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高校数学の定積分 [定積分]

高校数学の定積分


高校数学の定積分の定義は、以下のようなものである。


関数f(x)は有界閉区間[a,b]において連続で、[a,b]

  

n等分とし、

  

とおくと、

  


例えば、[0,1]で定義されたf(x)=x²の定積分

  

は、定義(1)にしたがって次のように求めることができる。

  


(1)を使うと、次のような問題を解くことができる。


問題1 次の極限値を求めよ。

【解】

(1)
  

[0,1]n等分し、

  

とし、

  

とおくと、

  


(別解)

[1,2]n等分し

  

とし、

  

とおけば、

  


(2)

  

[1,0]n等分し

  

とし、

  

とおくと、
  

(別解)

[1,2]n等分し

  

とし、

  

とおけば、
  
(解答終了)

(3)

  

[0,1]n等分し、

  

とし、

  

とおけば、
  

ここで、

  

とおくt、x=0のときt=1x=1のときt=2dx=dtだから
  

(解答終了)



問題2 f(x)=x⁴のとき、次の極限を求めよ。

  



  

を真面目に計算しろというのでしょうが、そんな面倒なことはやってられないケロ(^^

【解】

[0,1]n等分し

  

とし、

  

という区間を考えると、

  

となるので、は点1:2に内分する点で、また、f(x)=x⁴[0,1]で単調増加。

したがって、
  

また、

  

さらに、

  

となるから、2:1に内分する点。したがって、

  

となり、同様に

  

よって、
  

(解答終了)


(1)は、

  

としたものだが、問題2はのとり方によらず積分の値は一定で

  

になるということを主張しているのであった。

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