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今日から、テンソルをやるにゃ!! [ひとこと言わねば]

「ねこ騙し数学」では、今日から、幾何的、物理(学)的なテンソルをやるにゃ。
テンソルとは何だ?
この問には、「テンソルとはテンソル」と答えるしかないケロ!!


ウィキペディアには次のように書いてあるが、テンソルはテンソルと答えるしかないにゃ。

テンソル(英: tensor, 独: Tensor)とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
https://goo.gl/EHpJky

その0回目として、ベクトルの演算の簡単な復習の記事を書いたケロ。ここに書いてあることを前提知識として議論を進めるにゃ。何でこうなるかを知りたいヒトは、ネムネコが過去に書いた「ベクトル解析」の記事などを読んで欲しいにゃ。
しばらくの間は使わないけれど、ベクトル解析の第39回〜第42回目の知識を前提として使うことになるので、暇なときにでも、これらの記事を読むなりして復習をして欲しいケロ。

これまで、「ねこ騙し数学」で取り上げてきた内容とは異なり、抽象度は高いにゃ。だから、これまでの先入観を捨て去り、テンソルの定義にそって読んで欲しいにゃ。


大概、テンソルは行列で間に合うから、実用上、テンソルなんて知らなくても困ることはないので・・・


ついてこれない奴は、置き去りにするケロ。
最後までついてこられた奴は、アインシュタインの一般相対性理論の教科書――ブルーバックスなどの一般啓蒙書ではなく、大学の物理学科の学生が読むちゃんとした、数式がいっぱい出てくるもの――や、工学の弾性学や流体力学、さらにそれを一般化した連続体力学の教科書を読めるようになるかもしれない。


テンソルの本を買わずにテンソルの勉強をしたいと思う意欲的で野心的――無謀とも言う(^^ゞ――なヒトは、ネムネコの書いたテンソル入門の記事をこぞって読むことになると思うにゃ。
ウソか本当かは、検索ワード、テンソルで検索をかけてみるべし!!


すべてのヒトがネムネコにひれ伏し、ネムネコを讃(たた)えるようになると思うにゃ。
ネムネコに媚びへつらう最高の景色が実現するはずだにゃ!!



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第0回 ベクトルの基礎 [テンソル入門]

第0回 ベクトルの基礎

 

O-xyz.png空間内に直交座表系O-xyzを設定する。x軸、y軸、z軸の正の向きの長さ1であるベクトル、つまり、基本ベクトルをとする。

このとき、空間内の任意のベクトルA

  

と、一意にあらわすことができる。

したがって、Aに対して実数A₁A₂A₃を縦に並べたが一意に定まる。このをベクトルAの座標系O-xyzに関する成分という。

このベクトルAの大きさは

  

で与えられる。

また、このとき、2つのベクトルの内積AB

  

である。

さらに、2つのベクトルABの外積A×B

  

である。

なおここで、

  

である。

 

 

問 のとき、

  

となることを示せ。

【解】

  

よって、

  

(解答終)

 

 


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そう言えば、こんな曲も好きだったんだよな〜♪ [今日のアニソン]

つい今しがた、ふと、思い出したけれど、ネムネコはこんな曲も好きだった時期があったんだにゃ。


J-POPなんかも聞いていた時期があった。


Buono!のファンというわけではないけれど、鈴木愛里というのでしょうか、チェックの服を着たこの女の子が健康的で、かつ、可愛くて好きであった。

YouTubeにはろくな動画がないので、他のサイトのurlだけを貼り付けるけれど、こんな曲好きだった。
 https://goo.gl/7ysyZ5

あと、こんな曲とかも好きだったにゃ。



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今日のお休みソング、蓬莱と上海で『スウィートマジック』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、蓬莱と上海で『スウィートマジック』です。


さらに、


『おちゃめ機能』は、ネムネコのもう一つのブログである「ねむねこ幻想郷」のコンセプトソングなのですが・・・。ちなみに、本ブログのコンセプトソングはこちら↓です。



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ネムネコ、絶句する♪ [ひとこと言わねば]

昔々のCD、4eyesの『DREAMS』というCDをPCで再生しようとしたところ、再生できなかった。
PCのDVDドライブが故障しているためかと考え、CDラジカセにセットしてみたところ、6曲入っているという表示はされるものの、再生ボタンを押しても、うんともすんとも言わない。
どうやら、CDがご臨終したみたいだケロ。

CD-Rの寿命は約10年といわれているけれど、いちおう、これはCD工場でプレスされたもののはずで、そう簡単にお陀仏にはならないはずなんだけれど、いったい、このCDに何が起きたんだろう。


それはそれとして、ずっと前に買ったREVOLTのCDを探してみたけれど、見つからなかったにゃ。どうやら紛失したみたいだケロ。その代わりに、ワンマン・ライプの特典DVDは見つかったにゃ。REVOLTは数年前に解散したから、このDVDの映像を無断にアップしても怒られないような気はするけれど・・・。

この特典映像を見たいという物好きは、「ネムネコの部屋」にアクセスしているといいにゃ。
 https://nemneko.blogspot.jp/2017/09/revolt.html

何かあるかもしれないにゃ。


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アニソンではないけれど、今日のアニソンはこの曲♪ [今日のアニソン]

アニソンではないですが、今日のアニソンは、10年ほど前に新潟ローカルのCMに使われていたこの曲を。


かつて、この曲のVoのお兄ちゃんの声が好きだったんだケロよ。
新潟国体のイメージソングに選ばれるなど、新潟では期待されていたのだけれど、まったくダメだったケロ。


バラードが良かったように思うにゃ。


Voclaのヒトは、今も芸能活動をしているようだけれど、今は・・・。

そう言えば、REVOLTというインディーズ・バンドもかつては存在したにゃ。


このビデオ↓の1曲めの曲は、なかなかの名曲だと思うよ。このまま世に埋もれさせ、やがて、人々の記憶から忘れさせるにはあまりにももったいない曲だと思うにゃ。


ネムネコは、Live会場で聞いて深く感動し、CDまで買ってしまったにゃ(^^ゞ


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[内点方程式の積分公式(ラプラス型)] [境界要素法]

[内点方程式の積分公式(ラプラス型)]

 

ddt^3-001.png

ddt^3-002.png

 

 

 今までの計算では、基本解の特異点η)は図-1の解析領域Rの内点であるとして全てやってきました。すなわち今までの結果は全て、内点方程式、

  

の境界積分に対応するものです。

 前回の結果から、前々回([境界積分の積分部品(ラプラス型)])のボトムアップ公式の内、式(27)(34)は既に片付いています。

  

  

 ここではボトムアップ公式の残りも再掲し、一つ一つ計算して行きます。

  

  

  

  

 

  

 

 単純に代入してくだけですよ(^^)

  

   

 

 そういう訳で・・・、

  

  

 という訳で後は、境界要素ごとに式(14)(15)を計算し、式(1)に従い足し込んで行けばψ(ξη)の値が得られます。ここで積分パラメータshr1r2γ1γ2は、基本解の特異点位置η)と境界要素kの配置および長さLkから事前に計算できるのでした。また内点方程式(1)を使用する段階では、境界未知量ψjqjは全て求まった後と想定して良いのでした(^^)


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今日のお休みソング、「たまゆら -hitotose-」から『おかえりなさい』 [今日のアニソン]

今日のお休みソングは、アニメ「たまゆら -hitotose-」から『おかえりなさい』です。


Full Ver.はYouTubeに無いケロ。だから、これで満足して欲しいケロ。



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今日のアニソン、「フユウソ -Snow World End-」から『Snow World End』 [今日のアニソン]

今日のアニソンは、18禁ゲーム「フユウソ -Snow World End-」から『Snow World End』です。


このゲームは、俗に「ウソ」シリーズと呼ばれているらしく、「ハルウソ」、「ナツウソ」、「アキウソ」があって、そして、今回紹介した「フユウソ」が最新作らしいケロよ。



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無限遠点でのローラン展開 [複素解析]

無限遠点でのローラン展開

 

§1 無限遠点でのローラン展開

関数f(z)においてz=1/ζとおいて得られるζの関数を

とし、φ(ζ)ζ=0において得られる状態をf(z)z=∞(無限遠点)における状態と定義することにする。

 

問1 の無限遠点∞における状態を調べよ。

【解】

とおくと、

  

となり、ζ=0φ(ζ)の2位の極となるから、z=∞f(z)の2位の極である。

とおくと、

  

したがって、

  

よって、ζ=0φ(ζ)の真性特異点だから、z=∞の真性特異点。

(解答終)

 

無限遠点∞がf(z)の孤立特異点であるとする。このとき、十分大きなR>0を選ぶと、f(z)は正則になる。したがって、無限遠点∞の定義より

  

で正則である。

よって、φ(ζ)ζ=0のまわりで

  iy-003.png

ただし、Cζ=0を中心とするの円である。

φ(ζ)=f(z)だから、m=−nとおいて、

  iy-004.png
という展開式が得られる。

(1)を∞まわりのローラン展開という。

 

問2 関数のすべての特異点を求めよ。また、その各々を中心とするローラン展開を求めよ。

【解】

とする。

z=1は1位の極で、z=1まわりのローラン展開は

  

z=1/ζとおくと

  

となり、ζ=0φ(ζ)の1位の極だから、z=∞f(z)の1位の極。

z<1のとき

  

だから、

  

また、|z>1のとき

  

だから、

  iy-006.png

よって、z=∞まわりのローラン展開は

  iy-007.png

(解答終)

 

§2 無限遠点での留数原理

無限遠点∞がf(z)が孤立特異点または正則点であるとき、f(z)は∞まわりでローラン展開が可能である。すなわち、

この展開におけるの係数の符号を変えたもの、すなわち、を∞におけるf(z)の留数といい、などであらわす。

したがって、

  iy-008.png

ここで、Γは有限のところにあるf(z)の内部にある特異点をすべてふくむ閉曲線である。

留数定理と(3)より、ただちに、次の定理が得られる。

 

定理1

f(z)が無限遠点を含めた全平面でただだか有限個の特異点しか持たないとき、有限のところにあるすべての特異点をとすれば、

  

 

また、留数の定義より

 

定理2

が有限確定であれば、

  

 

問3 つぎの値を求めよ。

  

【解】

  iy-010.png

また、定理2より

  

の零点をとすると、定理1より

  

(解答終)

 


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