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明後日の分の数学の記事を書いて、死んだにゃ!!! [独白]

明後日、ブログに上げる予定の数学の記事を書いて、あまりの計算の大変さに死んでしまったにゃ。
だから、積分の計算は嫌いなんだ!!

見掛けは簡単そうでも、とにかく、積分は、計算、計算、また計算と、大変で嫌になってしまう。

  

こんなものでも、計算は結構大変。
試しに、計算してほしいニャ。




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今日のアニソン、「エヴァ」から「残酷な天使のテーゼ」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「エヴァ」から「残酷な天使のテーゼ」。



一時期、このアニメとこの曲にハマったにゃ。

エヴァには、こんな曲もあるよね。



クラシック的な手法を一部使っているようだけれど、ハッキリ言って虚仮威し(^^ゞ

そして、バレンタインデーまでのパワープレイのこの1曲。




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第15回 3重積分の応用・体積 [重積分]

第15回 3重積分の応用・体積


高校の数学で、立体Ωの体積Vは、zにおけるΩの断面積をS()とすると、

  

で求められると習ったと思うにゃ。


立体Ω

  

で与えられるとすると、

  

となる。
はzにおける立体の断面積になるので、この3重積分の計算は立体Ωの体積を計算したことに相当する。


ということで、次の定理がえられる。

定理
関数f(x,y)g(x,y)が積分領域Dで連続で、f(x,y)≦g(x,y)であるとする。このとき、D上のz軸方向の柱体z=f(x,y)z=g(x,y)が囲むΩの体積Vは次で与えられる。
  

【証明】

立体Ω
  
縦線集合とあらわせるので、体積Vは3重積分を累次化すると

  

となる。


問題1 放物面と曲面で囲まれた体積を求めよ。

【解】

グラフにするとこんな感じになる。

zu-15-01.jpg

分かりづらいと思うけれど、求める立体Ω

  

だにゃ。

x=0y=0を入れると、曲面の上下関係がわかると思う。

で、D

  

なので、

  

となるのだけれど、こんな計算はしたくない。


そこで、

  

となるので、少し工夫し、x=√2rcosθy=rsinθと置くと、D

  

になる。

この時のヤコビアンJ
  
から、J=√2rとなり、よって
  

計算のテクニックですね。

問題2 2平面、z=0z=2–yと円柱面で囲まれる部分の体積を求めよ。

【解】

立体Ω

  

となる。

で、

  

となり、これをお決まりの極座標で変換すると、積分領域は

  

となるので、

  



ねこ騙し数学の記事のストックが尽きたにゃ [独白]

ねこ騙し数学の記事のストックが、明日・明後日の残り二回分しか残っていないにゃ。
困ったにゃ。

明日、体積だろ、明後日は曲面積(曲面の表面積)をやって、重積分はおしまい。
重積分の次に何をやるか決めていないし、始めるにあたっては、こちらもそれなりの準備が必要。
「次、これやろう!!」と思い立っても、こればっかりは、すぐに書けるもんじゃないケロ。

困ったにゃ。



寝逃げでなく、夜逃げするかな(^^)

と強がってみても・・・。

困ったにゃ。

次、何やるかね〜。


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今日のアニソンは、アニメ「ログ・ホライズン」から「Database」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「ログ・ホライズン」から「Database」です。



音は悪いけれど、アニメのOPシーン



顔は別にしまして、
ネムネコは、このアニメの主人公である「腹黒メガネ」こと「シロエ」に性格がよく似ている(^^ゞ

似てるんだから、しょうがないだろう!!

そして、パワープレイのこの曲を。




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3次(以上)の行列式の計算法 [重積分]

3次(以上)の行列式の計算法


  

と計算する。

2次、3次の行列式の記憶の仕方(サラスの方法)はあることはあるのだけれど、アレは4次以上の行列式では成り立たないので、危険だケロ。
ちなみに、2次の行列式は

  

だにゃ。


こうすると、規則性に気づくかもしれない(^^)

  

 


  

とすると、のところは、の属する第1行と第1列を取った

  

という「一回り小さくなった行列」の行列式が・・・。

のところは、の属する第1行と第2列を取った

  

のところは・・・。




Wikipediaの行列式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
の記事の歴史を読むと、面白いことが書いてあるケロよ。

遠く離れたヨーロッパと日本で、ほぼ同時期に、独立して行列式の研究が同時並行的に行われていた。
このことは、実は、とんでもないことなんだケロ。

ウィキペディアのこの記事に「サラスの方法」



が書いてあるけれど、これは4次以上では成り立たないので注意が必要。


第14回 3重積分の変数変換 [重積分]

第14回 3重積分の変数変換


3重積分の場合、ヤコビアンJは次のようになる。

定義
x=φ(u,v,w)
y=ψ(u,v,w)x=η(u,v,w)がともに級であるとき、次の行列式

  
を写像(x,y,z)→(φ(x,y,z),ψ(x,y,z),η(x,y,z))のヤコビアンという。

そして、次の定理。

定理

Ωxyz-空間の積分領域とし、関数f(x,y,z)Ωで連続とする。の変換x=φ(u,v,w)y=ψ(u,v,w)x=η(u,v,w)により積分空間Γに1対1対応するとする。このヤコビアン
  
J(u,v,w)≠0を満たすならば

  


で、3次元の極座標は、
3dkyokuzahyou.jpg

  


それで、このヤコビアンは

  

になる。


ということで、次の定理が成立するにゃ。


定理

Ωxyz-空間の積分領域とし、関数f(x,y,z)Ωで連続とする。極座標
  
により積分空間Γに1対1対応するとする。このとき

  
となる。


では、早速問題を。


問題1

  

「解」

このΩは原点を中心とする半径aの球で、上の積分はその体積。積分領域Ωを極座標変換すると、

  

になるので、

  

となる。

問題2

  

【解】

3重積分は計算が大変なので計算したくないというのが本音なのだが・・・。


極座標x=rsinθcosφ,x=rsinθcosφ,z=rcosxθで変換すると、

  

になる。
よって、
  



今日のアニソン、「風の谷のナウシカ」 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「風の谷のナウシカ」です。



この音程の不安定さ、音程の怪しさが、何とも形容のしようのない、いい味を出していますよ。

この曲↓も、ちょっと微妙な気が・・・。



そして、パワープレイのこの曲。




第13回 3重積分 [重積分]

第13回 3重積分


2重積分と同じように、3重積分、そして、n重積分を定義することができる。基本的に同じなので、3重積分をその代表としてやりますにゃ。


閉区間で有界な関数f(x,y,z)に対して、Kの分割を細かくしたリーマン和が一定の値に収束するとき、f(x,y,z)は積分可能であるといい、その極限を
  

とあらわす。

そして、定数関数1が有界な集合上で積分可能であるとき、体積確定といい、

  

Ωの体積という。

そして、3重積分を計算するときには累次化して積分する。

定理

f(x,y,z)で連続であれば、

  


なお、

  

のことなので注意してください。

上の定理は積分領域が直方体の場合で、より一般のΩの場合は次のようになる。

f(x,y,z)
の積分領域Ωで連続とする。xy平面上の積分領域DD上の連続関数により、Ωが縦線集合

  

としてあらわせるとき、

  

さらに積分領域DD上で連続な関数によって

  

とあらわされるとき、

  

となる。
こういうふうに累次化して積分する。


何を書いてあるかわからないと思うので、問題を解いて実例を示すにゃ。


問題1

  

【解】

  

なのだけれど、これは次のように計算してよい。

  

上の右辺はただの積分の掛け算なので、累次積分と区別するために、「・」を付けたにゃ。


2重積分でも計算量が多いのに、3重積分はさらに計算量が多くなるので、大嫌いだにゃ。


問題2

  

【解】

Ωは次のように縦線集合に書き換えることができる。

  

積分領域D

  

よって、
  


3重積分は、こんな簡単なものでも、とにかく計算が大変です。




第12回の問題3を1変数関数で求めるには・・・ [重積分]

重積分の第12回の問題3の面積を1変数関数の積分でどうやって求めるかというと、細かい議論が少しいるのだけれど、その議論を、まずは、すっ飛ばすことにするにゃ。


図を見ればわかるけれど、この図形はx軸に関して対称だから、上半分、つまりy≧0の部分の面積を求め、これを2倍すれば求める面積になる。

zu-13-1.jpg



ということで、

  

を計算し、これを2倍すれば、求める面積になる。


何処からこんなのが出てきたかというと、x=rcosθy=rsinθr=1–cosθから

  

となり、あとは、置換積分の

  

というありがたい式からこうなる。
 ―――実は、ここで少しズルをしている(^^ゞ 詳しくは、細かい議論で―――



で、 0≦θ≦π

  

となることから、xは、θ=π/3の時に最大で、最大値は1/4となる。


少し細かい議論というのは、

  

と言うもの。


これは下の図を見てもらうとよくわかると思う。



heart_1.GIF


heart_2.GIF

heart_3.GIF

求める面積は、青の部分で、これは黄色の部分から紫の部分を引いたもの。

y+という関数は−2≦x≦1/4の関数、y-という関数は0≦x≦1/4・・・。
こういうちょっと細かい議論をしないといけない。

計算はしないぞ。真面目に計算をすると、同じ答えるになるはずだにゃ。上半分の面積は3π/4だから、面積は3π/2になるはずだ。

ちなみに、(1/4,√3/4)は変曲点。



答が一致することの検算は、台形公式でやってある。

今回は、C言語のプログラムを・・・。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
        return (1-cos(x))*sin(x)*(-sin(x)+2.*sin(x)*cos(x));
}
double daikei (double a, double b, int n) {
    double s, h;
    int i;

    h=(b-a)/n;
    s = (f(a)+f(b))/2;
    for (i=1;i < n; i++) {
        s= s+ f(a+i*h);
    }
    return s = s*h;
}
int main() {
    int n;
    double pi;
   
    pi=4*atan(1.0);
    n=100;
    printf("s=%f\n", daikei(pi,0,n));
    printf("kotae=%f\n",3.*pi/4);
    return 0;
}

100分割で計算すると、3π/4≒2.356194となるにゃ。
だから、間違っちゃ〜いない(^^ゞ

台形公式のBASICのプログラムは
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-04-09-3
に書いてある。
def f(x)=ホニャララ
の部分と、aとbの値を変えればいいにゃ。