So-net無料ブログ作成

第33回 複素数列 [複素解析]

第33回 複素数列

自然数nに1つの複素数を対応づけた

  
複素数列といい、簡単にであらわすことにする。各という。

数列に対してある有限のzが存在し、nを大きくするといくらでもzに近づくならば、極限値a収束するといい、またはとあらわす。数列の極限をより厳密にいうと次のようになる。

任意の正数εを与えたとき、ある自然数Nが存在して、n>Nであるすべてのnに対して、

  
が成り立つ。
数列が有限の値に収束しないとき、発散するという。特にとなるとき、は∞に発散するといい、またはと書く。

ちなみに、z=x+iyとすると、

  
のことね。

それで〜、
z=x+iyとすると、は、2つの実数列に対してと同じことになる。

何故ならば、

  
になるので、

  
となるし、

  

となるからだにゃ。



では、簡単な問題を2つほど。


 

問題1 次の数列の極限値を求めよ。

  

【解】

  

になるので、n→∞のとき、1+3/n→11+1/n→1になるので、上の極限は1。
で、

  

なのだから、この極限値は1+ie


問題2 ならば、である。

【解】

だから、
任意の正数εに対して,n>NならばとなるNが存在する。

よって、任意の正数εに対して,n>Nならば

  
となる。(証明終わり)

悪名高きε-N論法ならば、こうなる(^^

もっとわかりやすい証明ならば、

  

また、

  

ハサミ打ちの定理より、

  

となる。

なお、

のことだからね。




参考:

第2回 数列の極限
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-05-13

あたりを読んで復習してもらえると、理解が深まると思うにゃ。
これから使う定理などはすべて「数列と級数」に紹介していると思いますし、たぶん、すべて証明していると思うにゃ。


第32回 ちょっと、数列の復習 [複素解析]

第32回 ちょっと、数列の復習

次回から、複素数の数列をやりますので、このイントロとして少しだけ数列の復習をしますにゃ。


まず、ε-δ論法を思い出してもらうために、次の問題をやってみるにゃ。

問題1 任意の正数εに対して

  0≦aε
であるならば、a=0であることを示すケロ。
【解】
a=0
が0≦aεを満たすことは明らか。
で、
a≠
0と仮定する。すると、条件よりa>0
ε
任意の正数なのでε=a/2と置くと、

  0<a<a/2
となる。
 ―――εは任意の正数だから、0より大きいどんな値を選んでも良い!!―――
で、a<a/2を解くとa<0となり、a>0と矛盾する。(a>0ならば、そもそも、a<a/2は成立しない!!この時点で既におかしい)
―――
あるいは、a<0かつa>0となり、a=0以外の解は存在しない、とか・・・―――
よってa=0である。


εは任意の正数だから、

  
としてもいいよね。
こうすると、

「任意の自然数nに対して

  
ならばa=0である」
となる。

それでは、数列の極限で使われるε-N論法の話をするにゃ。
かりに、次のような数列があったとする。

  
n
の値を大きくしていけば、の値がドンドンと、限りなく1に近づいていくことはわかると思うにゃ。
実際に、n=1,10,100,1000とすれば、21.11.011.001となるから。

このことを、極限の記号を使うと、

  

  
と書くにゃ。
 ―――記号「∞」は、「無限大」の意味。でも、記号「∞」は数ではないにゃ。数だと思ってはいけないにゃ―――

でも、数学では「どんどん近づく」とか「限りなく近くなる」という文学的な表現を嫌うにゃ。これは曖昧だというわけだにゃ。

ということで、現代的な数学では、次のように表現するにゃ。

任意の正数εに対して、適当な自然数Nをとると、n>Nの全てのnに対して

  
となるとき、aを数列の極限という。
あるいは、

任意の正数εに対して、ある自然数Nが存在して、

  

と定義したりするにゃ。

これがε-N論法と呼ばれる大の嫌われモノ。

例に上げた

  
だと、極限値a1になるので、

  
となるにゃ。

でだ、仮にε=1/10とすれば、

  

となるにゃ。

だから、N=10とすれば、

  
になるにゃ。
今はN=10にとったけれど、N=11でも、N=20でも、N=100でもかまわない。
同様に、ε=1/100ならば、N=100に取れば、

  

となる。この時、N=101N=200でもN=10000でも構わない。


今はεの逆数が自然数になったから簡単だったけれど、εは実数だから、たとえば、

  

みたいなやつだと、ちょっと、厄介だにゃ。電卓でも使わないことには、Nを探しだすことは難しいケロ(^^
電卓を使うと、
  

になるので、N=13>1/εにすれば、いいにゃ。

そうすると、

  

になってくれるケロ。

だけれども、数学にはガウス記号という便利なものがあるにゃ。
このガウス記号[]を使うと、

  


上の式を見るとわかるけれど、Nεによって値が変わるんだにゃ。εによって、Nの値が決まると言ってもいい。
このことをあらわすために、特に、N=N(ε)と書くことがあるにゃ。

ガウス記号[x]
は、xを越さない最大の整数mのことで、式で書くと
  m≦[x]<m+1
となるケロ。

  12≦[12.198]<12+1=13
になるので、この値は12になる。
x≧0
ならば、小数点以下を切り捨てたものになるにゃ。

x<0のときは、例えば、x=3.5として、[]、つまり、[−3.5]の値を求めて欲しいにゃ。
ちなみに、この値は−4だからね。−3じゃないよ。
だって、−3は−3.5より大きいから。−3.5を越さない最大の整数は−4だケロ。



第31回 べき根 [複素解析]

第31回 べき根

定義 となるn個のwをと書き、zのn乗根という。
また、1つのzに対して、n個のwが対応しているとき、n価といい、一般に2価以上を多価という。

とすれば、

  
となるので、
  

という関係がある。

何故ならば、

  
となる。

何で、⑨になるかわからないって?
これは、指数関数が周期、2πiを(基本)周期に持つ周期関数だからだにゃ。
  

こうなるので、

  
となる。

zu-31-1.jpg

「おい、バカ猫。①と②は微妙に違うじゃないか!!」
「極形式で書けば、確かに違うにゃ。だけど、xy形式の複素平面で書けば同じとみなすことができるにゃ。」

というのは、k=±nのとき、つまり、Θ=θ/n±2πのとき、

  
になってしまう。グルッと一回転して元の地点に戻ってしまうから、区別できず、同じ点とみなしても構わない。だから、k=0,1,2,・・・,n–1n個と考えて良いことになるにゃ。

それで、
実数の時と同じように、ともあらわす。特に、n=2のとき、と書く。
n価の多価関数なんだけれども、r>0のときは、実数の範囲で知られている正のn乗根をあらわすものとする。
このように約束すると、たとえば、
  
の時の根は、z=±√2となり、一貫したものになる。



では、問題を一つ。


問題 次の値を求めよ。
  
【解】

これは、

  
のべき根のことだにゃ。

だから、定義に従って、計算するにゃ。

とすると、

  

になるので、

  
となる。で、r≧0なので、

  

よって、

  

となる。

だから、

  
となり、

このことから、

  

となる。


第30回 コーシーの評価式とその応用 [複素解析]

第30回 コーシーの評価式とその応用

前回やった
  
という公式を使うと、いろいろなことが証明できるという話をしますにゃ。

コーシの評価式
C
αを中心とする半径rの円とし、f(z)Cおよびその内部で正則とする。z∈Cに対し、|f(z)|≦Mであるならば、
  
である。

【証明】
  
であるので、

  

ちなみに、

  
だケロ。これは半径rの円周の長さのことだから。
ちなみに、真面目に計算をすると、

  
となる。


念のために書くけれど、

  

となる。


定義 複素平面C全体で正則な関数を整関数という。

たとえば、三角関数sinzcosz、指数関数、さらに、などは整関数の代表例だにゃ。

リウヴィルの定理
f(z)
が有界な整関数ならば、f(z)は定数である。

【証明】
f(z)
は有界な関数なので、任意のzに対して|f(z)|≦MとなるMが存在する。

任意のzを中心とし、任意の半径rを書くと、コーシーの評価式から
  
rは任意の正数だからr→∞とすると、

  
任意のzに対してf’(z)=0だから、f(z)は定数となる。


平均値の性質


f(z)αを中心とし、半径rの円の周およびその内部で正則であれば、
コーシーの積分公式より、

  

になる。これを平均値の性質という。


証明は、こうすればいいにゃ。
中心α、半径rの円は
  
だにゃ。

で、

  
ということで、

  

よって、

  
となる。

他にも、代数学の基本定理や最大値の原理(?)が証明できるのだけれど、複素解析にあまり関係ないので、やらないにゃ。
複素解析の本、教科書によっては書いていないし(^^ゞ。

最大値の原理
C
を単一閉曲線とし、f(z)Cの周およびその内部で正則とする。このとき、|f(z)|はその最大値を境界C上でとる。

代数学の基本定理

代数方程式

  
は根を持つ。



第29回 正則関数の微分可能性 [複素解析]

第29回 正則関数の微分可能性


定理 f(z)は領域Dで正則とする。そのときf'(z)Dで正則であり、したがって、f(z)は何回でも微分可能である。また、微分は次の公式で与えられる。
  
ここに、Cはzを含み、その周およびその内部がDに含まれる単一閉曲線である。

【証明】
コーシーの積分公式からCはzを中心とする半径rの円としてよい。さらに、hを|h|<r/2とする。
  
よって、
  
となる。
C
上の|f(ζ)|の最大値をMとすると、|f(ζ)|≦M、|ζ–z=r、|ζ–z–h|≧r/2となるので、
  
  
となる。

で、h→0とすれば、

  

になる。

つまり、

  

となる。
あとは、数学的帰納法でチョメチョメ・・・(^^

ではあるのだが、

  
の両辺をzで次々と微分すれば、この公式は出てくるにゃ。
  

で、n=kのとき

  

として、これをzで微分すると、積分の中は

  

になるので、

  

となり、n=k+1でも成立することが分かるにゃ。

証明の中身はわからなくてもいいにゃ。
知ってほしいのは、複素関数は1回微分可能ならば、何回でも微分できるということであり、

  siki-29-2.png
という結果だにゃ。

  


では、問題を。

問題 次の積分の値を求めよ。ただし、各閉曲線は全て正の方向とする。

  siki-29-3.png


【解】

  siki-29-4.png

とすると、これは正則だから、

  siki-29-5.png

となるケロ。
で、

  siki-29-6.png

これを代入すると、
   siki-29-7.png
となる。

モレラの定理 (コーシーの定理の逆)

f(z)が単連結領域で連続であって、D内の任意の閉曲線Cに対して
  siki-29-8.png
であるとき、f(z)は正則である。
【証明】
siki-29-9.pngとして、Dに対しての関数
  siki-29-10.png
が積分路によらず定義が可能。そして、F'(z)=f(z)となる(※)。
よって、F(z)は正則であり、その導関数f(z)Dで正則になる。

(※)

zu-27-2.jpg


  

f(ζ)は連続なので、任意の正数εに対してある正数δが存在して

  siki-29-11.png

ということで、

  
ちょっと粗いけれど・・・。

そして、これの意味するところは、

  siki-29-13.png
だケロ。


第28回 コーシーの積分公式 [複素解析]

第28回 コーシーの積分公式

コーシーの積分定理とともに複素解析において最も重要な定理の一つ、コーシーの積分公式をやりますにゃ。

定理 コーシーの積分公式

f(z)は領域Dであり、曲線Cはその周および内部がDに含まれる閉曲線である。Cの内部にある1点αに対して次の関係が成り立つ。

  

【証明】
C
の内部に、αを中心とする半径ρの円Kをかく。

zu-28-1.jpg

は、CKの周およびそれぞれに囲まれた領域で正則だから、コーシーの定理の系1から

  
f(z)
z=αで連続だから、任意の正数εに対して、Kの半径ρを十分小さくすれば、K上のすべてのzについて
  
が成り立つ(有界な閉集合Sで連続な関数f(z)Sで一様連続)。
よって、
  
よって、
  


で、このコーシーの積分定理を使うと、次の問題の積分を簡単に求めることができる。

問題 Cが、その内部にiを含み−iを含まないような閉曲線であるとき、次の値を求めよ。
  

zu-28-2.jpg


【解】
被積分関数は

  
となる。

それで、
  
とすると、f(z)Cの周とその内部で正則。

コーシーの積分公式は次のように書き換えられるので、

  

よって、問題の積分の値は




コーシーの積分公式の系
f(z)
は領域Dで正則とする。CDの中にある閉曲線であり、Cの内部にあって、かつ互いにその他の外部にあるような閉曲線である。さらに、Cで囲まれた領域およびその境界がDに含まれているとき、その領域の任意の1点をαとすると、次の関係が成り立つ。
  

【証明】
α
を中心とし、Cの内部にあってかつの外部にある円Kをかく。
CおよびKによって囲まれた領域とその境界で正則であるから、コーシーの積分定理の系1より、
  
また、コーシーの積分公式より

  

よって、
  

証明終わり。


第27回 正則な関数の不定積分、原始関数 [複素解析]

第27回 正則な関数の不定積分、原始関数

正則な関数(解析関数ともいう)の不定積分を定義する前に、連結領域の定義を与えることにしますにゃ。

定義
領域D内の任意の単一閉曲線の内部の点がすべてDの点であるとき、D単連結領域といい、単連結領域でない領域を多重連結領域という。領域の境界が共通点がないn個の部分に分けられるとき、n重連結領域という。




全平面、円の内部、半平面などは単連結な領域であるが、単一閉曲線の内部から何個かの穴ボコを除いた領域、1点を除いた領域などは単連結領域ではない。

定理
単連結領域Df(z)は正則とする。D内の1点を固定し、D内の任意の点をzとする。このとき、からzに至るD内の任意の曲線をDとすれば、

  
のみで定まり途中の道Cには無関係である。

この積分の値を、

  
と書くと、Dで定義された関数F(z)をうる。このとき、F(z)Dで正則であり、

  
が成り立つ。

【証明】

zu-27-2.jpg

積分路変形の原理(コーシーの積分の定理系2)よりとzのみで定まり、積分路Cに無関係である。したがって、とおくと、F(z)Dで定義された関数となる。
  

よって、
  

f(z)はzで連続なので、任意の正数εに対してある正数δが存在し、
  
となる。

  
となるようにhをとると、

  
証明終わり。

一般に正則な関数f(z)に対して、
  
である正則関数をf(z)原始関数という。

系 f(z)が単連結領域Dで正則であるとし、G(z)f(z)の眼視関数とする。D内の任意の2点αβに対し、

  

【証明】
G'(z)=f(z)=F'(z)
であるから、F(z)–G(z)Dで正則な関数で、
  
なので、F(z)–G(z)は定数。
  
z=α
とすると、

  
よって、

  
となり、z=βと置けば、
  siki-27-1.png

ということで、
  siki-27-2.png
と、実変数の関数の積分のように計算をしてもよい。何故ならば、と指数関数は全複素平面上で正則だから。sin zcos zも全平面で正則なので、実変数の関数の積分のように計算をしてよいということになる。


問題 複素平面からz=0と実軸の負の部分を除いた領域をDとするとき、
siki-27-3.png
を求めよ。ただし、arg(1)=0とする。


【解】
この単連結領域では、1/zlogzはともに正則であり、

  siki-27-4.png

よって、

  siki-27-5.png

ただし、中央の式の対数関数は同じ分枝でなければならないので、右辺のlogz主値


分枝と主値は、とりあえず、今は保留しておくにゃ。
対数関数の主値については、偏角θを−π<θ≦πに制限し、
複素関数の対数関数は多価関数で、

  siki-27-6.png

となるので、これから2nπiをとったものだと思って欲しいにゃ。こうすると、値が一つに定まる。
本によっては、対数関数の主値を
  siki-27-7.png
と書いてあったりするにゃ。

これを使うと、

  siki-27-8.png
となる。



第26回 コーシーの積分定理の系 [複素解析]

第26回 コーシーの積分定理の系

前回、領域D内で正則な関数f(z)が、領域の中にある閉曲線Cにそって積分するとその値が0になる、つまり、
  
というコーシーの積分定理をやりましたにゃ。

今回は、このコーシーの積分定理の系をやりますにゃ。この系を知るだけで、積分できる関数がずっと増えるというありがたいものだケロ。


系1
C
は領域Dの中にある閉曲線であり、Cの内部にあって、かつ互いに他の外部であるような閉曲線である。さらに、Cで囲まれた領域およびその境界はDに含まれている。f(z)が領域Dで正則であるとき、次の等式が成り立つ。
  

この文章を読んでも何を書いているか分からないと思うので、図を加えるにゃ。

zu-25-1.jpg


ここで、いちいち、と書くのは面倒なので、と略して書くことにするにゃ。

n=2
の場合で証明するにゃ。

【証明】



図のように積分路kl、mn、pqを付け加えると、2つの閉曲線qgklrmntpqkhqpunmslkと沿う積分にはコーシーの積分定理が適用されるから、

  

である。

よって、
  
kl
、mn、pqに沿う積分は反対のものであるために互いに打ち消される。
  

「kl、・・・に沿う部分は反対のものであるために互いに打ち消される」を補足すると、
  
ということ

積分路には向きがあるので、こういうことになる。


では、この系を使って、次の問題を解いてみることにするにゃ。

問題
を正の方向に取るとき、
  
を求めよ。


【解】

  
であるから、f(z)z=01を除き正則。

を、円の中心がOで半径、円の中心が1で半径とする。ただし、

こうすると、は共有点を持たず、しかも、Cの内部にある。

zu-25-3.jpg

よって、コーシーの定理の系1より、

  

それで、の内部で正則、の内部で正則だから、コーシーの積分定理より

  
となる。

そして、
  
なので、
  
となる。

中心α、半径rとする円周
  
とすると、

  

というのは、やったにゃ。

  
となるからだにゃ。


系2(積分路変形の原理)
f(z)
は領域Dで正則とする。D内の2点をそれぞれ共通の始点と終点するD内の2つの曲線、があるとき、D内で連続的に変形(f(z)を正則な点のみを通じて連続変形)してと一致させることができるならば、

  
【証明】
のいずれとも以外に共有点を持たず、からに至る曲線を考える。
ただし、がともにDの内部に含まれるものとする。

zu-25-4.jpg

ともに単一閉曲線だから、コーシーの積分定理より
  siki-26-1.png
となり、

  
同様に、

  siki-26-3.png
よって、
  siki-26-4.png

ちなみに、この記事の中の図で斜線部や網掛けの部分は、f(z)が正則かどうかは分からない領域だにゃ。





周回積分 [複素解析]

周回積分というのは、閉曲線Cに沿ってぐるっと一周積分するもののこと。
この時、このことをあらわすために


とあらわすことがあります。

kyokusen.jpg

周回積分を特に区別する必要もないので、
周回積分の場合も、ネコ騙し数学、少なくとも複素解析では普通の線積分と区別することなく

と書くにゃ。

コーシーの定理のところで少し触れたけれど、閉曲線の回転の向きは、反時計回りを正、+にとるにゃ。

時計回りの場合は負になる。上の閉曲線の場合、時計回りに回る時、−Cとなる。

そして、閉曲線として最もよく出てくるのが、中心α、半径rの円で、この時、閉曲線は

で、時計回りの−Cは

となる。

これはこの後、度々出てくると思うので、覚えておくと便利です。



重積分の簡単な計算法 [複素解析]

この記事は、ネムネコ・ブログの母屋とも言うべき「ねむねこ幻想郷」で書いた記事なのですが、今回、ちょっと重積分が出ているので、重積分の計算法を少しだけご紹介します。


複素解析、複素積分に入ってますます閲覧数が減っているな。
いやいやいや〜。困ったもんだ。

多変数の積分、重積分をやったほうが、お客さんは多いのかもしれないね〜。
そう思う一方、「重積分も具体的な積分の計算やその応用へ至るまでの道のりが長いので、今の状況と変わらないんじゃないか」という気がする。
重積分の具体的な計算の仕方だけならば、それほど、難しいものじゃないんだけれどね。
たとえば、
次のような積分ならば
  

と計算すればいいし、
Aをx=a、x=b、y=φ(x)とy=ψ(x)(φ(x)≦ψ(x))で囲まれた領域とすれば、

と計算するんだとやればいい。

 ―――2変数の重積分を、こう定義する(^^ゞ―――
そして、x=a、x=b、y=φ(x)とy=ψ(x)で囲まれた面積Sは、

  
となるんだとやればいい。

これは、1変数のときの定積分、つまり、面積と一致しているにゃ。

重積分をどのように入るか、方針がまだ決まっていない。
だから、多変数関数の微分、偏微分の後、多変数関数の積分、重積分に入らなかった。
舞台裏の話をすると、こういう事情があった。