So-net無料ブログ作成

第26回 平面曲線2 [偏微分]

第26回 平面曲線2

前回に続きまして、f(x,y)=0で表される平面曲線をやりますにゃ。

で、まず、前回のおさらい。
関数f(x,y)級(偏微分可能で、偏微分した関数が連続)であり、点(a,b)をこの曲線上の点とするにゃ。
このとき、

が同時に0にならない点(a,b)通常点
になる点(a,b)特異点というケロ。


さらに、(a,b)が通常点であるならば、この点(a,b)での接線はただ一つで

になるケロ。


ここまでが前回の復習。

で、f(x,y)級関数、点(a,b)f(x,y)=0の特異点とする。それで、が同時に0にならないとき、この点(a,b)2重点という。


それで、

とするとき、

2重点は

 (1)D<0ならば結節点で、点(a,b)で相異なる2接線が引ける

 (2)D=0ならば通常は尖点で、点(a,b)で接線は1本
 (3)D>0ならば孤立点で、その小さな近傍での曲線の部分は点(a,b)である

という性質を持っている。


何故かは知らないにゃ。


ちなみに、
結節点は
graph1-1.GIF
この図形の点(0,0)のところ。

尖点は

graph1-2.GIF
の原点(0,0)。

孤立点は
graph1-3.GIF
の原点だにゃ。

で、問題を一つ。


問題 次の曲線の特異点を調べ、曲線の概形を描け。

【解】

まずは、

とおいて、偏微分するにゃ。

shiki-27-1.png

だにゃ。

このことから、として、特異点を求めるにゃ。

(0,0)が曲線にあることは明らかだけれど、(0,−2a/3)が曲線上にある保証はないケロ。

で、a≠0として、実際に計算してみると

となる。

このことから、(0,−2a/3)が曲線上の点であるためにはa=0となり、結果的に、特異点は(0,0)だけとなるにゃ。これで特異点は求まったにゃ。
で、判別式Dを使って、特異点の種類を調べるにゃ。このためには2階偏微分が必要なので、計算するにゃ。


これから、点(0,0)が2重点あることがわかるにゃ。
さらに上の結果を使って、点(0,0)での判別式Dの値を求めると


となる。


以上のことから、点(0,0)
a>0
ならばD<0で結節点
a=0
ならばD=0で尖点
a<0
ならばD>0で孤立点
となるケロ。


で、前の3つの図はa=1a=0a=−1ののものなんだにゃ。

腕に自身のある奴は、次の宿題を解いてみそ。

宿題 次の曲線の概形を描け。

nice!(0)  コメント(5)  トラックバック(0) 

nice! 0

コメント 5

★

16 x^6+84 x^5 y-48 x^5-1167 x^4 y^2+60 x^4 y+96 x^4+380 x^3 y^3+588 x^3 y^2+120 x^3 y-112 x^3+70608 x^2 y^4-57108 x^2 y^3+16560 x^2 y^2-2076 x^2 y+96 x^2-184320 x y^5+122496 x y^4-13152 x y^3-5712 x y^2+1248 x y-48 x-3840 y^4+2432 y^3-240 y^2-96 y+16=0

の 特異点達を求め 「その名」を 明記願います;

https://www.youtube.com/watch?v=Dbwv_uo33qc

by ★ (2016-10-25 15:14) 

nemurineko

コメントありがとうございます。

見るからに計算が面倒そうなので、
解くの嫌です。


by nemurineko (2016-10-25 21:53) 

★

C1: 27 x^4 - 328 x^3 y - 20 x^2 y^2 + 240 x^2 y - 1472 x y^2
    - 768 x y - 80 y^3 + 9344 y^2 - 256 y = 0

の 特異点達を求め 「その名」を 明記願います;

https://www.youtube.com/watch?v=Dbwv_uo33qc

>見るからに計算が面倒そうなので、解くの嫌です。

        そう おっしゃらず

嫌よ嫌よも好きのうち で ありましょう。

是非 獲た 特異点のうちの一つを 選び それに 対応する


http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2016-07-31-1

の C2 ; y - (x^4 - 4*x^3 + 2*a*x^2)=0 (a= -1/2)

の 二重接線 T を 「スパッ」と 求めて下さい.

ついでに FAQ ; C2 とT で囲まれる部分の面積を積分で求めて下さい;




実は C1 と C2 は 密切な 関係があるので 是非研究して

  その 研究成果を 今後数年に亘り 発表願います;


by ★ (2016-10-25 23:25) 

nemurineko

コメントありがとうございます。

ご存知ないようですが、このブログにはいくつかの掟があります。

1 係数は1桁
2 原則として2桁の四則演算はしない(2桁の数同士の掛け算はまず出てこない(^^ゞ)
3 方程式は2次方程式まで。解は整数解、または1/2、1/3といった簡単な分数の解
4 整関数は3次関数まで

などなど。
「面倒な計算は、わたしは絶対にしない」という神聖にして不可侵の掟があって、それを自らに課しております。

ですから、4桁の数など論外です。
第一、ネコの世界に、そんな大きな数は存在しません。
10ですら、ネコはこの処理に困っているほどですから。


by nemurineko (2016-10-26 11:29) 

★

>3 方程式は2次方程式まで。解は整数解 なる 「掟内の↓問達」;

>f(x,y)=0で表される平面曲線をやりますにゃ。

[[此処まで「平面曲線を やる!^(2016)」と宣言する人は世界に殆ど∃しない]]

   この宣言文の 何処にも 禁欲の掟は にゃい。

   また 「掟は破る 為に ∃」 す。


で 容易過ぎる 低次の2次曲線 の 双曲線 を 二つ;

>うちの女房にゃ髭がある! - VOCALOID

双曲線 C1; 4 x^2-20 x y+4 x+y^2+14 y+1=0 には 漸近線が在る!。

漸近線を 求めて下さい;

●●獲た漸近線を用いて C1 を 表現をして下さい;


双曲線 C2; x^2-x y+3 x+2 y+2=0 には 漸近線が在る!。

漸近線を 求めて下さい;

●獲た漸近線を用いて C2 を 表現をして下さい;


-------------------------------------------------------

C2 上の格子点を ●を 用いて 容易に獲られることを示して下さい;


C1 上の格子点を ●●を 用いて 容易に獲られますか?;


    獲られないなら 他の発想を 明記し

C1上には格子点が無数に在ることを示し , 69点明示下さい;



by ★ (2016-10-26 16:58) 

コメントを書く

お名前:
URL:
コメント:
画像認証:
下の画像に表示されている文字を入力してください。

トラックバック 0