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第1回 定積分(リーマン積分)の定義 [定積分]

第1回 定積分(リーマン積分)の定義


リーマン和の定義

有界閉区間[a,b]の分割

  


に対し、を選んで

  

リーマン和と呼び、

  

分割の幅という。

 


(リーマン)積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれののなかの任意のに対して

  

であるとき、関数f(x)[a,b]で積分可能といい、

  

とあらわす。

たとえば、閉区間[0,1]で定義される関数f(x)=xがあるとする。[0,1]を次のように

  

n等分し、その小区間

  

をとると、このリーマン和は
  

となり、

  

である。

しかし、このことをもって、

  

としてはいけない。

この結果は、確かに、

  

と一致する。

しかし、①は[0,1]n等分するという特定の分割のものであって、さらにその特定の

  

という点をとったリーマン和に過ぎず、分割によって、また、のとり方によって値が変わってくるかもしれないからだ。


そこで、次の問題。



問題 x∈[0,1]で定義される次の関数

  

が(リーマン)積分可能でないことを示せ。

【解】

[0,1]n等分、すなわち、

  

と分割する。

そして、をとると、これは有理数だから、

  

内の無理数ををとると

  

よって、積分可能でない。

(解答終)



高校の数学では、定積分を区分求積法

  teisekibun-01-siki-01.png

で定義したが、この定積分の定義を問題1に用いると、

  

と、積分可能になってしまう(^^)

この積分の定義⑨のままでは都合が悪いことがわかってもらえたと思う。


さてさて、

  

の証明。

f(x)=x[0,1]の分割を

  

とする。

の中点に選ぶと、

  

また、すべての分割Δのそれぞれのの任意のに対して

  

したがって、

  teisekibun-01-siki-05.png  

である。


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