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今日のお休みソング、東方から『月下美人』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、東方から『月下美人』です。


月だけロ、お休みソングにピッタリだにゃ。そして、この曲↑は、お馴染みの


この曲↑と同じ原曲のアレンジだにゃ。

そして、さらにこの曲を♪



お願いだから、数学の記事で数式の間違いなどがあったら教えてくれよm(__)m [ひとこと言わねば]

お前ら、お願いだから、数学の記事で数式などの間違いがあったら教えてくれよ。

ネムネコは、原則として、自分のブログにアップした数学の記事を読み返したりしない。それだけではなく、ワープロでその下書き原稿を書き上げた時にも、間違いの有無の確認のために、その下書き原稿を読み返したりしない。
ネムネコは絶対に間違えないというネムネコ無謬神話が存在し、ネムネコはそれを信じている。
だから、必ず、どこかの数学の記事には致命的な、数式の書き間違いが存在するケロ。

そして、今日、偶然見た記事でその致命的な過ち、複数に渡る間違いを発見したにゃ。しかも、これが定理と、その証明の中にあったのだから、目も当てられなかった。
慌てて、今しがた修正を終えたところ。
だから、見つけたら、すぐに教えろよな!!


間違いを人前に晒し続けるのも恥ずかしくて嫌だけれど、それ以上に、この記事を見て、それを真に受けるヒトがいると、それこそ、目が当てられないにゃ。これは、ネムネコ個人の名誉に関わるという矮小な問題ではなく、ねこ騙し数学の記事を読んでいる他の仲間に関わる深刻な問題。さらに風呂敷を広げるならば、社会全体の便益に関わる由々しき事態だにゃ。だから、見つけたら、すぐに教えて欲しいにゃ。数学を愛する仲間、オレの記事を読み数学を勉強しようと思う仲間のために、見つけたら、コメント欄を通じて教えて欲しいにゃ。

書いた本人というのは、間違いのある式などを頭の中で無意識のうちに修正して読んでいたりして、自分の間違いは見つけにくいものなんだにゃ。しかも、今回の間違いは、式中にあるf(0)となるべきところがf(x)といった具合に、この0とxの違いだった。書いている本人は、このxになっている部分が当然0になっていると思っているから、もう間違いには気づかない。しかも、毎日f(x)と打ち続けているから、習慣で、無意識のうちにf(x)と打ってしまう(^^ゞ

今回は、たまたま、過去に書いた記事を見て、自分の間違いに気づいたから良かったけれど。



ねこ騙し数学、ブログテーマ:学問で5位に!! [ひとこと言わねば]

ねこ騙し数学、ブログテーマ:学問で5位に!!

5ini!!-002.png



5位まできたにゃ。残り4つを打ち負かせば、このブログはSo-netブログの学問でTOPになれるにゃ。


トップを狙うにゃ。ネムネコは燃えているにゃ、暑い炎に包まれているケロ。


そして、TOPになった暁は・・・。


アカツキといえば、こっちか(・・?



今日のアニソン、「フレームアームズ・ガールズ」から『Tiny Tiny』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「フレームアームズ・ガールズ」から『Tiny Tiny』です。



問題の答え [微分]

で、お前ら、問題の答えは求められたのか。

 

ロピタルの定理を使うならば、

 

(1) この関数はx=0で右側微分可能でしょうか。つまり、次の右極限

が存在するでしょうか。存在するならば、その値は。

(2) 閉区間[0,a]a>0)で積分可能ですか。

積分可能ならば、

を求めてください。

[解]

(1)

だから、

したがって、x≠0のとき

だから、

は存在しない。

 

(2) f(x)は閉区間[0,a]a>0)で連続。したがって、f(x)[0,a]で積分可能。

よって、x=0のとき

x>0のとき

したがって、x≧0

よって、

[解答終]

 


x>0のとき

 


今日のお休みソング、「亜人ちゃんは語りたい」から『フェアリーテイル』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、アニメ「亜人ちゃんは語りたい」から『フェアリーテイル』です。


OP曲もフルヴァージョンがないんだにゃ。だから、キャラソンを♪



微分:第14回の補足 [微分]

微分:第14回の補足

 

ロピタルの定理を使わずに

  

を証明するには、たとえば、次のようにすればよい。

 

douda-graph-000.png[解]

  

0<x<1のときf'(x)<0だからf(x)は減少、1<xのときf'(x)>0だからf(x)は増加。だから、f(x)x=1のときに極小、かつ、最小。

  douda-siki-001.png

x→∞のときの極限だから、x>1と考えてよい。

  

で、

  

だから、ハサミ打ちの定理より、

  

[解答終了]

 

つまり、ロピタルの定理を使わなくても、この問題の極限値を求めることができるというわけ。

 

さてさて、どこから、

  

なる不等式を引っ張り出してきたか。

 

このように考えればよい。

 

douda-graph-001.pngまず、f(x)=logx上の点(1,0)におけるf(x)の接線を求める。

  

だから、接線の方程式は

  

f''(x)<0だからf(x)=logxは上に凸の関数で、接線は曲線y=f(x)=logxの上側(下側にない)。

したがって、

  

しかし、これでは

  

しか出てこない。

ということで、

  

とおき、(1)に代入する。

  

このtxにすり替えれば、

  

 

 

この極限は、次のように考えて求めることもできる。

 

[解]

とおくと、

また、x→∞のときt→∞だから

  

[解答終了]

 

つまり、(1)の極限は、(2)の極限に帰着する。

 

(2)の極限

  

の証明は、たとえば、次のようにすればよい。

 

[解]

  

という関数があるとする。

  

したがって、f'(x)x≧0で増加関数。

  

よって、f(x)x≧0で増加関数。

  

だから、

  

したがって、

  

[解答終了]

 

高校の数学の範囲で解くならば、上のように解けばよい。

 

マクローリン展開を利用するならば、

  shusei-siki-001.png

 


ねこ騙し数学、ブログテーマ:学問で6位に浮上!! [ひとこと言わねば]

ねこ騙し数学、ブログテーマ:学問で6位に浮上!!

ねこ騙し数学、5月27日に6位まで上昇したにゃ。今や、ねこ騙し数学の進撃を阻むものはないと言っても過言ではあるまい。まずは、その証拠を。


6i!!-002.png


この快進撃を祝して、この曲を。


受験のための数学、受験数学ではない、数学のブログという、コアなブログでありながら、ここまで上がってきたにゃ。大したもんだケロね〜。とは言え、先週8位から9位に順位を下げた日があったから、今の地位は盤石なものとは言いがたい。たとえ、TOP8を維持し続けたとしても、この安寧に満足してはいられない。これは、この曲の歌詞にあるとおり、
家畜の安寧
虚偽の繁栄
に過ぎないのだから。
ネムネコにはもっと大きな夢と野望があるにゃ。


一銭の得にもならないけれど、ブログをやっている以上、トップを目指すにゃ。「このブログは他に例を見ないOnly Oneのブログだ」という自己満足にとどまるつもりはないケロ。マジだにゃ。


Trust Me!!だにゃ。ネムネコはお前らの期待を裏切るような真似はしないケロ。


だから、こんなにも健気なネムネコを奈落に突き落としてはいけないと思うケロ。


そんなことをしたら、ネムネコはこれでもネコの端くれだから、祟るケロよ。



今日のアニソン、東方から『錯乱オートマータ』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、東方から『錯乱オートマータ』です。


この曲、動画は、YouTubeに5/26にアップされたばかりの最新作だけロ。

さらに、翼のあるものが登場するこの曲、動画を!!


曲としては、どちらも「今日のアニソン」の水準に遠く及ばない曲のようですが・・・。


第14回 無限大、無限小とランダウ記号 [微分]

無限大、無限小とランダウ記号

 

§1 関数の無限大、無限小

aを実数または±∞とする。ならば、x→aのときf(x)無限小であるという。ならばx→aのときf(x)無限大であるという。

 

関数f(x)g(x)が点aで無限小のとき、

  14muge-siki-001.png

という。

 

例1

f(x)=x²,g(x)=xとすると、x→0のとき

だから、f(x)g(x)より高位の無限小。

f(x)=sinxg(x)=xとすると、

だから、f(x)g(x)と同位の無限小。

f(x)=xg(x)=x²とすると、

  landau-siki-002.png

だから、f(x)g(x)より低位の無限小。

 

関数f(x)g(x)が点aで無限大のとき、

  14mugen-siki-002.png

という。



例2

f(x)=logxg(x)=xとすると、

  

だから、logxxよりも低位の無限大。

g(x)=xとすると、

  

だから、xよりも高位の無限大。



問 次のことを示せ。

[解答(?)]

ロピタルの定理より

  landau-siki-004.png

[解答(?)終了]

 

 

§2 ランダウの記号

 

x→aのとき、f(x)/g(x)が無限小、つまり、

  

のとき、

  

で表す。この記号o(g(x))ランダウ記号oランダウのスモール・オー)という。特に、のとき

  

と定める。

 

例3 f(x)=sinxは、x→0ならばf(x)→0だから

  

また、f(x)=x²g(x)=xとすると、x→0のとき、

  

だから、

  

しかし、f(x)=xg(x)=x²のとき、

  

だから、ではない。

つまり、

  

は、一般に成立しない。

 

 

x→aのときに、f(x)/g(x)が有界にとどまるならば、これを

  

で表す。(Oランダウのビッグ・オーという)

特に、

  

のとき、

  

である。

 

例4

x→0のとき、

  

だから、

  

また、x0に限りなく近いとき(ただし、x≠0

  

だから、有界。

よって、

  

である。

 

ラウンダウ記号にはスモール・オーoとビッグ・オーOの2種類があるのだが、以降、スモール・オーo、つまり、o(g(x))をランダウ記号と呼ぶことにする。

 

 


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