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「ネムネコ式採点法 2次方程式の判別式を使うと減点される」の問題の解答例 [高校の微分積分]

「ネムネコ式採点法 2次方程式の判別式を使うと減点される」で、

方程式

  

が、正の解xを持つための(必要十分)条件を求めよ

という問題を出したのだけれど、この問題、解けたケロか?

 

ネムネコが宿題を出しても誰も解かないというのが、このブログの訪問者の流儀だから、答を教えてやるにゃ。

 

【微分を使わない解答】

x>0のとき、

  

また、

x>0のとき、

  

よって、

方程式①(②)が正の解xを持つためには、y

  

でなければならない。

 

shuku-graph-xxx.png

 

(解答終)

 

【微分を使う解答】

x>0のとき、

  

ここで、

  

とし、③をxで微分すると、

  

したがって、f(x)の増減表は次のようになる。

 

x

0

・・・

・・・

f'(x)

 

0

 

f(x)

+∞

減少

極小

増加

+∞

 

よって、方程式②(①)が解x>0を持つためには、

  

でなければならない(必要条件)。

また、

y=f(x)=x+1/x³(x>0)0<x<∞で連続、かつ、

  

だから、中間値の定理より、

  

である任意のyに対して、

  

を満たすx>0が存在する。(十分性の証明?)

方程式①と方程式②は同値だから、

  

が、求める必要十分条件である。

(解答終)

 




「曲線のグラフは(説明にはなるが)証明にならない」と言ううるさい奴もいるけれど、うるさいことを言い出したからキリがない。果ては「ε-δ論法を使ってf(x)=x+1/x²(x>0)が連続であることを示さない限り、オレは解答として認められない」なんて話にもなりかねない。

高校レベルならば、a>0のとき、

  

で連続性の証明になるのだろうけれど、ねこ騙し数学では、こんなのは証明として認めないケロ。

ということで、

お前ら、

  

が、x∈R−{0}で連続であることを、ε-δ論法を使って、直接、証明するにゃ。

大学1年の微分積分(解析)の前期の試験でこれを出題したら、きっと、悲鳴が上がると思うにゃ(^^)

討ち死者が続出する。

 



阿鼻叫喚地獄が現出することは疑いの余地がない!!



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コメント 3

ddtddtddt

 自分はどうしてもグラフ書いて微分したい奴なのです(^^;)。

  x^2-yx+1/x=0,x>0 ⇔ x^3-y・x^2+1=0,x>0

なので、f(x)=x^3-y・x^2+1とおく。

 受験テクニック1:
 どこぞの範囲のxに解を持つ条件を出せ、という問題では、どこぞの範囲の端っこのf(x)の値をまず押さえ、f(x)の概形を想像すると効率的(^^)。

 端はx=0なので、f(0)=1>0。
 これを念頭に3次関数f(x)の概形を想像すると、x^3の係数は正だから、x<0に少なくとも1個解を持つ事がわかる。従ってx>0での極小値が0以下なら、f(x)はx>0で1個または2個の解を持つ。

 では極値を計算しよう。しかし3次関数の極値は面倒な形になる事が多い。そこは大丈夫か?。・・・大丈夫!。f(x)に1次の項がないから、微分したら実質1次方程式。

  f’(x)=3x^2-2y・x=x(3x-2y)=0

 ほうらねっ(^^)。それにx>0で解を持つためには、・・・なんだf(1)は極大値じゃないの。よってy>0だ。x=2y/3で極小値。

  f(2y/3)=8y^3/27-y・4y^2/9+1
        =8y^3/27-4y^3/9+1
        =8y^3/27-12y^3/27+1
        =-4y^3/27+1≦0

  -4y^3/27+1≦0
  4y^3/27≧1
  y^3≧27/4

 y>0だから、

  y≧3・(1/4)^(1/3)

 受験数学を全うしたぁ~(^^)。

by ddtddtddt (2018-03-14 10:32) 

ddtddtddt

 受験数学を全うするより興味深いのは、ネコ先生の考えの方向。この方向は例えば、次の実数条件問題なんかにも簡単に応用できる。

問題:x^2+2y・x+y=0   (1)
    で、xが任意の実数を動く時のyの範囲を求めよ.

 「計算してみせる事にまさる証明はない」の信念のもとに、(1)をyについて解く。

  (2x+1)y=-x^2   (2)

x=-1/2の時:
 (2)の左辺0。右辺-1/4で不合理。よってx≠1/2。

x≠-1/2の時:
 y(x)=-x^2/(2x+1)=-x/2+1/4-1/4/(2x+1)
 y’(x)=-1/2・(1-1/(2x+1)^2)
     =-2x(x+1)/(2x+1)^2≧0

とすれば、-1≦x≦0。この範囲でy(x)は単調増加。従って、x<-1または0<xでy(x)は単調減少。よってy(-1)は極小値,y(0)は極大値。そしてx=-1/2は不連続点。

  y(x→-∞)=+∞
  y(-1)=-1/(-2+1)=1(極小)
  y(x→-1/2-0)=-1/4/(-0)=+∞

  y(x→-1/2+0)=-1/4/(+0)=-∞
  y(0)=0(極大)
  y(x→+∞)=-∞

 以上まとめれば、y≦0または1≦y。

 ・・・という答案を書いたら、数学の先生からは「合ってるんだけど、わかりにくいし、効率も悪いからこうしなさい」という指南を受けた(^^;)。

 こうしなさいとは、もちろん判別式。xは少なくとも実数だから、判別式より、

  y^2-y=y(y-1)≧0 ⇔ y≦0または1≦y

 しかしこの時オイラは判別式解法に納得していなかったのだ。それに、

  「計算してみせる事にまさる証明はなし!」

 だってx≠1/2でなければならないから、じつは問題には不備がある。「解無し」で点数はくれるんだろうか?。

by ddtddtddt (2018-03-14 14:30) 

nemurineko

コメント、ありがとうございます。

問題1 x²+2y・x+y=0   (1)
で、xが任意の実数を動く時のyの範囲を求めよ.

問題2 実数の定数aを含む次の2次方程式がある。
x²+2a・x+a=0   (3)
この方程式が実数解を持つ条件を求めよ。

問題2の場合は、aは実定数で動かないから、判別式を使って
D/4=a²−a=a(a−1)≧0
だから、
a≦0またはa≧1
と解くのはもっともなこと。

しかし、問題2の場合、aは実定数で固定されているけれど、問題1の場合、yはxの値に応じて動きますからね〜。
それに、
x²+2y・x+y=0   (1)
は、xの2次方程式じゃなく、xとyの2次方程式だし(^^ゞ

(1)をxの2次方程式として解くためには、y=a(aは実定数)とyの値をaにひとまず固定し、
x²+2a・x+a=0   (3)
と直してから、
D/4=a²−a=a(a−1)≧0
∴ a≦0またはa≧1  (4)
と解くのが筋ですわね〜。
そして、{a∈R|a≦0またはa≧1}の任意のaに対して方程式(3)は実数解を持つし、y=aだから、
x²+2y・x+y=0   (1)
が実数解xを持つ条件は
y≦0またはy≧1  (4’)
なんじゃねぇ〜。

「y=aで固定する」ではなく、「yを固定し、xの2次方程式と考えると・・・」でもいいですが・・・。

このように2次方程式の判別式を使って解くのであれば、いいと思いますけれど、
パブロフのイヌのように条件反射的に解くのはね〜、ちょっといただけませんね〜。

by nemurineko (2018-03-14 21:33) 

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