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定積分の第2回のおまけの補足 [定積分]

定積分の第2回のおまけの補足


「定積分の第2回のおまけ」の一様連続で取り上げて不等式

  

を平均値の定理を用いて導出することにする。

平均値の定理

f(x)[a,b]で連続、(a,b)で微分可能のとき、

  

が成立するcが少なくとも1つ存在する。

この平均値の定理を用いると、上記の2つの不等式は次のように証明される。


x₂>x₁
とすると、f(x)=sinx[x₁,x₂]で連続、(x₁,x₂)で微分可能だから、平均値の定理より

  

となるcが存在する。f'(x)=cosxだから、

  

x₁>x₂のときは、⑨のx₁x₂を入れ替えて

  

x₁=x₂のとき、sinx₁=sinx₂だから、

  

となり、不等式は成立する。

よって、

  


もう一つの不等式の証明は、

0≦x₁<x₂≦1のとき、f(x)=x²[x₁,x₂]で連続、(x₁,x₂)で微分可能だから、平均値の定理より

  

であるcが存在する。

f'(x)=2xだから、

  

0≦x₂<x₁≦1のときは、上の不等式のx₁x₂を入れ替えて

  

x₁=x₂のときは

  

以上のことより、

  


この不等式は、次のようにさらに一般化できる。


f(x)
[a,b]で連続、(a,b)で微分可能で、

  

である定数Mが存在するとき、

  


何故ならば、

x₁≠x₂のとき、平均値の定理から

  

x₁=x₂のときは

  

したがって、

  

だから。

そして、このとき、任意のε>0に対して、

  

とおくと、

  

となるので、f(x)[a,b]上で一様連続である!!

今は[a,b]と有界な閉区間、そして、f(x)(a,b)で微分可能なものに対して証明したけれど、関数の定義域を実数Rに拡張し、

ある正の定数が存在し

  

であるならば、f(x)は実数Rで一様連続である

ということになる。

(1)式が成り立つたつとき、リプシッツ連続といい、定数Mリプシッツ定数という。


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