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ネムネコ、大いに後悔する!! [ひとこと言わねば]

少しでも数学の(記事の)理解につながればと思って、ネムネコ、アニメを作る!!

数学の曲線のGIFアニメなんだけれど、お絵かきソフトで作ったら、容量がなんと8MBと巨大なものになってしまい、
ネムネコ、大いに後悔する!!

「曲線上の点から接線を引き、とある点からこの接線に垂線をおろし、その交点を求めて・・・」と、問題の解答に則したアニメを作ったのがいけなかったね。真面目に作りすぎたにゃ。明日、閲覧可能なように、こうして作ったGIFアニメをBloggerにアップしてしまったので、もう引き返すことは出来ないにゃ。全ては後の祭りだケロ。


ネムネコは親切心をもってヒトに接してはいけないね。ネムネコは、ハッタリをかましてなんぼだケロ。


そして、地獄に落ちるときは、お前らをすべて道連れにしてやるケロ!!


お前らとネムネコは運命共同体だということを忘れてはいけないニャ。



今日のお休みソング、東方から『Three Magic』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、東方から『Three Magic』です。


神曲だけロ。そう思えないとしたら、心が汚れている証拠だにゃ。ネムネコのようにピュアな心を持ち続けていたならば、この曲を聞いて何かを感じないわけがないと思うにゃ。

オリジナルとは関係のない二次創作ですが、この動画↑に登場している「聖」と「寅丸」の出会いのお話。


なお、次の2曲も『感情の摩天楼』のアレンジだにゃ。





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今日のアニソン、「境界線上のホライゾン」から『Loup de debut』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、アニメ「境界線上のホライゾン」から『Loup de debut』です。



ネムネコもケモノの端くれ、怖いケロ、たぶん(^^ゞ



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デカルトの正葉線 [多変数関数の微分]

デカルトの正葉線

 

問題 デカルトの正葉線

  

で定まるxの関数yの極値を求めよ。

decart-happa-graph-001.png【解】

  

(1)式の両辺をxで微分すると、

  

両辺を3で割ると、

  descartes-siki-001.png

yが極値を取るときy'=0だから、

  

これを(1)式に代入すると、

  descartes-siki-002.png

x=0のとき、y=0(この点(0,0)では(3)式の分母が0になるので微分不可能)。

のとき、

極値の判定をするために、(2)式をxで微分しy''を求めると、

  descartes-siki-003.png

極値を取る点ではy'=0だから、

  descartes-siki-004.png

したがって、a>0のときはy''<0で極大、a<0のときはy''>0で極小。

(解答終)

 

(0,0)を極値と認めるかどうかという微妙な問題があるけれど、x³+y³–3axy=0で定まるxの関数(陰関数)yのときに極値を取ることだけは確かである。

また、x³+y³–3axy=0xyを入れ替えても成立するので――この曲線はy=xに関して対称――,x³+y³–3axy=0で定まるyの関数xが極値を取る点は曲線上の点となる。

 

偏微分を使うともう少しスッキリ解くことができるけれど、高校の微分の範囲でデカルトの正葉線で定まる関数の極値を求めることができた。

 

  

この曲線は、x=0のときy=0になるので、x≠0とし、t=y/xとおくと、(1)式は

  descartes-siki-005.png

したがって、

  

t=0のとき、(x,y)=(0,0)となるので、この曲線は

  

とパラメータ(媒介変数)tを使って表すことができる。

 

decart-happa-graph-002.pngパラメータtで表現された(4)を使うと、dy/dxd²y/dx²が次のように求められるので、これを使って極値や曲線の凹凸を調べることができる。

  descartes-siki--006.png

a>0のとき、d²y/dx²は、で負となるので曲線は上に凸、のときに正になるので曲線は下に凸である。

参考までに、a>0のときの、xtytの関係をグラフで示す。

曲線をパラメータ表示すると、xyの直接の対応が失われるので、直観的に理解しづらい!!

 

このグラフを見ると明らかなように、この曲線上の点を(x,y)とすると、

  

だから、|x|→∞のときt→−1である。

この曲線の漸近線をy=mx+nとすると、

  

したがって、デカルトの正葉線の漸近線の方程式は、

  

である。

原点O(0,0)における接線はy=0x=0で、原点O結節点である。

 

また、極座標x=rcosθy=rsinθを用いると、デカルトの正葉線は

  

r≠0のとき、

  

と表せる。

そして、この結果を用いると、ループ、曲線で囲まれた領域の面積Sは次のように求めることができる。

  

ここで、tanθ=tとおくと

  




今日のお休みソング、「Angel Beast!」から『Thousand Enemies』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、「Angel Beast!」から『Thousand Enemies』です。


ネムネコには現在倒すべき敵が約700ブログほどあるにゃ。So-netブログには、「ねこ騙し数学」よりも上位のブログがこれくらいいるにゃ。下克上を目指すネムネコにはこれほど多くの敵がいるんだケロよ。


だから、反逆の鐘を鳴り響かせ続けねばならないにゃ。



今日のアニソン、「銀色の髪のアギト」から『調和 oto〜with reflection〜』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、「銀色の髪のアギト」から『調和 oto〜with reflection〜』です。


ED曲も紹介するケロ!!


ED曲の『愛のメロディー』は、訪問者への愛で満ち溢れているネムネコにピッタリの曲だにゃ。
そう思わないケロか?


これ↑も愛の形だケロ!!
ネムネコもネコの端くれだからツンデレなだけだにゃ。


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第9回 高階偏導関数 [多変数関数の微分]

第9回 高階偏導関数

 

領域D上で定義された偏微分可能な関数f(x,y)の導関数Dで偏微分可能のとき、f(x,y)2回偏微分可能であるといい、f第2次偏導関数

  dai9-siki-001.png

と定義する。

 

(注)

  dai9-siki-000.png

と順序が違うことに注意が必要。

 

問1 次の第2次偏導関数を求めよ。

【解】

(1) z=f(x,y)=x³+xy²+y⁴とおくと、だから、

  

(2) z=f(x,y)=sin(xy)とおくと、だから、

  dai9-siki-002.png

(解答終了)

 

領域D上で定義された関数f(x,y)が第n次導関数を持ち、それらがDで連続であるとき、fn回連続微分可能または級であるという。任意のn∈Nに対して級である関数を無限回連続微分可能または級という。


 

定理

関数f(x,y)級ならば、が成り立つ。

【証明】

  dai9-siki-003.png

とおき、平均値の定理を用いると

  

同様に、

  

従って、

  dai9-siki-006.png

f級だから2次偏導関数は連続で、(h,k)→(0,0)のとき、

  

になる。

(証明終了)

 

問1の(1)、(2)ともにになっているのは偶然ではなく、f(x,y)級だからである。また、級ならば、が成立するので、片方だけを計算すればよい。

 

 

問題1 2回偏微分可能な関数f(x,y)

  

を対応させる写像を

  

であらわし、ラプラス微分作用素またはラプラシアンという。Δf=0ラプラスの微分方程式、その解を調和関数という。

次の関数z=f(x,y)が調和関数であるかどうか調べよ。

【解】

(1) より

  dai9-siki-007.png

よって、調和関数である。

 

(2) より

  dai9-siki-008.png

だから、調和関数ではない。

 

(3) より

  dai9-siki-009.png

よって、調和関数である。

(解答終了)

 

 

問題2 f(x,y)の開区間(a,b)×(c,d)で定義された関数とする。次のことを証明せよ。

(1) fxで偏微分可能でならば、fyだけの関数である。

(2) ならば、fは定数である。

(3) かつが連続ならば、fxだけの関数とyだけの関数の和である。

【証明】

(1) yを固定すると、xだけの関数g(x)=f(x,y)(a,b)上でだから定数である。この定数をφ(y)とおくと、f(x,y)=φ(y)である。

 

(2) だから(1)よりf(x,y)=φ(y)

よって、

  

したがって、φ(y)は定数である。

 

(3) だから、xだけの関数h(x)に等しい。

x₀∈(a,b)の定点とする。

xについて連続だから

  dai9-siki-010.png

ここで、

  dai9-siki-011.png

とおけば、

  

(証明終了)

 

(注)

(a,b)×(c,d)は開区間(a,b)と開区間(c,d)の直積のことで

  

である。

また、は、Dのすべての点(x,y)の意味で、「fが定数」とはDのすべての点(x,y)f(x,y)=定数、つまり、関数fが定数関数であることを表す。

 

「関数f(x,y)=定数」ではなく、「関数f=定数」と書く方が正式!!

 

 


今日のお休みソング、東方から『Necro Factasia』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、東方から『Necro Factasia』です。


さらに、神曲『Wow Wow Scream』♪


この曲に合わせて、ネムネコも何度でも何度でも「叫ぶ」にゃ!!そして、ネムネコも踊るにゃ。



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やってられるか、こんなブログ!!!! [ひとこと言わねば]

また、今日も、So-netブログ名物
1記事10万字以内エラー
が頻発したにゃ。
こんなブログやってられないにゃ!!


仏さまのように温厚なネムネコの神経を逆撫でし、怒らすに十分な破壊力を持っているにゃ、ここは。


数学の記事、画像が膨大で、いまさら、他のブログに引っ越すことはできないけれど、こんな制約のあるSo-netブログなんてやってられないケロよ。
無料ブログは多数あるというのに、何故、オレはここでブログなんて始めたのだろう、と後悔をする毎日だにゃ。そして、毎日、ネムネコは泣き暮らしているにゃ。


もう、殺意すら覚えてしまうケロよ。

明日、26日の数学の記事を読むとき、この記事の編集作業でネムネコは何度も切れたことを思い出して欲しいにゃ。





今日のアニソン、「漆黒のシャルノス」から『dorchadas』 [今日のアニソン]

今日のアニソン、「漆黒のシャルノス」から『dorchadas』です。


このゲームのED曲も紹介するケロ。



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