速度、速度と道のりの後に書いたもんなんだケロ。
この電波が、当然、ネムネコの頭のアンテナに舞い降りたのがいけなかった。



この電波が、教え魔・ネムネコを覚醒させてしまった。
そして、
もう誰にも止められないかも!
の、ネムネコ暴走モードに突入してしまったケロ。
この記事を書いている自分自身が止められないのだから、もう、しょうがない。
月が変わるのを待つしかなかった。
今から30日間ぶっ通しで720時間に及ぶ行いますヒャッハー!!
になったしまったケロ。
不覚であった・・・。


今日のアニソン、「ふたりはプリキュア」から「Danzen! ふたりはプリキュア」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「ふたりはプリキュア」から「Danzen! ふたりはプリキュア」です。



この超前向き感がいいよね。
そして、ネムネコも
ここの訪問者のネムネコに対する冷たい仕打ちに負けないにゃ、めげないケロ。




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最大最小2 [高校の微分積分]

最大最小2


問題1 区間−1≦x≦1で定義された関数

について、次の問いに答えよ。

(1) とおいて、f(x)tの関数として表しなさい。

(2) tの取りうる範囲を求めなさい。

(3) f(x)の最大値、最小値を求めなさい。

【解】

(1) として、両辺を2乗する。

  

よって、

  


(2)
  

極値では、dt/dx=0になるので、

  

x=−1/√2は解として不適。

増減表は

hyou-01.png


graph-221.png

したがって、1≦t≦2+√2


(3)

  

とする。

  


hyou-02.png
よって、f(x)の最大値は1−√2/2、最小値は2√3−4

(解答終わり)

 

問題2 点P(x,y)が円の上を動くとき、

(1) x−y=tとおきtの変化の範囲を調べよ。

(2) 関数

  

の最大値、最小値を求めよ。

【解】

(1) 点P(x,y)は円上の点だから

  

とあらわすことができる。

したがって

  sai-sai-202.png

【別解】

x−y=tだから、y=x+t
(x,y)
は円周上の点だから

  

に代入すると、

  

xは実数だから、2次方程式の判別式をDとすると、

   sai-sai-203.png


【別解2】

graph-222.png

直線x−y=tと原点の距離d

  

直線x−y=tと円は共有点を持たないといけないので、

 


などなど、(1)については、色々な方法でtの範囲を求めることができる。

(2)

  sai-sai-204.png

よって、

  

で、

  

とおき、tで微分すると
  

極値をとるところではg'(t)=0だから

  

を解くと、

  

−√2/2≦t≦√2/2だから

  

したがって、増減表は

hyou-03.png

graph-223.png

(解答終了)



問題3 a0<a<1なる実数とする。放物線

  

に点(0,1)から2本の接線をひき、その接線とx軸との交点をそれぞれQRとするとき、△PQRの面積が最小となるように、aの値を定めよ。

【解】

graph-224.png

接点のx座標をαとすると、接線の方程式は

  

これが点(0,1)を通るので、
  sai-sai-207.png

よって、接線の方程式は

  

QRx座標をそれぞれq,rとする。

QRは、上記の接線とx軸、つまり、y=0との交点だから、y=0を代入すると、

  sai-sai-208.png

よって、△PQRの面積S

  

ここで、t=√aとおくと

  

となる。

Sが最小のとき、分母が最大になるので

  

とおき、g(t)の増減を調べる。

  

0<t<1だから、g(t)t=1/√3のとき、極大かつ最大になる。

t=√a=1/√3だからa=1/3のとき、Sは最小になる。

【解答終了】

pdfファイルだと、「ねこ騙し数学の数学」の記事は本なみの美しさ [ひとこと言わねば]

いつも、
「このブログは使えない」
と文句を言っていますが、
ワープロで書いた「ねこ騙し数学」の数学の記事をpdfファイルで出力すると、
数学の本なみの美しさ
になるんだケロ。

これは嘘じゃない。
So-netブログの無料版だとpdfファイルはアップできないのだけれど、pdfファイルだとこれくらいの美しさになるだケロ。


(イメージです)

これは、今日、アップした数学の記事の一部分なのだけれど、これくらいの美しさになる。
pdfファイルは、アップできないので、パソコン画面に表示されたものをスクリーンショットにとった画像データだから解像度は落ちるのだけれど、それでもこの美しさ。
綺麗でしょ?

有料版のブログ会員になると、pdfファイルをアップできるようになるのだけれど、添付ファイル形式だと意味がないにゃ。
それで無料版を使っているんだけれどね。



このSo-netブログは、進化から取り残され、ガラパゴス化しているよね。
いったい、いつになったら、最新技術をシステムに取り込むんだろうね。

そして、こんな文句タラタラの記事を書くということは、
明日、9月30日の数学の記事をアップする作業中に、
また、ネムネコがプッツンした
ということだにゃ。

今日も、思い切り切れたケロ。


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今日のお休みソング、「ケロロ軍曹」から「ケロッ!とマーチ」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、「ケロロ軍曹」から「ケロッ!とマーチ」です。





ネムネコのケロ語と「ケロン軍曹」は、まったく関係ありません。

ネムネコのケロ語と縁が深いのはこちら↓です。




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お前ら、血も涙もないな(T_T) [ひとこと言わねば]

ネムネコがやっている、So-netブログとは異なるBloggerの「ネムネコの部屋」の今日の訪問者は、
何と0!!

Bloggerの記事のアドレスを貼り付けたというのに、
お前ら、ホントに血も涙もないケロ。
まったくモ〜!!

お前らがネムネコのために流す汗や涙、そして、血を持ち合わせていないことは、先刻、承知だけれど、
「魚心あれば・・・」ということで、少し期待していたのだけれど、見事に裏切られてしまった。
どうやら、取らぬ狸の皮算用であったようだ。







今日のアニソン、「絶対可憐チルドレン」から「Over The Future」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「絶対可憐チルドレン」から「Over The Future」です。



もう一曲いくにゃ。




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最大最小の問題 [高校の微分積分]

最大最小の問題


定理 連続な関数の最大、最小値の定理

閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は、必ず、最大値と最小値をもつ。

関数f(x)が最大・最小になる点の候補は、極値をとる点、区間の両端、そして、微分可能でない点など。特に、区間の両端に注意!!


問題1

(1) 1≦x≦3のとき、関数

  sai-sai-siki-00.png

の最大値、最小値を求めよ。
(2) 0<x<πのとき、関数

  

の最小値を求めよ。

【解】

(1)

  sai-sai-siki-01.png

増減表をかくと



x



1





2





3



f'(x)



 



+



0





 



f(x)



1



増加



極大



減少



9/10



x=√2のときに最大値f(√2)=6(3−2√2)

x=3のときに最小値9/10

(2)

  

増減表を書くと



x



0





π/3





π



y'



 





0





 



y



 



減少



極小 √3



増加



 



graph-211.png

x=π/3のとき、最小値√3

(解答終了)

 


問題2 x>0のとき

  

の最小値を求めたい。


(1) とおき、Ptの関数として表しなさい。

(2) その結果を用いてPの最小値ならびにそのときのxの値を求めなさい。

【解】

  

の分母・分子をで割ると
  sai-sai-siki-03.png

で、

  sai-sai-siki-04.png

よって、

  

x>0のとき、相加平均≧相乗平均より

  

したがって、

  


(2)

  

これをtで微分すると、

  

したがって、Pは単調増加。よって、t=2のとき最小で、最小値3/2

  


の解は1だから、

x=1のとき、Pは最小で、最小値は3/2である。

(解答終了)


ちなみに、

  

のグラフは次の通り。

 

graph-212.png

問題3 関数

について、次の問に答えよ。

(1) sinx=tとおいて、ytの式で表せ。
(2) yを最大にするxの値はいくらか。
【解】
(1)

  sai-sai-siki-05.png
だから、

  


(2)

  sai-sai-siki-07.png

増減表を書くと、



x



1





1/2





1



y'



 





0





 



y



-7



増加



極大 13/2



減少



1




graph-213.png

よって、x=1/2のときに、yは最大になる。

  

を解くと

  

(解答終了)

問題2、問題3のように、変数を変換することによって、最大・最小値を求めることが楽になる場合がある。ただし、問題2、3のように変数の範囲、定義域が変化することに注意が必要。


問題4 第1象限の定点P(a,b)を通る直線と両軸の正の部分との交点をABとするとき、△OABの面積の最小値を求めよ。ただし、Oは原点とする。

【解】

graph-214.png

定点P(a,b)をとおる直線の傾きをmm<0)とすると、この直線の方程式は

  

したがって、Ax座標は

  

By座標は

  

よって、△OABの面積S

ここで、

  

とおき、mで微分すると、

  sai-sai-siki-11.png

したがって、f(m)

  

のとき、極大。

したがって、Sはこの時に極小、最小になる(f(m)Sは正負が逆転しているから)。

このとき、x=2ay=2bとなり、最小値は

  

また、このとき、PA(2a,0)B(0,2b)の中点である。

(解答終了)

こう解いたものの、この解答は良くないね。


相似を使って、解くことにする。


【別解】

graph-215.png

ABの座標をそれぞれ(x,0)(0,y)とし、P(a,b)からx軸におろした垂線の足をHとする。△AHP∽△AOBだから
  sai-sai-siki-08.png

したがって、△OABの面積S

  sai-sai-siki-09.png

これをxで微分すると、

  sai-sai-siki-10.png

したがって、x=2aのとき、極大かつ最大になる。

よって、面積の最大値は

  

このとき、y=2bだから、点P(a,b)A(2a,0)B(0,2b)の中点である。

【解答終了】


解答のわかりやすさで雲泥の差があるようだ。

悪い解答例として、問題3の【解】は、そのまま残しておくことにする。

今日のお休みソング、「絶対可憐チルドレン」から「早春賦」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、「絶対可憐チルドレン」から「早春賦」です。



一応、このアニメの主題歌も紹介するかな。



ED曲「早春賦」の方が音楽的に優れていると思うよ。


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