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こんな解法を思いつくものか!! [初等幾何学]

こんな解法を思いつくものか!!


問題 AB=2ACかつBC=30(cm)である。△ABCの面積の最大値を求めよ。

sankaku-menseki-saidai-02.png【解】

ABAC=2:1であるから、∠Aとその外角の2等分線が辺BCまたはその延長と交わる点をそれぞれDEとする。

 DEDCEBEC=2:1

またBC=30(cm)より、

 ED=20(cm)

 BE=60(cm)

 DE=40(cm)

DAE=∠Rであるから、Aは直径DEの円周上にあり、BCに垂直なこの半径をA₁とすれば、AA₁にあるとき、△ABCの面積は最大で、最大値は300(cm²)である。

(解答終)

何とも鮮やかな解答。

日常的に初等幾何学に接している人、あるいは、初等幾何を得意とする人ならばこうした解答を思ういつく人もいるのかもしれないけれど、
しかし、
こんな解法をそうそう思いつくものか!!

ということで、別な方法で解いてみる。


【別解】

menseki-saidai-prob01.pngAC=xとすると、問題の条件AB=2ACよりAB=2x

三角不等式より

  

面積をS、∠BACθとおくと、

  

余弦定理より

  

S>0だから、Sが最大⇔が最大となるので、

  

したがって、x²=500、つまり、x=√50010<√500<30)のとき、最大となり、最大値は90000。

よって、Sx=√500のとき最大で、最大値は300である。

(別解終了)
sankaku-menseki-saidai-01.png

  


となるので、これを微分して極値を求めてもいいけれど、これは少し計算が面倒なので、直接Sの最大値を求めよりはの最大値を求めたほうが計算はずっと楽でしょう。


ちなみに、Sのグラフは右の図になる。




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コメント 11

★

制約条件; Sqrt[X^2+Y^2]==2 x,Sqrt[(-30+X)^2+Y^2]==x,10<x<30
の基で 15*Y の 最大値を求めよ;
by ★ (2017-08-22 19:58) 

nemurineko

(・・?

制約条件を間違えていませんか?
この条件を満たす(x,y)は存在しないと思いますが・・・。

制約条件に記されている記号「==」はなんですか?
C言語などで使われる
a=bならば1(Javaなどではtrue)、a≠bならば0(false)
を返す論理演算子(・・?

記事の内容に関係する質問や私の間違いの指摘などには真摯に受け答えしますが、
「数学のこの問題を解いてください」といった要望には基本的に答えないことにしています。

すいませんね〜(^^ゞ

by nemurineko (2017-08-22 20:43) 

nemurineko

あっ、わたしの勘違い!!
根号の中のX、Yをxとyと勘違いしていました(^^ゞ

記号「==」に注意が向かっていて、小文字と大文字の違いに気が付きませんでした。

先のコメントに書いた通り、わたしはこの問題を解きませんよ。


by nemurineko (2017-08-22 22:15) 

ddtddtddt

 ddt^3です。

 あなたとは、ちょっと親しくなれたのかな?とかん違いして(^^;)、また発言します。

 自分も初頭幾何は「でぇ~っきれいでした(^^)」。だって解法手段がそもそも、全然組織化されてないじゃないか!。こんなやり方、誰が考え付くんだ!・・・って。なので解析幾何を整備したベクトルを教わった時は、「救われた」と思いました(^^;)。

 でも自分もけっこういい歳になったので、ある事に気づいたんですよ。こういう問題では「対称性がポイントだ」と。

 この問題では、A点は固定点として良く、BC=30cmも固定なので、三角形ABCを決めるパラメータは、例えばAOからACに対して測った、AOとACの成す角θです。

 θ=0で三角形ABCはADOに一致しますが、その時AOに一致したACを、さらに右へ振る事は可能です。

 この時θ<0となりますが、問題の図形は左右対称ですよね?(^^)。そして三角形ABCの面積をS(θ)とした時、S(θ)=S(-θ)ですよね?。だって図形は左右対称なんだから!。

 そうするとグラフ(θ,S(θ))を書いた場合、そのグラフはθ=0を境に対称で、S(0)は少なくとも極大か極小になりますよね?。

  ↑ そうですよね!(←ちょっと自信がないから言ってる)

 後は余弦定理でも使って、θ>0に対して、S(θ)<S(0)を示すだけです。

 初頭幾何の名人達は、じつはこういう見方を暗黙に体得してるんじゃないか?、と自分は思う訳です。

 こういう事が天才的に上手かったのが、ライプニッツです。その一般化が、ライプニッツの言う「充足自充律」なのかなぁ~?(^^;)。
by ddtddtddt (2017-08-23 19:32) 

nemurineko

こんばんは。

初等幾何にも幾つか問題解法上のテクニックがあるようですよ。
その最も典型的な例が平行線を利用した補助線を引くこと。この補助線を一本引けるかどかで問題を(簡単に)解けるかどうかが決まる。そして、この感覚を磨くためには、問題を数多く解くしかないようですね。
対称性に注目するならばある点を中心に図形を回転させるとか、図形を折り返して重ねてみるとか・・・。

公理的な初等幾何の証明では背理法をよく使いますから、実際にはありえない図を書いたりしないといけませんし、証明の仮定で等しくないものを等しいと思い込めないといけないようですからね、大変みたいです。
なまじ視覚的なだけに、書いた図が邪魔をして、なかなかそう思い込めない(笑い)

歴史的に見ても、デカルトらが解析幾何学を作ったのは、勘と閃きから幾何学を解放し、幾何学を誰でもできる代数、計算の世界に持ち込むためという話ですから、偉大な先人たちも初等幾何には泣かされたに違いありません。


by nemurineko (2017-08-23 23:16) 

省子

A=(30,0)+16*(Cos[t],Sin[t])とする。

(0,Pi/2)∋t--S--->S(t)=75 (2 Cos[t] + Sqrt[2] Sqrt[7 + Cos[2 t]]) Sin[t]∈R
             のグラフを 観れば 300が最高です;
         「行間 埋子となり 考察願います」
             
https://www.youtube.com/watch?v=lq6j3S_CnNg
by 省子 (2017-08-28 01:07) 

省子

●略解 ↓の 函数 が  T = 1/2 (-1 + Sqrt[5])で 最高 300 KARA 自明●

(300 T (1 - T^2 + 2 Sqrt[(1 + T^2 + T^4)/(1 + T^2)^2] +
2 T^2 Sqrt[(1 + T^2 + T^4)/(1 + T^2)^2]))/(1 + T^2)^2

   「行間 埋子となり 細部を暴いて 是非考察願います」
             
by 省子 (2017-08-28 01:24) 

制子

制約条件 {Sqrt[X^2 + Y^2] = 2*x, Sqrt[(-30 + X)^2 + Y^2] = x, 10 < x < 30};
  なる条件の ■下で■ (30*Y)/2 の最大値を多様な発想で求めて下さい;
---------------------------------------------------------------------------------------

<そのため、派遣労働者は劣悪な労働条件の■下で■働いている。
For that reason temporary workers are working under inferior conditions>

In mathematical optimization, the method of Lagrange multipliers is a strategy for finding
the local maxima and minima of a function subject to equality constraints.

http://www.nhcue.edu.tw/~jinnliu/proj/Device/Lagrange_multipliers.pdf

http://www.ig.cas.cz/userdata/files/personal-pages/b-ruzek/Lectures/LagrangeMult.pdf
by 制子 (2017-08-28 10:07) 

制約されて 誘惑されて

https://www.youtube.com/watch?v=ZAjp9YnATIU
by 制約されて 誘惑されて (2017-08-28 10:21) 

nemurineko

◯子さん、こんにちは。

「問題をいくら送られても、私は解きませんよ」と言っているじゃないですか。
無駄ですよ。

「教えて goo!」で満足してくださいよ(^^)。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9906910.html

https://youtu.be/q0Hny5OYuLs
by nemurineko (2017-08-28 12:44) 

nemurineko

答えの一歩手前の段階まで解いて、ブログの記事に示してあるケロよ。

ハテナ、はてな、(・・?
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-08-22-5

Yの最大、最小値が±20であること、したがって15Yの最大値、最小値が±300であること、このときX=40であることも示してあるケロよ。

by nemurineko (2017-08-28 13:18) 

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