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困ったにゃ・・・ [ひとこと言わねば]

明日、7月1日分の数学の記事の予約設定を間違って6月30日の4時過ぎに公開してしまったのだけれど、これを見た人がもう4人もいるにゃ。
困ったにゃ。

一時、数学の記事を書く気力がわいたのだけれど、最近、またこの気力が萎えてしまっていて、数学の記事をまったく書けていないし、アニソンも尽きてきて、これからどうしたらいいかわからず、ホント、困っているにゃ。
「とりぷるばか」状態が依然として継続中。



初等幾何ももう終わりで、新しい内容を書き始めないといけない。
次に何をやるかなんて決めていないし、決めたとしても、それ相応の準備が必要で、すぐに書けるものでもないし、ホント、いま煮詰まっている。

次に何をやるかな〜。
日曜までに結論を出したいと思っております。
それまではダラダラとつなぎ記事を書くことにしよう。



今日のアニソン、「アンチパラジクロロベンゼン」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「アンチパラジクロロベンゼン」です。



この曲↑はこの曲↓のアンサーソングなのだけれど、



詩がいいよね〜。
 ――実は、ナンセンスソングで意味はない。だが、買いかぶりが得意なネムネコは、ここに哲学を見出し、哲学を展開する(笑)――

そして、この2曲を合わせると、こうなるにゃ。



パラジクロロベンゼンという曲があるのならば、同じように、有機化学物質の名を冠した曲があってもいいじゃないかということで



こちらは、ハッキリ言って、駄曲で聞く価値はない。


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第36回 反転2 [初等幾何学]

第36回 反転2


原点OOとは異なる点Pがあるとする。このとき、半直線OP上に
  

となる点Qをとる。これが反転。

Pと点Qの座標をP(x,y)Q(X,Y)とすると、

  

という対応関係がある。

前回、原点Oを通る直線についてやらなかったので、ここから始めることにする。


原点を通る直線は

  ax+by=0

になるので、この直線は③より

  

となり、反転によって同じ直線ax+by=0に移されることがわかる。

前回、反転によって、原点を通らない直線は原点を通る円(原点は除く)に、原点を通る直線は原点を通らない直線に変換されることは示した。


なので、反転によって原点を通らない円がどのような図形に変換されるのか調べてみることにする。計算を簡単にするために反転の半径r=1とする。

中心(a,b)、半径kの円の方程式は

  

この円は原点を通らないので

  

r=1のとき

  

という対応関係があるので、

  

計算を簡単にするために

  

とおくことにする。

  

よって、原点を通らない円になる。

何故、原点を通らないかというと、(X,Y)=(0,0)を代入すると

  

となり、a²+b²<>k²だから、右辺と左辺が一致しなことからわかる。

問題

座標平面上の直線x+y=4上の任意の点Pと原点Oを通る直線が円x²+y²−x−y=0と交わるO以外の点をQとするとき、

  

が一定であることを証明し、この一定値を求めよ。

この問題を解く気はない。

OPOQ=4として、x+y=4上の点を反転させて得られる図形が

  

このことは、r=2の時の反転の変換式

  

を使うと、

  

となることすぐに確かめられる。

shotou-36-01.png

【解】

P(α,β)とすると、Pは直線x+y=4上の点なので

  α+β=4

よって、直線OPの方程式は

  

Qはこの直線とx²+y²−x−y=0の交点なので

  

Qは原点とは異なる点なのでx≠0

したがって、

  

よって、

  

となり、OPOQは一定値で、その値は4である。

(解答終わり)


(※)

  



今日のお休みソング、「憑物語」から「オレンジミント」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、アニメ「憑物語」から「オレンジミント」です。



数学の記事を毎日書き、それをブログにアップするのも辛いけれど、アニソンを毎日、お昼とお休みの時間にアップするのも辛い。
ネムネコは、これまでに、アニソンを何曲紹介してきたのだろう。
さすがに、もう、限界に達しつつある。
一体、いつまで続けられるのだろう・・・。

辛いにゃ、
辛いにゃ、
辛いケロ〜!!

この無間地獄の苦しみを誰と分かちあえばいいのだろうか。


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今日のアニソン、「ギルティクラウン」から「My Dearest」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「ギルティクラウン」から「My Dearest」です。



さらに、「ギルティクラウン」のエンディング曲を紹介します。



この「告白」の歌詞は、まるでネムネコのことを言っているようで、強い共感をおぼえてしまうにゃ。


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第35回 反転 [初等幾何学]

第35回 反転


§1 反転とは

中心O、半径rの円がある。Oとは異なる点Pを、半直線OP上にあり

  

を満たす点Qに移す。この変換を反転といい、Oを反転の中心、rを反転の半径という。

shotou-35-01.png

Pが円Oの内部にあるとき、すなわち、OP<rのとき

  

になるので、Qは円Oの外部にある。

Pが円周上にあるとき、つまり、OP=rのとき

  

なので、P=Qになる。

さらに、Pが円の外部にあるとき、OP>rのとき

  

になり、Qは円の内部にある。

反転円(反転の半径r)の中心O(0,0)、さらに点PQの座標をそれぞれP(x,y)Q(X,Y)とする。

Qは半直線OP上にあるので、ベクトルで書くと

  

となる実数kが存在する。

座標で書くと

  

となる。

  

よって、
  shotou-35-siki-01.png

したがって、

  shotou-35-siki-02.png

また、

  

とおき、同様の議論をすると、

  shotou-35-siki-10.png

という変換式が得られる。

反転によるPからQへの移動を
  

であらわすとすると、②が変換式になる。

また、②と③を使って反転の反転を実際に計算してみると、

  
となり、反転の反転は自分自身であることがわかる。

反転の定義式

からこのことはほとんど明らかなのだけれど、こういう関係がある。

 


§2 問題


抽象的な話をしてもピンとこないと思うので、次の問題を解いてみることにする。


問題1

座標平面上の点(1,0)を中心とし、半径2の円をCとする。座標平面上の円Cの外側にある点Pと原点Oを結ぶ線分が、円Cの周と交わる点をQとし、

  

f(P)であらわす。

(1) Pの座標が(4,2√3)であるとき、f(P)の値を求めよ。

(2) f(P)=3となるような点Pの軌跡の方程式を求めよ。

【解】

(1) 点(1,0)を中心とする半径2の円Cの方程式は

  

Q(x,y)とすると

  

より、
  shotou-35-siki-04.png

Qは、円Cの円周上にあるので

  shotou-35-siki-05.png

k>0なので、k=2


(2) 点Pと点Qの座標を(X,Y)(x,y)とする。

f(P)=3なので

  shotou-35-siki-11.png

Qは円Cの円周上の点なので

  

よって、

  

よって、

  

(解答終わり)

最後で、さり気なく(X,Y)(x,y)にすり替えるのがポイント(^^)


この問題の(1)の場合、

  shotou-35-siki-06.png

となり、反転円は原点Oを中心とする半径√14の円

  

であることがわかる。
shotou-35-02.png


問題2

xy平面上の原点O以外の点P(x,y)に対して、点Qを次の条件(A),(B)を満たす平面上の点とする。
 (A) 点Qは、原点Oを始点とする半直線OP上にある。
 (B) 線分OPの長さと線分OQの長さの積は1である。

問1 点Qの座標をxyを用いて表せ。

問2 点Pが円(x-1)²+(y-1)²=2上の原点以外の点を動くときの点Qの軌跡を求め平面上に図示しなさい。

【解】

(1) OPOQ=1=r²なので、反転円の半径r=1

①より

  


(2) Q(X,Y)とすると②より

  

これを

  

に代入する。点Pは原点以外の円周上の点なので、⑨より

  

よって、
  shotou-35-siki-07.png

ここで、さり気なくXYxyにすり替えて

  

が求める軌跡ということになる。
shotou-35-03.png

(解答終わり)


紫色の点が点Pの単位円に関する反転によって得られる点。

また、Qに対する反転はPになるので

  

を反転して得られる図形(反形)が

  

になる。

ここから一般論にもってゆくのは危険なのですが、このことから原点を通る円(原点は除く)の反形は原点を通る直線に、原点を通る直線(原点は除く)の反形が原点を通る円になることを理解してもらえるのではないか。


一般論は

  shotou-35-siki-08.png

ただし、原点は除くとすればいいにゃ。

原点を通る直線は、反転の定義から、それ自身に映ることは明らか。

原点を通らない円については次回ということで。


今日のお休みソング、「ギルティクラウン」から「Departures〜あなたにおくるアイの歌〜」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、アニメ「ギルティクラウン」から「Departures〜あなたにおくるアイの歌〜」です。



深夜0時をまたいでしまいましたが・・・。
うっかりしていたにゃ(^^ゞ


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今日のアニソン、「センコロール」から「LOVE & ROLL」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「センコロール」から「LOVE & ROLL」です。



アップテンポでいい感じの曲でしょtぅ?

さらに、この曲がおさめられているシングルCDからこの曲を。




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第34回 問題演習 [初等幾何学]

第34回 問題演習


円周角の定理や方べきの定理を使って解く問題の追加。


問題1

ABCの頂点Aより辺BCにおろした垂線をAH、外心をOAOと△ABCの外接円の交点をDとするとき、次のことを証明せよ。

(1) ∠BAD=∠CAH

(2) ABAC=ADAH

【解】
shotou-34-01.png

(1) △ABDと△AHCにおいて、

問題の条件より

  ∠AHC=∠R

ABは直径なので

  ∠ABD=∠R

同じ弧ABの円周角なので

  ∠ADB=ACB=∠ACH

よって、

  ∠BAD=∠CAH

(2) (1)より△ABD∽△AHC

  


問題2 (ブラマーグプタの定理)

円に内接する四角形ABCDの対角線が直交するとき、その交点をEとすれば

(1) Eから辺CDへおろした垂線は、対辺の中点を通る。

(2) 逆に、Eを辺ABの中点を結ぶ直線は、対辺CDに垂直である。
shotou-34-02.png
【証明】(1) △CEDと△EHDに注目。∠CEDは共通、また

  ∠CED=∠EHD=∠R

なので、

  ∠DHE=∠ACD

また、対頂角相等より

  ∠MEB=∠DHE=∠ACD

同じ弧ADの円周角なので

  ∠ABD=∠ACD=∠MEB

よって、

  MB=ME

ABEは∠AEB=∠Rの直角三角形なので

  AM=MB=ME

よって、EHABの中点Mを通る。

(2) ABの中点をMとし、MEの延長とCDの交点をHとする。

Mは直角三角形ABEの中点なので、

  AM=MB=ME

よって、

  ∠ABE=∠BEM

対頂角相等より

  ∠DEH=∠BEM=∠ABE=∠ABD

同じ弧ADの円周角なので

  ∠ECD=∠ACD=∠ABD=∠DEH

EDCは共通なので△DEH∽△DCE

よって、

  ∠DHE=∠DBC=∠R

したがって、EM⊥CDである。

(証明終わり)

ちなみに、円に内接する四角形ABCDの各辺の長さをAB=aBC=bCD=cDA=d、さらに

  

とするとき、円に内接する四角形ABCDの面積S

  

に等しい。

この公式をブラマーグプタの公式という。


問題3 上記のブラマーグプタの公式を証明せよ。

【証明】
shotou-34-04.png

  shotou-34-siki-02.png

よって、四角形ABCDの面積S
  shotou-34-siki-03.png
余弦定理より

  

ここで技を使って

 

ここで辺々を掛け合わせる。
  

①と②より

  
(証明終わり)


ブラマーグプタの公式が使えるのは、円に内接する四角形の場合だけ。一般の四角形には使えないので、注意が必要。

 


問題4

ABCの∠Aの2等分線と外接円が交わる点をEとする。BC=aCA=bAB=cとし、AEの長さを求めよ。

【解】

shotou-34-03.png
AD
の延長と円の交点をEとする。

ADは∠Aの二等分線なので、点DBC

  

に内分する。

よって、

  

ABDと△AECに注目。

同じ弧ACの円周角なので

  ∠ABD=∠ABC=∠AEC

また

  ∠BAD=∠EAC

よって、△ABD∽△AEC

  

方べきの定理より

  

AB=cAC=b、①、③、④から

  

②より

  

(解答終わり)

今日のお休みソングは、東方から「盲目の笑顔」 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、東方から「盲目の笑顔」です。



この曲の歌詞は、現在、ネムネコが置かれている境遇を述べているにゃ。
どうか、もう私を独りにしてください♪
ネムネコ・ブログという無間地獄から解き放たれ、自由になりたいにゃ。
記事を書けども書けども、終わりがない。
書き終えて、ブログにアップした瞬間、次の数学の記事、今日のアニソン、お休みソングのことで頭がいっぱいになるにゃ。
「また、何か書かないといけない・・・」
ネムネコには、救いがないにゃ。



と、不満を漏らしたところで、ねこ騙し数学にやってくる無慈悲な鬼たちは、けっして、ネムネコを許してくれないにゃ。
ネムネコが涙を流しつつ積み上げた物を、
「へっ、へっ、へっ」
と笑って、一瞬の内に崩してしまうにゃ。




この3曲は、同じ曲だって?
勘違いじゃない(^^)

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