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第55回 ∫(sinz/z)dzを求めるにゃ [複素解析]

第55回 ∫(sinz/z)dzを求めるにゃ。


さて、いよいよ、

  

の値を求める時が来た。


その前に、復習をかねて、前回証明した定理を再掲。


ジョルダンの補助定理

f(z)で連続な関数とし

  
M(r)
上の|f(z)|の最大値とする。

もし、r→+∞のときにM(r)→0ならば

  

となる。


定理

関数f(z)を1位の極として持つとき

  
とすれば、

  

が成り立つ。

ただし、積分はにそってに関して正方向に行なう。


さて、

  

だから、

  

となる。

i


まず、図のような積分路に沿って、を積分する。




―――前回、この計算は記憶ものと書いた。何故、この関数を積分するなんて考えちゃ〜いけない(^^ゞ―――

は閉曲線Cの周上とその内部で正則なので

  

となる。

で、右辺第1項の積分は前回やったジョルダンの補助定理より

  

となる。

何故ならば、f(z)=1/zとすると、の半円周上でこの関数の値はで、円周上におけるこの関数の絶対値の最大値M(R)=1/Rとなり、R→∞の時M(R)→0になるから。

ε→0の時の右辺第3項の積分の値は、2番目の定理から

  tesei-siki-1113-01.png

となる。

さらに、

  

よって、

  

となり、R→∞r→0とすれば、

  


こんな技巧的な方法なんて凡人は思いつかないにゃ。

だ・か・ら、凡人は、テスト対策として、これを丸覚えするしかない(^^

これで長かった複素解析は終わりだケロ。

複素解析は人気がなかったみたい。不評だったみたいだ。理系の人間ですら忌み嫌われる分野だからしょうがない。


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コメント 2

きくち

うへんだいさんこうのせきぶんってまいなすあいぱいなのでは?
by きくち (2016-11-13 18:48) 

nemurineko

こんばんは。

確かに、−πiですね。
わたしの書き間違いです。

間違いのご指摘、ふかく感謝いたします。
そして、修正いたしました。


by nemurineko (2016-11-14 20:02) 

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