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今日のお休みソング、アニメ「氷菓」から「未完成ストライド」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、アニメ「氷菓」から「未完成ストライド」です。



それほどいい曲じゃないね。
ということで、この曲とセットにします。




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余計なことを書いて惑わすのは良くないね〜。ということで、ワンポイントゼミ6の内容を大幅に変更した [ひとこと言わねば]

余計なことを書いて惑わすのは良くないね〜。
ということで、ワンポイントゼミ6の内容を大幅に変更。

午後5時台にこの記事を読んだヒトは、読み返してください(^^ゞ

「関数の極大、極小の定義が本によって違う、実は、結構、いい加減だ」ということを書くつもりだったのですが、あの内容はいたずらにヒトを混乱させるだけで良くないね。

ということで、最も狭い意味の、狭義の極大、極小の定義を用いることにしました。

ネムネコが悪いわけではないにゃ。
ヒトによって定義が違うこと、そして、その定義によって答えが違ってくるってとこに問題があるにゃ。




ワンポイントゼミ6 極大と極小 [高校の微分積分]

ワンポイントゼミ6 極大と極小


極大、極小の定義

関数f(x)が点x=x₀においてとる値f(x₀)x₀の近傍(x₀を含む十分小さな開区間)で、x≠x₀ならばf(x₀)>f(x)f(x₀)<f(x))であるとき、f(x)x=x₀極大極小)といい、f(x₀)極大値極小値)という。極大値、極小値をあわせて極値という。

 

問1 定義域をa≦x≦ba<b)とする定数関数f(x)=cがある(cは定数)。

f(x)が極大、極小になる点とその値を求めよ。


extremum-01.png

【答】

極大、極小になる点、極大値、極小値は存在しない。
(おしまい)

x₀≠xならばf(x₀)>f(x)=cf(x₀)<f(x)=c)である点x₀x₀∈[a,b]に存在しない――そのような点x₀が存在するとすれば、f(x₀)>cf(x₀)<c)になってしまい、f(x₀)=cに矛盾する――。したがって、この場合、極大値、極小値とも存在しない。



 

問2 実数全域で定義された次の関数f(x)がある。

  

f(x)の極値を求めよ。

【答】

f(x)

  

この関数の概形は次の通り。

extremum-02.png

x=−1の十分に近いところにおいて、x≠−1ならばf(x)>f(−1)=0が成立するので、x=−1で極小。

x=1の十分に近いところにおいて、x=1ならばf(x)>f(1)=0が成立するので、x=1で極小。

x=0の十分に近いところにおいて、f(x)<f(0)=1だから、f(x)x=0で極大。


したがって、

極小値0 (x=±1

極大値0 (x=0

(おしまい)

関数が微分可能であるとき、極値をとる点aでは、かならず、f'(a)=0でなければならない。

問2の関数は、x=±1以外では微分可能で、その導関数f'(x)
  extremum-siki-01.png
だからx=0f'(0)=0となり、この条件を満たしている。

しかし、x=±1で、f(x)は微分可能でないから、この条件を満たしていない。そもそも、導関数f'(x)x=±1で定義されていない。


また、f(x)=x³は実数全域で微分可能であるけれど、f'(x)=3x²=0となる点x=0で極値をとらない。

extremum-03.png


このことから、f'(a)=0という条件は、微分可能な関数f(x)x=aで極値をもつための十分な条件でないことがわかる。f'(x)=0という条件は、微分可能な関数f(x)が極値を持つために満たさなければならない、必要な条件にすぎない!!


ひとつ質問をするが、

  

x=±1における接線の方程式は?


extremum-04.png


赤と青で示されている直線がこの曲線の接線?
それとも、これとは違う他の直線。
あるいは、接線は存在しない(^^)


今日のアニソン、クレバスランプの「一縷の望み」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、クレバスランプの「一縷の望み」です。



音楽同人サークル【クレバスランプ(Crevasse Lamp)】の楽曲なのですが、心に残る一曲です。
7分超の長い曲なのですが、ぜひ、聞いてください。

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3次方程式2 [高校の微分積分]

3次方程式2


問題1 3次方程式x³+px+q=0が重複解をもつとき、

  

なる関係があることを証明せよ。

【解】

f(x)=x³+px+qとおき、3次方程式f(x)=x³+px+q=0の重複解をαとすると、

  

であり、

  

f(x)を微分すると

  

したがって、

  

③より

  

①より

  

④と⑤より

  3ji-houteishiki-siki-00.png

(解答終わり)

②の微分のところでは、次の微分公式を使っている。

  



問題2 3次方程式x³+px²+q=0が重複解をもつとき、pqにはどのような関係があるか。

【解】

f(x)=x³+px²+qとおき、αを重複解とすると、

  3ji-houteishiki-siki-01.png

よって、

  

②より
  3ji-houteishiki-siki-02.png

(1) α=0のとき、①よりq=0


(2) のとき、これを①に代入すると

  3ji-houteishiki-siki-04.png

よって、

4p³+27q=0、または、q=0

(解答終わり)


ちなみに、p=q=0のときは、3重解でx=0が解。



問題3 abcが相異なる実数で、

  

のとき、ab+bc+caの取りうる範囲を求めよ。

一見すると、3次方程式とは関係なさそうな問題ですが・・・。


【解】

  

とすると、

  

これが成立するのは、次の3次方程式

  

が相異なる3つの実数解をもつということ。

3次方程式の解と係数の関係より、

  

①はx=0を解に持たないので、

  

①は②と同値。

  

とおくと、

  

よって、f(t)で極小値をとる。

  

f(x)のグラフは次のようになる。

3ji-houteishiki2-02.png

f(x)=kの実数解の個数とy=ky=f(x)の交点の個数は等しいので、相異なる③つの実数解をもつためには

  

したがって、

  

(解答終わり)

次のように、y=x³+1y=kxとの交点の数を調べて、kの範囲を定めてもよい。。


3ji-houteishiki2-03.png

曲線y=x³+1上の点(t,t³+1)における接線の方程式は

  

これが原点を通るとすると
  3ji-houteishiki-siki-03.png

この時の傾きは

  

したがって、y=kxy=x³+1とに接するとき

  

よって、y=kxy=x³+1の交点の数、つまり、x³−kx+1=0の実数解の個数が3のとき、

  


今日のお休みソング、アニメ「氷菓」から「まどろみの約束」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、アニメ「氷菓」から「まどろみの約束」です。



最近、「今日のアニソン」、「今日のお休みソング」で、曲の出し惜しみをしております。
これまでのように、一日に3〜4曲というペースでアニソンを紹介していたら、アニソンが尽きてしまうケロ!!


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図が100を越えたにゃ(T_T) [ひとこと言わねば]

高校の微分積分の図が100を越えたにゃ。
数学の参考書ならばともかく、市販の数学の問題集で図やグラフが100を越えるものなんて、そうそうないケロ。

ネコにも劣る奴らだから、図やグラフを多く使って感覚に訴えないと、分かるはずがない!!

こうした親心――訪問者の能力を過小評価している、見下している(^^ゞ――からこうしたことをやっているのだけれど、丁寧すぎる、優しすぎるかもしれない。
お前らを甘やかし過ぎだにゃ、ネムネコ。



いま、微分積分をやっているけれど、
たとえば、y=x³−3xといった関数が出てきたとき、自分で実際にこれを微分して増減表を書き、そして、そのグラフを書く。
微分すると、
  y'=3x²−3=3(x²−1)=3(x+1)(x−1)
になる。
そして、y'=0をとき、増減表を書く。
この作業を通じることによって、2次方程式、2次不等式、2次関数への理解がさらに深まり、確実なものとなる。

オレは、お前らの成長の機会を奪っているのかもしれない。
であるとすれば、これは優しさと言えるのだろうか?



記事は日に日に増えるし、それに比例して図はさらに増えてゆくし、これらの管理に困るし、進むにつれ図やグラフが複雑になってこれを作る手間が増えるし、困ったもんだケロ。

ワンポイントゼミ5 問題4の別解 [高校の微分積分]

ワンポイントゼミ5 問題4の別解


記事「3次方程式」の問題4の別解を紹介する。こちらのほうが素直な解答。


問題4 3次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

f(x)=x³+4x²+kx−18とおくと、f'(x)=3x²+8x+k

f(x)x軸と接するから、接点のx座標をαとすると、f(α)=0f'(α)=0でなければならない。

3ji-houteisiki-01-01.png

 

②より

  

これを①に代入すると

  

g(α)=α³+2α²+9とすると、g(−3)=0。よって、g(α)α−(−3)=α+3を因数に持つ(註・因数定理)。

したがって、

  

α=−3を③に代入すると、

  zemi5-01.png

(解答終わり)

このように解いてもよい。


【註】

因数定理

整式f(x)x−aを因数にもつ必要十分な条件はf(a)=0である。

g(−3)=0だから、因数はx−(−3)=x+3

x−3ではないので、注意!!

今日のアニソン、初音ミク「自殺のうた」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、初音ミク「自殺のうた」です。

何も言わずに、黙ってこの曲を聞け!!



そして、さらにこの曲↓を聞いて、オレが何故この曲をセレクトしたか、考えて欲しいにゃ。




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3次方程式 [高校の微分積分]

3次方程式


問題1 x³+x−8=0は、ただ1つの実数解を、12の間にもつことを示せ。

【解】

f(1)=−6f(2)=2だから、中間値の定理より、f(x)=0を満たすx1<x<2に存在する。

f(x)=x³+x−8とすると、

  

f(x)は単調増加。

したがって、f(x)=x³+x−8=0を満たす実数解は、12の間にただ一つである。

(解答終わり)


問題2 3次方程式x³+x²−x+a=0の実数解の個数がaの値によってどう変わるか調べよ。ただし、重複解は1つと数える。

【解】

x³+x²−x+a=0の実数解は

  

y=aとの共有点のx座標である。

①式を微分すると

  

したがって、増減表は


x





1





1/3





y'





0





0





y



減少



1



増加



5/27



減少



したがって、

a>5/27a<−1のとき、実数解は1個

a=5/27a=−1のとき実数解は2個(重複解が1つ)

1<a<5/27のとき実数解は3個


graph-100.png


(解答終わり)


問題3 3次方程式2x³+3x²−12x+a=0が重複解をもつようにaの値を定めよ。また、そのときの解を求めよ。


問題2と同じように、y=−2x³−3x²+12xy=aの共有点の個数を調べてもいいが、次のように解くこともできる。

【解】

f(x)=2x³+3x²−12x+aとすると、

  

よって、f'(x)=0の解はx=−2x=1

したがって、f(x)=0f'(x)=0が共通解をもつならば、x=−2またはx=1でなければならない。

(1) x=−2が重複解の場合

  

このとき、

  

よって、x=−2(重複解)、x=−5/2である。


(2) x=1が重複解のとき

  

このとき

  

よって、x=1(重複解)、x=−7/2


graph-102.png

(解答終わり)


【別解1】

f(x)=2x³+3x²−12x+a=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

  

これを微分すると、

したがって、

  

でなければならない。

(1) α=−2のとき


a

  


(2) α=1のとき、


(別解1終わり)


微分を使わずに、次のように解くこともできる。

【別解2】

αを重複解、βをもうひとつの解とする。

  

左辺と右辺の係数を比較すると、

  

①より

  

これを②に代入すると

  

(1) α=−2のとき



(2) α=1のとき


(別解2終わり)

問題4 3次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

y=x³+4x²+kx−18x軸に接するということは、3次方程式x³+4x²+kx−18=0が重複解をもつということ。

3次方程式x³+4x²+kx−18=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

  

解と係数の関係より

  

①より

  

これを③に代入すると

  

よって、α=−3

③より

  

②より

  


graph-102.png

(解答終わり)